第五章 统计与概率（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第二册）

第五章 统计与概率（压轴题专练） 题型一：样本估计总体 1．（2022高二下·河北·学业考试）若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．3，7 B．5，13 C．2，12 D．5，12 3．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）由小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于，则对于样本1，，，，，的中位数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若样本的平均数为10，方差为20，则样本的平均数和方差分别为（    ） A．20，35 B．20，40 C．15，75 D．15，80 5．（24-25高三上·海南·开学考试）已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ） A．中位数不变 B．若，则数据的第75百分位数为7.5 C．平均数不变 D．方差变小 6．（21-22高二上·江西赣州·期末）有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本标准差相同 C．两组样本数据的样本中位数相同 D．两组样本数据的样本众数相同 题型二：总体百分位数的估计 1．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是（    ） A．14.5 B．15 C．16 D．17 2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（    ）    A．盛李豪的平均射击环数超过 B．黄雨婷射击环数的第百分位数为 C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差 D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差 3．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（    ）    A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 4．（22-23高三上·山东滨州·期末）某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（    ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A．众数约为10 B．中位数约为6.5 C．平均数约为6.76 D．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6 5．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是（    ） A．该组数据的中位数为7 B．该组数据的平均数为7.5 C．该组数据的第60百分位数为7.5 D．该组数据的极差为5 6．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ） A．中位数不变 B．第35百分位数不变C．平均数不变 D．方差不变 题型三：概率的基本性质 1．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（    ） A．()与C是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C．的概率一定不超 D．的概率一定等于0.5 2．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西咸阳·一模）某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·全国·课后作业）给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 6．（2020高三·全国·专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：用频率估计概率 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为 B．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小 C．某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D．随着试验次数足够多，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 2．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 3．（2024高一·全国·专题练习）下列结论错误的是（　　） A．若事件的概率为，则必有 B．若事件的概率，则事件是必然事件 C．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为 D．某奖券中奖率为，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 4．（22-23高一下·河北衡水·期末）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为480 B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 5．（21-22高一下·湖北襄阳·阶段练习）为了研究一种新药的疗效，将100名患者随机分成两组，每组50人，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，得到图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者，则下列说法中正确的是 （    ） A．服药组的指标x的平均数和方差比未服药组的都小 B．未服药组的指标y的平均数和方差比服药组的都大 C．以统计的频率作为概率，估计患者服药一段时间后指标x低于100的概率为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都高于1.5 6．（21-22高一·全国·课后作业）（多选）下列命题中正确的有（    ） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是 C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是 题型五：判断所给事件是否互斥关系 1．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 2．（23-24高一下·宁夏固原·期末）设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若事件，则 B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 D． 3．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（    ） A．A包含C B．A与B相互独立 C．B与C互为对立事件 D．B与C互斥但不对立 4．（23-24高一下·福建福州·期末）下列描述正确的是 （   ） A．若，，，则事件 与 相互独立 B．与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的充分不必要条件 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是 5．