北京市北京大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年北京大学附中高二（上）月考数学试卷（9月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是(    ) A. B. C. D. 2.已知直线：，：，“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是(    ) A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品 C. 至少一件正品与全部次品 D. 至少一件正品与至少一件次品 4.如果满足，，的有且只有一个，那么实数b的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于(    ) A. B. C. D. 6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过AC，BC，，的四等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为(    ) A. B. C. D. 7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则值不可能是(    ) A. B. C. 0 D. 1 8.在棱长为2的正方体中，E是CD的中点，F是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是(    ) A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则m的值为5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 10.下列结论正确的是(    ) A. 过点作圆的切线，则切线方程为 B. 已知，O为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交 C. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 D. 若圆M：上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 11.如图，正方体的棱长为3，点E，F分别在，上，，动点M在侧面内包含边界运动，且满足直线平面，则(    ) A. 过，E，F的平面截正方体所得截面为等腰梯形 B. 三棱锥的体积为定值 C. 动点M所形成轨迹的长度为 D. 过B，E，M的平面截正方体所得截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为，，，若甲、乙、丙各投篮一次三人投篮互不影响，则至多有一人命中的概率为______. 13.过的直线l被曲线所截得的线段长度为，则直线l的方程为______. 14.在梯形ABCD中，，，，梯形ABCD外接圆圆心为O，圆上有一个动点P，的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，，，E为PD中点，F为PB中点，M为CE中点. 求证：平面平面PAB； 求证：平面 16.本小题15分 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据满分100分，成绩均为不低于40分的整数分成六段：…，，并作出如图所示的频率分布直方图. 求频率分布直方图中a的值. 求样本数据的第62百分位数. 已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是求这两组数据的总平均数和总方差 17.本小题15分 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知 求C； 若且，求的外接圆半径. 18.本小题17分 如图，四棱锥P―中，底面ABCD是矩形，，，且平面平面、F分别是AB、CD的中点 求证：是直角三角形； 求四棱锥P―体积的最大值； 求平面PEF与平面PBC的夹角余弦值的范围. 19.本小题17分 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上. 求圆C的方程； 过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由， 则， 又， 则， 则， 又， 则向量与的夹角是， 故选： 先由求得，再由向量夹角的余弦公式求解即可． 本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属基础题． 2.【答案】A  【解析】解：根据题意，当时，直线：，：，两直线平行， 反之，若，则有，解可得或， 即不一定成立， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选： 根据题意，由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案． 本题考查充分必要的判断，涉及直线平行的判断方法，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测， 选项A，恰好两件正品与恰好四件正品为互斥事件，不是对立事件，故A错误； 选项B，至少三件正品与全部正品有可能同时发生，不是对立事件，故B错误； 选项C，至少一件正品与全部次品既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C正确； 选项D，至少一件正品与至少一件次品可能同时发生，不是对立事件，故D错误． 故选： 利用互斥事件、对立事件的定义求解． 本题考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题． 4.