黄金卷05（新高考Ⅰ卷专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考I卷） 黄金卷05·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A A D D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD ABC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．0 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中， 因为椭圆的离心率为，即，…………………………2分 所以，， 所以椭圆方程为………………………………………………………6分 （2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；…………………7分 所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所： 联立得，…………………9分 设，则，…………………………………10分 根据焦点弦公式可得，…………………………………11分 解得，， 所以直线方程为或…………………………………………………………13分 16．（15分） 【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以. …………………2分 又平面ABCD，平面ABCD，所以. …………………4分 因为，平面， 所以平面.………………………………………6分 （2）由题意得，.…………………………………………………7分 以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，. 所以，. ……………………………8分 设平面的法向量为， 则，令，得. ……………………………10分 易知平面的一个法向量为， ………………………11分 则， ……………………………13分 所以平面与平面所成二面角的正弦值为.…………………15分 17．（15分） 【详解】（1）已知， 当时，；……………………………2分 当时，，……………………………4分 则，……………………………6分 显然时，，满足上式， 综上，；………………………………………………………7分 （2）由上知:，……………………………9分 故，……………………………11分 易知单调递增，……………………………12分 时，，……………………………13分 又，即，证毕.……………………………15分 18．（17分） 【详解】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，，……………………………2分 ……………………………3分 则.……………………………4分 （2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，，……………………………5分 服从二项分布：……………………………6分 ，， ，， ，……………………………8分 所以期望，……………………………9分 方差；……………………………10分 ②的可能取值为，此时，……………………………11分 个粒子返回室的概率为，……………………………13分 则……………………………14分 故， 所以，……………………………16分 当时，取最大值.……………………………17分 19．（17分） 【详解】（1）不妨设，在区间上严格减， 对任意，有，……………………………1分 又，……………………………3分 函数在区间上是严格减函数；……………………………4分 （2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增， 当在区间上严格减时，在区间上是严格减，……………………………5分 又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值， 因为.是函数的极值点，……………7分 所以是的根，所以，……………8分 当时，.……………10分 令，解得或， 所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 满足条件，所以.……………………………………………12分 （3）当时， 由条件知，………………………13分 ………………………14分 当时，对任意，有， 即，……………15分 又的值域是，， 当时，对任意，有， ， ………………………………………………………16分 又的值域是，， 综上可知，任意，.………………………………………………………17分 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考I卷） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，其中为虚数单位.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 5．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 6．已知，且，则（    ） A． B． C．1 D． 7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（   ） A．正三棱台的高为 B．正三棱台的体积为 C．与平面所成角的正切值为1 D．正三棱台外接球的表面积为 10．已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．的离心率为 C．点到轴的距离为 D． 11．定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（   ） A．为的一个周期 B． C．若，则 D．在上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 ． 13．已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为 ． 14．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 16．（15分）在六面体中，平面，，且底面为菱形. (1)证明：平面. (2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值. 17．（15分）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 18．（17分）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 19．（17分）设是定义域为的函数，当时，. (1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数； (2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； (3)已知，且对任意，当时，有，证明： 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考I卷） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由题，得，故，进而， 故选：A 2．设，其中为虚数单位.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出，令求出相应的的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以. 令，即，解得或， 所以推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由数量积的运算律可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由，得，即， 由已知得，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4．已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据数列是等比数列，可知数列为等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【详解】则为常数，所以为常数， 知数列为等差数列， 由，知，又， 所以公差， 故. 故选：A 5．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 6．已知，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合正切的和角公式计算即可. 【详解】由可得，所以， 因为，所以， 解之得. 故选：D 7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法数，然后由概率公式计算． 【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场， 方法数为， 在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”， 即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为， 因此所求概率为． 故选：A． 8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，分析函数的单调性，画出函数草图，数形结合可求的取值范围. 【详解】由，有， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 又时，， 如图可知之间存在三个不相等的实数，，， 使成立. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（   ） A．