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机拋掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件“”，事件“”， 件“”，则（    ） A． B． C．互斥 D．独立 6．（23-24高一下·江苏南通·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 题型六：根据古典概型的概率求参数 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 2．（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 3．（2023高三·全国·专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件． 4．（21-22高一下·北京朝阳·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为 ． 5．（20-21高一下·江苏南京·期末）在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 . 6．（18-19高一上·上海徐汇·阶段练习）在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为，那么此袋中原有绿球 个. 题型七：有无放回问题的概率 1．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 2．（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 3．（23-24高一下·四川达州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个． (1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率； (2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率； (3)求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率； (4)求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率． 4．（2024高一下·全国·专题练习）某班的元旦联欢晚会设计了编号分别为1～9的9个小项目，依次对应：1→唱一首歌，2→背一首古诗，3→奖品钢笔，4→说俗语，5→表演小品，6→智力测试，7→奖品笔记本，8→做数学题（若，，求），9→讲笑话．要求每人抽得各个项目的机会均等． (1)试替此晚会设计一个模拟试验（模拟的方法很多，如制作转盘的方式、抓阄的方式等．），能简便操作； (2)试分析第1个人中奖的概率． 5．（19-20高一下·陕西汉中·期末）一袋中装有分别标记着1，2，3，4，5数字的5个质地相同的小球. (1)从袋中一次取出2个球，试求2个球中最大数字为4的概率； (2)从袋中每次取出一个球，取出后放回，连续取2次，试求取出的2个球中最大数字为5的概率. 6．（20-21高一·全国·课后作业）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的1个白球和1个黑球，先摸出1个球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1个球． (1)一共可能出现多少种不同的结果？ (2)出现“1个白球、1个黑球”的结果有多少种？ (3)出现“1个白球、1个黑球”的概率是多少？ 题型八：利用对立事件的概率公式求概率 1．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 2．（24-25高二下·全国·课堂例题）根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 4．（24-25高二·上海·课堂例题）三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 5．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 6．（23-24高一下·河北邢台·期末）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立． (1)甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率； (2)求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率； (3)求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率． 题型九：频率分布直方图各大参数的求算 1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．    (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）某高二实验班共有50名学生，数学老师为研究某次考试，将所有学生的成绩分成5组：，，，，，得到频率分布直方图如下. (1)求的值，并估计本班学生成绩的中位数（计算结果保留1位小数）； (2)全班共有24名女生，该次考试成绩在120分以下的女生有8人，则不低于120分的男生有多少人？ 3．（2024高三·全国·专题练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第百分位数； (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差. 4．（2024高三·全国·专题练习）为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30. (1)求乙离子残留百分比直方图中的值； (2)求甲离子残留百分比的第百分位数； (3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 5．（24-25高二上·重庆·开学考试）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中． (1)求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； (2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值.将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)若，求； (2)若，函数. ①求的最小值； ②结合调查实际，解释①中最小值的含义，并确定临界值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 统计与概率（压轴题专练） 题型一：样本估计总体 1．（2022高二下·河北·学业考试）若样本数据的平均数是2，则数据的平均数是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】由均值的定义求解． 【详解】由题意， 所以 ， 故选：C． 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．3，7 B．5，13 C．2，12 D．5，12 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的性质运算求解. 【详解】由题意可得：数据，，，的平均数为， 方差是. 故选：D. 3．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）由小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于，则对于样本1，，，，，的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位数的计算即可求解. 