【答案】D  【解析】解：根据正弦定理，得，即，解得， 若满足条件的有且只有一个，则或， 所以或，结合，解得或， 即实数b的取值范围是 故选： 由正弦定理列式，得出，根据符合条件的有且只有一个，列式算出b的取值范围． 本题主要考查利用正弦定理解三角形、三角函数的性质等知识，考查了计算能力，属于基础题． 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题． 利用空间向量的线性运算法则求解． 【解答】 解： 故选： 6.【答案】B  【解析】解：设当底面ABC水平放置时，液面高为h， 依题意，侧面水平放置时， 液面恰好过AC，BC，，的四等分点处，， 所以水的体积， 解得 故选： 利用等体积法列方程，由此求得正确答案． 本题考查直三棱柱的结构特征、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7.【答案】A  【解析】解：如图，的几何意义为阴影部分内的动点与定点连线的斜率， 当直线AP与半圆，相切时，斜率k最小， 设：，则，解得或舍， 当直线过点时，直线AP的斜率取得最大值1，即的最大值为 因此，结合选项可知，值不可能是 故选： 将问题转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解． 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题． 8.【答案】D  【解析】解：如下图所示，设圆柱的底面半径为r，高为h，圆柱的外接球半径为R， 取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R， 则O为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得 本题中，平面DEF，设的外接圆为圆， 可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示： 设的外接圆直径为2r，， 该三棱锥的外接球直径为2R，则 如下图所示： 设，则，，， ， 当且仅当时，取得最大值， 由， 解得，， 所以的最大值为， 由正弦定理得，即2r的最小值为3， 因此， 所以三棱锥外接球的表面积为， 故三棱锥外接球的表面积的最小值为 故选： 作出图形，设，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最大值，利用正弦定理求得外接圆直径2r的最小值，可求得该三棱锥外接球直径的最小值，由此可求得结果． 本题考查了求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法，利用球的性质，定义法，是中档题． 9.【答案】AD  【解析】解：对于A，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，因为数据1，2，m，6，7的平均数是4， 所以，故B错误； 对于C，将8个数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 则中位数为，故C错误； 对于D，依题意，方差为，则， 所以数据，，…，的标准差为16，故D正确． 故选： 利用概率可判断A；根据平均数求得m的值即可判断B；根据中位数的求法即可判断C；利用方差性质即可判断 本题主要考查了简单随机抽样的性质，考查了平均值、中位数和标准差的定义，属于基础题． 10.【答案】BD  【解析】解：对于A，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切， 当过点的直线斜率不存在时， 设切线方程为， 即， 所以， 解得， 即切线方程为， 综上所述：切线方程为或， 故A错误； 对于B，因为点是圆外一点， 所以， 又直线m的方程是， 所以圆心到直线m的距离， 故m与圆相交， 则B正确； 对于C，， 即， 则其过定点， 由点和，， 可得， 直线和以，为端点的线段相交， 则满足或， 即或， 所以C错误； 对于D，依题可知以为圆心，1为半径的圆与圆M相交， 因为圆M的圆心为，半径为r， 所以， 又， 所以， 解得， 故D正确． 故选： 对于A，分过点的直线斜率不存在与存在两种情况求解即可判断；对于B，根据点在圆外得到不等关系，利于圆心到直线的距离与半径的关系进行判断即可；对于C，根据条件建立不等式，解出即可；对于D，问题转化为两个圆相交，列出不等式组，解出即可． 本题考查了圆的性质，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题． 11.【答案】BCD  【解析】解：过点F作交于点N，连结，EF， 所以过，E，F的平面截正方体所得截面为平面，又E，F分别为三等点， 所以点N为的中点， 在中，， 所以，易得， 所以， 所以过，E，F的平面截正方体所得截面不是等腰梯形， 故选项A错误； 因为直线平面， 所以点M到平面的距离等于点B到平面的距离， 设点B到平面的距离为h， 因为点B，E，F，均为定点， 故均为定值， 所以为定值， 故选项B正确； 过点B作交EF于点，连结， 又因为直线平面，平面，平面平面， 所以， 故， 所以点M的运动轨迹的长度即为EF的长度， 由上可知， 故选项C正确； 因为EF的长度为定值， 所以点M到EF的距离最短的时候即为过B，E，M的平面截正方体所得截面面积的最小， 此时点M在线段上靠近点D的三等分点处， 易得， 此时的截面是边长分别为3和的长方形，面积为， 所以过B，E，M的平面截正方体所得截面面积的最小值为， 故选项D正确． 故选： 分别求出，EF的长度判断选项A，利用椎体的体积公式以及等体积法判断选项B，利用轨迹的定义寻找到点M的轨迹，求解其长度判断选项C，分析出当点M位于靠近D点的三等分点时截面积最小，求解判断选项D，从而得到的答案． 本题考查命题真假的判断，试题以立体几何的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解立体几何中点、线、面位置关系的基础上，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答． 