正三棱台的高为 B．正三棱台的体积为 C．与平面所成角的正切值为1 D．正三棱台外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】将正棱台补全为一个正棱锥，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积. 【详解】将正棱台补全为一个正棱锥，如下图示， 其中分别为上下底面的中心，为的中点， 易知，则为等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角， 所以，而，则， 根据棱台上下底面相似，知，即，故，A错； 由，， 所以，B对； 由图知：为与平面所成角，则，C对； 若为正三棱台外接球的球心，则其半径，即， 令，则，可得， 所以，故外接球表面积为，D对. 故选：BCD 10．已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．的离心率为 C．点到轴的距离为 D． 【答案】ACD 【分析】根据中位线及椭圆的定义，利用等边三角可求出，，再由余弦定理可得关系，即可判断B，再由三角形面积公式判断A，利用等面积法判断C，由角平分线定理求出即可判断D. 【详解】如图，设，，延长交于点.    由题意知，为的中点，则为的中点， 又，所以是等边三角形， 则化简得即 在中，由余弦定理得， 所以，即. 因为，所以，，所以，，故B错误. 的面积为，故A正确. 设点到轴的距离为，所以，则，故C正确. 因为是的平分线，所以， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD 11．定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（   ） A．为的一个周期 B． C．若，则 D．在上单调递增 【答案】ABC 【分析】结合已知求得为的一个周期，从而A正确；将等式两侧对应函数分别求导，得，即可判断B正确；利用中心对称性质求值判断C正确；根据函数的性质判断D错误. 【详解】由，将x替换成，得． 因为，由上面两个式子，． 将x替换成，，所以． 所以， 所以为的一个周期，A正确； 将等式两侧对应函数分别求导， 得，即成立，B正确； 满足，即函数图象关于点中心对称， 函数的最大值和最小值点一定存在关于点中心对称的对应关系， 所以，解得，C正确； 已知条件中函数没有单调性，无法判断在上是否单调递增，D错误. 故选：ABC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】分取1，取和取，取两种情况讨论即可. 【详解】当取1，取，的系数为； 当取，取时，得的系数为：. 所以的系数为：. 故答案为： 13．已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为 . 【答案】0 【分析】设函数与的公共点为，由题意得，可求出的值，由即可求出的值. 【详解】设函数与的公共点为， 则有， 则， 解得或（舍去）， 所以， 所以，解得. 故答案为：0. 14．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于 . 【答案】 【分析】先求出两个半圆面的面积，再求曲线与、轴围成的区域的面积， 根据对称性得出与、轴围成的区域的面积，即可得解. 【详解】设，线段的中点为，如图， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴、轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴、轴围成的区域的面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与、轴围成的区域的面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用焦点坐标和离心率可求得椭圆方程； （2）分别讨论直线斜率是否存在，联立直线和抛物线方程利用焦点弦公式可得，即得直线方程. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中， 因为椭圆的离心率为，即，…………………………2分 所以，， 所以椭圆方程为………………………………………………………6分 （2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；…………………7分 所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所： 联立得，…………………9分 设，则，…………………………………10分 根据焦点弦公式可得，…………………………………11分 解得，， 所以直线方程为或…………………………………………………………13分 16．（15分）在六面体中，平面，，且底面为菱形. (1)证明：平面. (2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先证，，再根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的三角函数. 【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以. …………………2分 又平面ABCD，平面ABCD，所以. …………………4分 因为，平面， 所以平面.………………………………………6分 （2）由题意得，.…………………………………………………7分 以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，. 所以，. ……………………………8分 设平面的法向量为， 则，令，得. ……………………………10分 易知平面的一个法向量为， ………………………11分 则， ……………………………13分 所以平面与平面所成二面角的正弦值为.…………………15分 17．（15分）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式； （2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明. 【详解】（1）已知， 当时，；……………………………2分 当时，，……………………………4分 则，……………………………6分 显然时，，满足上式， 综上，；………………………………………………………7分 （2）由上知:，……………………………9分 故，……………………………11分 易知单调递增，……………………………12分 时，，……………………………13分 又，即，证毕.……………………………15分 18．（17分）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 【答案】(1) (2)①分布列见详解，期望，方差； ② 【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案； （2）①根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望和方差； ②根据二项式定理即可求得最大项. 【详解】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，，……………………………2分 ……………………………3分 则.……………………………4分 （2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，，……………………………5分 服从二项分布：……………………………6分 ，， ，， ，……………………………8分 所以期望，……………………………9分 方差；……………………………10分 ②的可能取值为，此时，……………………………11分 个粒子返回室的概率为，……………………………13分 则……………………………14分 故， 所以，……………………………16分 当时，取最大值.……………………………17分 19．设是定义域为的函数，当时，. (1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数； (2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； (3)已知，且对任意，当时，有，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可； （3）利用题目条件，代入，分和两种情况进行讨论即可证明. 【详解】（1）不妨设，在区间上严格减， 对任意，有，……………………………1分 又，……………………………3分 函数在区间上是严格减函数；……………………………4分 （2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增， 当在区间上严格减时，在区间上是严格减，……………………………5分 又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值， 因为.是函数的极值点，……………7分 所以是的根，所以，……………8分 当时，.……………10分 令，解得或， 所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 满足条件，所以.……………………………………………12分 （3）当时， 由条件知，………………………13分 ………………………14分 当时，对任意，有， 即，……………15分 又的值域是，， 当时，对任意，有， ， ………………………………………………………16分 又的值域是，， 综上可知，任意，.………………………………………………………17分 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$