【详解】由于小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于， 所以，则， 将1，，，，，从小到大排列为，，，1，，， 故中位数为. 故选：C 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若样本的平均数为10，方差为20，则样本的平均数和方差分别为（    ） A．20，35 B．20，40 C．15，75 D．15，80 【答案】D 【分析】根据平均数、方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由题得样本，的平均数为，方差为． 故选：D 5．（24-25高三上·海南·开学考试）已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ） A．中位数不变 B．若，则数据的第75百分位数为7.5 C．平均数不变 D．方差变小 【答案】B 【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确； 当时，数据按从小到大顺序排列：. 因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误； 由于，故,,,,, 原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故C正确； 原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故D正确. 故选：B. 6．（21-22高二上·江西赣州·期末）有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本标准差相同 C．两组样本数据的样本中位数相同 D．两组样本数据的样本众数相同 【答案】B 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用标准差公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用众数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，设数据的平均数为，数据的平均数为， 则 ，故A错； 对于B选项，设数据的标准差为，数据的标准差为， ，故B对； 对于C选项，设数据中位数为，数据的中位数为， 不妨设，则， 若为奇数，则，； 若为偶数，则，. 综上，，故C错； 对于D选项，设数据的众数为， 则数据的众数为，故D错. 故选：B. 题型二：总体百分位数的估计 1．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是（    ） A．14.5 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】将这10个数据从小到大排列，根据，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将这10个数据从小到大排列得：， 因为，所以这10个数的分位数是. 故选：D. 2．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（    ）    A．盛李豪的平均射击环数超过 B．黄雨婷射击环数的第百分位数为 C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差 D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差 【答案】C 【分析】根据图表数据可直接判断选项A，利用第百分位数的解法直接判断选项B，根据图表的分散程度即可判断选项C，根据极差的求法直接判断选项D. 【详解】由题知，盛李豪的射击环数只有两次是环，次环， 其余都是环以下，所以盛李豪平均射击环数低于，故A错误； 由于，故第百分位数是从小到大排列的第个数，故B错误； 由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确； 黄雨婷射击环数的极差为， 盛李豪的射击环数极差为，故D错误. 故选：C 3．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（    ）    A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 【答案】B 【分析】A由图结合极差概念可判断选项正误；B由图结合百分位数概念可判断选项正误；C由图可判断甲乙平均数的大小关系；D由图结合方差概念可判断选项正误. 【详解】A，由图甲的极差约为30，乙的极差大于30，故A正确； B，对甲成绩排序，又，则第2个成绩为甲成绩的第25百分位数，由图估计值为90； 对乙成绩排序，又，则第5个成绩为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90， 则甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，故B错误； C，由图可知，甲的成绩在90分上下浮动，乙的成绩有3次低于60分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数，故C正确； D，由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故D正确. 故选：B 4．（22-23高三上·山东滨州·期末）某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（    ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A．众数约为10 B．中位数约为6.5 C．平均数约为6.76 D．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图可依次计算众数，中位数，平均数可判断A，B，C；利用百分位数的定义求解判断D. 【详解】对于A，由图可知众数在内，所以众数是6，故A错误； 对于B，由图，中位数在内，所以，解得 ，故B错误； 对于C，平均数为，故C错误； 对于D，由图，该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是（    ） A．该组数据的中位数为7 B．该组数据的平均数为7.5 C．该组数据的第60百分位数为7.5 D．该组数据的极差为5 【答案】B 【分析】根据中位数，平均数，百分位数，极差的求法进行求解即可. 【详解】首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8， 9， 9， 该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确； 该组数据的平均数为，因此B说法不正确； 又，因此该组数据的第60百分位数为，因此C说法正确； 又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确； 故选：B. 6．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ） A．中位数不变 B．第35百分位数不变C．平均数不变 D．方差不变 【答案】D 【分析】由中位数，百分位数，平均数和方差的定义，计算后确定结论. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A选项正确； 原数据中，，第35百分位数是第4个数据， 去掉，后，，第35百分位数是新数据中的第3个， 第35百分位数不变，B选项正确； 原来的平均数为， 去，掉后的平均数为，平均数不变，故C选项正确； 原来的方差为， 去掉后，的方差为， 方差变小，故D选项错误. 故选：D. 