12.【答案】  【解析】解：由题意，恰有1人命中的概率 三人都没有命中的概率 因此，至多有一人命中的概率 故答案为： 根据相互独立事件的概率公式，计算出恰有1人命中的概率与三人都没有命中的概率，再相加即可得到本题的答案． 本题主要考查事件与样本空间、相互独立事件的概率乘法公式等知识，属于基础题． 13.【答案】或  【解析】解：由，得， 可得圆心为，半径为 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 当直线截圆所得线段长度时，有， 即，解得 ，此时直线方程为 综上所述，直线l的方程为或 故答案为：或 根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案． 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，是中档题． 14.【答案】  【解析】解：由，得，所以， 由梯形ABCD是圆内接四边形，可得梯形ABCD是等腰梯形，， 取AB边的中点O，连接OD，可得 以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 设，OP是角的终边，可得， 所以，，， 结合，得，所以的取值范围是 故答案为： 根据单位向量的概念与数量积的定义，求出，可得，取AB的中点O，则A、B、C、D四点在以O为圆心，半径的圆上，由此建立平面直角坐标系，设P的坐标为，算出向量、的坐标，进而建立关于的表达式，利用余弦函数的性质算出的取值范围． 本题主要考查圆内接四边形的性质、平面向量数量积的定义与运算性质、余弦函数的性质等知识，属于中档题． 15.【答案】证明：因为底面ABCD，平画ABCD， 所以， 又因为，， 所以平面PAB， 因为平面ACE， 所以平面平面PAB； 连接EF、AE，连接AC交BD于点O，连接OM， 在中，M，O分别为CE，AC中点， 所以， 又因为平面BDM，OM平面BDM， 所以平面BDM， 在中，E，F分别为PD，PB中点， 所以， 又因为平面BDM，平面BDM， 所以平面BDM， 又因为AE，平面AEF，， 所以平面平面BDM， 又因为平面AEF， 所以平面  【解析】利用线面垂直的性质可证，利用线面垂直的判定可证平面PAB，利用面面垂直的判定即可证明平面平面PAB； 连接EF、AE，连接AC交BD于点O，连接OM，由题意，利用线面平行的判定可证平面BDM，由题意可得，利用线面平行的判定可证平面BDM，利用面面平行的判定可证平面平面BDM，进而利用面面平行的性质可证平面 本题考查了线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，线面平行的判定，面面平行的判定和性质，考查了数形结合思想，属于中档题． 16.【答案】解：根据题意可得，； 前几组的频率依次为，，，， 样本数据的第62百分位数在内， 样本数据的第62百分位数估计为： 分； 样本数据落在的个数为， 落在的个数为， 样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是 ， 总方差  【解析】根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； 由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； 利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解． 本题考查频率分布直方图的性质，百分位数的求解，加权平均数与方差的求解，属中档题． 17.【答案】解：由，可得， 又， 所以， 即，又， 则，可得， 又，所以； 因为且，则，可得， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或舍去， 所以的外接圆半径  【解析】根据结合三角恒等变换化简整理即可得结果； 根据题意利用余弦定理可得，进而利用正弦定理求外接圆半径． 本题考查三角恒等变换及正弦定理、余弦定理，属中档题． 18.【答案】解：证明：设平面平面， 由于，平面ADC，平面ADC， 因此平面PDC，而平面APB， 所以平面平面， 因此，而，因此， 而平面平面PCD，且平面平面，平面PAB， 所以平面PDC，而平面PDC， 所以， 故是直角三角形． 由于，， 所以P是以EF为直径半圆上的点． 而，，，PE，平面PEF， 所以平面PEF，而平面ABCD， 因此平面平面ABCD， 故P到平面ABCD的最大距离为， 四棱锥P―体积最大为 设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m， 设平面PEF与平面PBC夹角为，  以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 并设 易知，平面PEF的一个法向量为， 因为，， 设平面PBC的法向量为， 因此，即， 令，则， 所以， 所以， 不妨设 则，，因此随增大而增大， 所以    【解析】证出平面PDC，根据平面PDC，即可得出，进而得证； 根据平面平面ABCD，得到P到平面ABCD的最大距离，即可求解； 建立空间直角坐标系，分别求出平面PEF与平面PBC的法向量，利用向量夹角公式即可求解． 本题考查空间几何体的线面关系，体积公式，以及空间向量的应用，属于中档题． 19.【答案】解：设圆心， 点C在与切线垂直且过切点的直线：上， 所以， 即， 所以，半径， 圆C的方程为： 设，直线MN方程为：， 联立得， ，， 直线OM方程为：，直线BN方程为：， 联立， 可得 点G在直线上．  【解析】设圆心，求出，半径，即可； 设直线MN方程为：与圆的方程联立，利用韦达定理即可． 本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$