题型三：概率的基本性质 1．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（    ） A．()与C是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C．的概率一定不超 D．的概率一定等于0.5 【答案】C 【分析】根据A，B，C不一定互斥，利用和事件的一般概率公式计算可判断各选项得解. 【详解】由事件A，B，C不一定两两互斥， 所以， ，且， 所以不一定是必然事件，无法判断与C是不是互斥事件， 所以A、B、D中说法错误． 故选：C． 2．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及概率的取值范围求解即得. 【详解】依题意，，由， 得，又， 则当时，， 所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是. 故选：C 4．（2023·陕西咸阳·一模）某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，进而根据题意得，再结合求解即可. 【详解】解：设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件， 则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件， 所以，，， 所以，， 又因为， 所以，， 故选：B 5．（22-23高一下·全国·课后作业）给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 【答案】C 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到. 【详解】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有， 当A，B不互斥时，，A选项错误； 对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误； 对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确； 对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误； 故选：C. 6．（2020高三·全国·专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答. 【详解】因随机事件，互斥，则， 依题意及概率的性质得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 题型四：用频率估计概率 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为 B．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小 C．某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D．随着试验次数足够多，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】BD 【分析】运用频率和概率概念，以及频率与概率的关系逐个判断即可. 【详解】对于A，小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的频率为，不是命中率，故A错误； 对于B，D,运用频率的定义，概率与频率的关系可判断都正确. 对于C， 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽.故C错误. 故选：BD. 2．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】AD 【分析】由频率和概率的有关概念即可得出答案. 【详解】对于A，任何事件的概率总是在[0，1]之间，其中必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A正确； 对于B，概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关， 而事件的结果是随机的，在试验前不能确定，故B错误； 对于C，只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的， 一般来说，当试验的次数不同，频率是不同的，它与试验次数有关，故C错误； 对于D，由频率的性质可知，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故D正确； 综上所述，正确的有A、D， 故选：AD. 3．（2024高一·全国·专题练习）下列结论错误的是（　　） A．若事件的概率为，则必有 B．若事件的概率，则事件是必然事件 C．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为 D．某奖券中奖率为，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 【答案】ABD 【分析】根据概率的性质判断A，根据必然事件的定义判断B，根据频率与概率的关系判断C，根据概率的定义判断D. 【详解】对于A：因为，故A错误； 对于B：当事件的概率时，事件才是必然事件，故B错误； 对于C：样本中有明显的疗效的频率为，所以估计有明显疗效的可能性为，故C正确； 对于D：奖券中奖率为，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，故D错误． 故选：ABD. 4．（22-23高一下·河北衡水·期末）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为480 B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 【答案】ABD 【分析】对于A，根据参加合唱社团的人数及所占比例可求出总人数； 对于B，根据参加脱口秀社团的人数除以总人数即可判断； 对于C，求出参加朗诵社团的人数，再求出参加舞蹈社团的比例及人数即可判断； 对于D，根据参加舞蹈的占比及参加脱口秀社团的占比即可判断. 【详解】对于A，，故参加社团的同学的总人数为480，故A正确； 对于B，参加脱口秀社团的有120名， 故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确； 对于C，参加朗诵社团的人数为， 参加舞蹈社团的占比为， 参加舞蹈社团的人数为， 故参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多人，故C错误； 对于D，从参加社团的同学中任选一名， 其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，故D正确． 故选:ABD． 5．（21-22高一下·湖北襄阳·阶段练习）为了研究一种新药的疗效，将100名患者随机分成两组，每组50人，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，得到图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者，则下列说法中正确的是 （    ） A．服药组的指标x的平均数和方差比未服药组的都小 B．未服药组的指标y的平均数和方差比服药组的都大 C．以统计的频率作为概率，估计患者服药一段时间后指标x低于100的概率为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都高于1.5 【答案】ACD 【分析】根据图中数据的分布分析，可得答案. 【详解】对于A，服药组的指标的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标的平均值小于，未服药组的指标的平均值大于，故A正确； 对于B，未服药组的指标的取值相对集中，方差较小，故B不正确； 对于C，服药组的指标的取值有个大于，所以患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为，故C正确； 对于D，未服药组的指标的取值只有1个数据比小，则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于，故D正确. 故选：ACD 6．（21-22高一·全国·课后作业）（多选）下列命题中正确的有（    ） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此，出现正面的概率是 C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现在胃溃疡的病人服用此药，则有明显疗效的可能性为 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是 【答案】CD 【分析】频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，频率是概率的一个近似。频率是一个对象出现的频数和总数的比值，概率则是一个事件自身的属性，仔细分析题意即可求解. 【详解】次品率为0.05，只是反映次品在这批产品中的占比情况，从中任取200件，不一定有10件是次品，A错误. 做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面,只能说正面的频率是，而概率是，B错误. 对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效,可以说有明显疗效的可能性为，C正确. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，出现1点的频率是，D正确. 故选：CD 题型五：判断所给事件是否互斥关系 1．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】试验的样本空间 ， 事件， ，， 对于A，事件与没有公共的基本事件，与互斥，A正确； 对于B，显然是中元素，也满足事件，即与可以同时发生，B错误； 对于C，，，，，与独立，C正确； 对于D，，，，与独立，D正确. 故选：ACD 2．（23-24高一下·宁夏固原·期末）设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若事件，则 B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 D． 【答案】AC 【分析】根据事件的包含关系判断A，根据互斥事件与相互独立事件的概率与性质判断BC，再由和事件概率公式判断D． 【详解】若事件B包含事件A，则，故A正确； 若事件A、B互斥，则， 若事件A、B相互独立，则，故B错误，C正确； 因为， 所以当互斥时，，故D错误． 故选：AC． 3．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（    ） A．A包含C B．A与B相互独立 C．B与C互为对立事件 D．B与C互斥但不对立 【答案】ABD 【分析】先由题得，，，对于A，由包含事件定义即可得解；对于B，由相互独立事件的乘法公式去计算和即可判断；对于C和D，由互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】由题意可知，，， 且，，， 对于A，由上可知A包含C，故A正确； 对于B，，，故，故B正确； 对于C和D，设事件“抛掷质地均匀的骰子两次”，则， 故由和知B与C互斥但不对立，故C错误，D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·福建福州·期末）下列描述正确的是 （   ） A．若，，，则事件 与 相互独立 B．与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的充分不必要条件 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是 【答案】AC 【分析】A选项，利用判断出事件与相互独立；B选项，根据互斥事件、对立事件的定义结合充分条件、必有条件作出判断；对于C根据互斥事件的定义作出判断，D选项，分两种情况进行计算. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，与 是互斥事件，但与 不一定是对立事件，与 互为对立事件， 则与 一定是互斥事件，所以“与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的必要不充分条件；故B错误； 对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确； 对于D，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到绿球， 则第二次摸到红的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确. 故选：AC. 5．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机拋掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件“”，事件“”， 件“”，则（    ） A． B． C．互斥 D．独立 【答案】ABD 【分析】根据事件的运算及包含关系即可判断AB；根据互斥事件的定义即可判断C；根据相互独立事件概率的乘法公式即可判断D. 【详解】“且”， 事件的基本事件有， 共个， 所以，故A正确； “且”“且”， 所以，故B正确； 对于C，当且时，事件同时发生， 所以不互斥，故C错误； 对于D，， 而“且”，则， 所以，所以独立，故D正确. 故选：ABD. 6．（23-24高一下·江苏南通·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 题型六：根据古典概型的概率求参数 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【详解】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 2．（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 【答案】 /0.3 10 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可. 【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为. 现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法； 假设袋子中有个红球，个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法； 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 ； 则若第三次取出的球为白球的概率为， 因为， 所以第三次取出的球为白球的概率为 ， 解得=10.故答案为：. 3．（2023高三·全国·专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件． 【答案】 【分析】根据分层抽样原则可求得甲工厂抽取的样品数，根据抽到甲工厂生产等级产品的概率可构造方程求得抽取甲工厂生产的等级产品的数量，由此可得结果. 【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品， 设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：， 抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件. 故答案为：. 4．（21-22高一下·北京朝阳·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为 ． 【答案】2或8 【分析】先求出取出的2个球颜色不同的概率，再解方程求解即可. 【详解】由题意知，取出的2个球颜色不同的概率为， 化简得，解得或8. 故答案为：2或8. 5．（20-21高一下·江苏南京·期末）在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 . 【答案】8 【分析】首先设型机器人个，型机器人个，由条件列方程组，即可求解. 【详解】设型机器人个，型机器人个， 则 ，解得：，. 故答案为：8 6．（18-19高一上·上海徐汇·阶段练习）在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为，那么此袋中原有绿球 个. 【答案】 【分析】设袋中原有x个绿球，利用最终摸到红球的概率构建关系式，解得x即可. 【详解】设此袋中原有绿球x个，共有6+x个，再往此袋中放入5个白球后，共11+x个， 其中红球6个，所以摇匀后摸出一球，摸到红球的概率为 解得，所以原有绿球个， 故答案为：. 题型七：有无放回问题的概率 1．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得； （2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得. 【详解】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有： ，共20种. 3个小球上标号均不相同的有： 共8种， 所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为. （2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法. 2个小球上标号相同的取法有： 共12种取法， 所以2个小球上标号相同的概率为， 所以取出的2个小球上标号不相同的概率. 2．（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 【答案】(1)(2)结果见解析， 【分析】（1）根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果； （2）根据条件，列出样本空间点和事件的样本点，利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个. 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则. 所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为. （2）一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种. 所以，. 3．（23-24高一下·四川达州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个． (1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率； (2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率； (3)求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率； (4)求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （2）利用不放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （3）利用有放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （4）利用不放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）记7个红球编号，3个白球分别为， 则在有放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有10种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成100种等可能的结果. 如表1所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） （1,8） （1,9） （1,10） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2，7） （2,8） （2,9） （2,10） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） （3,8） （3,9） （3,10） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （4，7） （4,8） （4,9） （4,10） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （5，7） （5,8） （5,9） （5,10） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） （6，7） （6,8） （6,9） （6,10） 7 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （7，7） （7,8） （7,9） （7,10） 8 （8，1） （8，2） （8，3） （8，4） （8，5） （8，6） （8，7） （8,8） （8,9） （8,10） 9 （9，1） （9，2） （9，3） （9，4） （9，5） （9，6） （9，7） （9,8） （9,9） （9,10） 10 （10，1） （10，2） （10，3） （10，4） （10，5） （10，6） （10，7） （10,8） （10,9） （10,10） 表1 由上表可以看出，第二次摸到白球为第8、9、10三列，共有30种可能的结果，记A=“第二次摸到白球”，则. （2）在不放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有9种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成90种等可能的结果，如表2所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） （1,8） （1,9） （1,10） 2 （2，1） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2，7） （2,8） （2,9） （2,10） 3 （3，1） （3，2） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） （3,8） （3,9） （3,10） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，5） （4，6） （4，7） （4,8） （4,9） （4,10） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，6） （5，7） （5,8） （5,9） （5,10） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，7） （6,8） （6,9） （6,10） 7 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （7,8） （7,9） （7,10） 8 （8，1） （8，2） （8，3） （8，4） （8，5） （8，6） （8，7） （8,9） （8,10） 9 （9，1） （9，2） （9，3） （9，4） （9，5） （9，6） （9，7） （9,8） （9,10） 10 （10，1） （10，2） （10，3） （10，4） （10，5） （10，6） （10，7） （10,8） （10,9） 表2 由上表可知，第二次摸到白球的可能结果有27种，见表中后3列. 记B=“第二次摸到白球”，则. （3）由表（1）可知，有放回的摸球摸到颜色相同的可能结果有58种. 记C=“摸到球颜色相同”，则. （4）由表（2）可知，不放回的摸球摸到颜色相同的可能结果有48种. 记D=“摸到球颜色相同”，则. 4．（2024高一下·全国·专题练习）某班的元旦联欢晚会设计了编号分别为1～9的9个小项目，依次对应：1→唱一首歌，2→背一首古诗，3→奖品钢笔，4→说俗语，5→表演小品，6→智力测试，7→奖品笔记本，8→做数学题（若，，求），9→讲笑话．要求每人抽得各个项目的机会均等． (1)试替此晚会设计一个模拟试验（模拟的方法很多，如制作转盘的方式、抓阄的方式等．），能简便操作； (2)试分析第1个人中奖的概率． 【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）可用9张扑克牌分别代表编号1～9所对应的项目设计模拟实验； （2）由于9张牌中只有2张有奖，从而可得第1个人中奖的概率. 【详解】（1）可用9张扑克牌分别代表编号1～9所对应的项目， 其中2张分别代表“奖品钢笔”“奖品笔记本”，采用随机翻牌决定的方式． （2）9张牌中只有2张有奖，因此第1个人中奖的概率为． 5．（19-20高一下·陕西汉中·期末）一袋中装有分别标记着1，2，3，4，5数字的5个质地相同的小球. (1)从袋中一次取出2个球，试求2个球中最大数字为4的概率； (2)从袋中每次取出一个球，取出后放回，连续取2次，试求取出的2个球中最大数字为5的概率. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得； （2）分二次都取到5与有1次取到5另1次小于5两种情况，再根据相互独立事件的概率公式计算可得； 【详解】（1）解： “从袋中一次取出2个球”包含的基本事件有： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4）， （2，5），（3，5），（3，4），（4，5）共10个 其中“最大数字为4”的基本事件有：（1，4），（2，4），（3，4）共3个 从袋中一次取出2个球，2个球中最大数字为4的概率为. （2）解：二次都取到5的概率为 二次中有1次取到5，另1次小于5的概率为. ∴取出的2个球中最大数字为5的概率为. 6．（20-21高一·全国·课后作业）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的1个白球和1个黑球，先摸出1个球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1个球． (1)一共可能出现多少种不同的结果？ (2)出现“1个白球、1个黑球”的结果有多少种？ (3)出现“1个白球、1个黑球”的概率是多少？ 【答案】(1)4(2)2(3) 【分析】（1）分别列出所有情况可得； （2）从（1）中找出“1个白球、1个黑球”的结果可得； （3）由（1）（2）结果可求出概率. 【详解】（1）根据题意，先后有放回的取出2球，出现的结果有（白，白），（白，黑），（黑，白），（黑，黑），一共4种不同的结果； （2）出现“1个白球、1个黑球”的结果有（白，黑），（黑，白）共2种不同的结果； （3）由（1）（2）可知，出现“1个白球、1个黑球”的概率是. 题型八：利用对立事件的概率公式求概率 1．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【答案】(1)；(2)出现2人合格的概率最大. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率求解即得. （2）求出两人合格的概率，再利用对立事件的概率公式求出一人合格的概率，比较大小即得. 【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，，，显然，，相互独立， 且，，，设恰有人合格的概率为， 则， . （2） ，， 而，所以出现2人合格的概率最大. 2．（24-25高二下·全国·课堂例题）根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率． 【答案】(1)0.3(2)0.3 【分析】（1）根据事件的相互独立性，由独立事件的乘法公式求解即可. （2）根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案. 【详解】（1）记表示事件“购买甲种保险”，表示事件“购买乙种保险”， 则由题意得与，与，与，与都是相互独立事件， 且，， 记表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则，所以. （2）记表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则，所以． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 【答案】(1)(2)答案见解析. 【分析】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”，进而分析可得取出的两球是相同颜色，则两球的颜色均为黑色或白色，由等可能事件的概率可得事件A的概率，由对立事件的概率性质可得答案; （2）根据模拟实验原则:必须保证实验在相同条件下进行，设计随机模拟即可. 【详解】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”. 则事件A的概率为： 由于事件A与事件B是对立事件， 所以事件B的概率为 （2）随机模拟的步骤： 第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生和两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数． 用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n 第3步：计算的值,则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值 4．（24-25高二·上海·课堂例题）三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【答案】 【分析】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 由，代入计算可得. 【详解】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 则, 所以 . 即击落直升机的概率为． 5．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 6．（23-24高一下·河北邢台·期末）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立． (1)甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率； (2)求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率； (3)求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率． 【答案】(1)(2)(3)． 【分析】（1）计算甲第一轮挑战赛被淘汰的概率，再根据对立事件的概率，即可求解； （2）分别计算甲、乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，再根据独立事件概率乘法公式，即可求解； （3）分别计算甲、乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率，由（2）的结论结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，即可求解. 【详解】（1）设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件，， 则，． 甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 则甲通过第一轮挑战赛的概率为． （2）设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B，则， ． 故所求概率为． （3）甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为． 乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为． 故所求概率为． 题型九：频率分布直方图各大参数的求算 1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．    (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． 【答案】(1)平均数为71，众数为75．(2)88(3)平均数为76，方差为12． 【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解. （2）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【详解】（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05， 平均数 由图可知，众数为75. 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分. （2）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第90%分位数落在第5组，设为x，则，解得． “防溺水达人”的成绩至少为88分． （3）的频率为0.15，的频率为0.30， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为，， 依题意有，解得， ，解得， 所以内的平均成绩为76，方差为12． 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）某高二实验班共有50名学生，数学老师为研究某次考试，将所有学生的成绩分成5组：，，，，，得到频率分布直方图如下. (1)求的值，并估计本班学生成绩的中位数（计算结果保留1位小数）； (2)全班共有24名女生，该次考试成绩在120分以下的女生有8人，则不低于120分的男生有多少人？ 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据频率直方图的性质，利用中位数估计公式，可得答案； （2）由题意求得易知分数段的总人数，利用已知的女生人数，可得答案. 【详解】（1）由，解得. 因为，， 故中位数为. （2）该次考试成绩在120分以下的总人数为， 故120分以下男生人数为， 故不低于120分的男生人数为. 3．（2024高三·全国·专题练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第百分位数； (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1)(2)84(3)， 【分析】（1）利用每组小矩形的面积之和为1即可求得a的值； （2）利用频率分布直方图结合第75百分位数的求法即可求得答案； （3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，， 解得. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第百分位数，由，解得， 所以第75百分位数为84. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以， 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为. 4．（2024高三·全国·专题练习）为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30. (1)求乙离子残留百分比直方图中的值； (2)求甲离子残留百分比的第百分位数； (3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）由题意可求出，利用频率之和为1可求出； （2）根据频率分布直方图中的第百分位数计算方法即可求解； （3）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. 【详解】（1）由已知得，解得， 所以． （2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为， 则，解得， 所以甲离子残留百分比的第百分位数为. （3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为. 5．（24-25高二上·重庆·开学考试）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中． (1)求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； (2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 【答案】(1)，，平均数为(2)万，理由见解析 (3)5.8吨，理由见解析 【分析】（1）由频率之和为1以及列方程组求得的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数； （2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数； （3）由频率分布直方图计算频率，可判断，再根据频率列出方程，求出的值. 【详解】（1）由频率分布直方图可得 ， 又，则，， 该市居民用水的平均数估计为： ； （2）由频率分布直方图可得， 月均用水量不超过2吨的频率为：， 则月均用水量不低于2吨的频率为：， 所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为： （万）； （3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88， 月均用水量不超过5吨的频率为0.73， 则85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），， ，解得， 即标准为5.8吨． 6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值.将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)若，求； (2)若，函数. ①求的最小值； ②结合调查实际，解释①中最小值的含义，并确定临界值. 【答案】(1)(2)①②说明见解析；. 【分析】（1）用频率分布直方图，结合的意义列不等式可解； （2）①分情况讨论，得到分段函数，再求值域即可; ②结合调查实际取最小值时说明检测标准效果最有效，确定检测标准临界值. 【详解】（1）依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为， 所以．当时，， 解得．此时． （2）①当时， ． 当时， ． 因为， 所以在区间，当时取最小值为0.02． ②函数表示漏诊率与误诊率的和，取最小值时说明检测标准效果最有效，检测标准临界值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$