四川省广安友实学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

第 1 页 共 4 页 广安友实学校 2024--2025 学年度上期初 2022 级期中课堂作业 数学 (试卷满分：120 分，考试时间：120 分钟) 一、选择题 1.方程 3x2﹣6x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．﹣6；3；﹣9 B．3；﹣6；﹣9 C．3；﹣6；9 D．﹣3；﹣6；9 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 3.用配方法解一元二次方程 x2﹣8x+10＝0,配方后得到的方程是（ ） A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6 4.平移二次函数 2xy  的图象，其顶点刚好经过点(2,3),则平移后的函数解析式为 ( ) A． 3)2( 2  xy B． 3)2( 2  xy C． 3)2( 2  xy D． 3)2( 2  xy 5.如图，将一副包含 45°和 30°角的直角三角板，如图①所示叠放，先将含 30°角的三角板固定不动，再将含 45°角的三角板绕顶点 A顺时针旋转，使 DE∥BC，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 6.关于 x的一元二次方程 kx2+6x﹣2＝0的两个根为 21, xx ，则 k的取值范围是（ ） A． 2 9 k B． 2 9 k C． 2 9 k 且 k≠0 D． 2 9 k 且 k≠0 第 5题 第 7题 第 8题 7.如图，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ） A．48° B．46° C．44° D．42° 8.公元 9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长 为 x的正方形 ABCD，再分别以 BC，CD为边作另一边长为 5的长方形，最后得到面积为 64的正方形 AEGH．则 能列出关于 x的一元二次方程是（ ） A．x2+10x＝25 B．x2+10x＝64 C．x2+10x＝39 D．x2+10x＝89 第 2 页 共 4 页 9.如图，在矩形 ABCD中，AB=2,AD=4，以点 A为圆心，AD为半径的弧交 BC于点D ,则阴影部分的扇形面积 是( ) A. 3 4π B. 2 π C. 3 π D.π 10.二次函数 y＝ax2+bx+c（ cba ,, 为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；② 03 ＜ca  ；③若 点 ，      1,2 5 y       2,2 3 y 在该二次函数的图象上，则 21 yy＞ ；④若方程 03 2  cbxax 的两根为 )(, 2121 xxxx ＜ ，则 31 21 ＜＜＜ xx . 其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 二、填空题 第 10 题 11.直角坐标系中，点 P（a，3）关于原点的对称点为 Q（2，-3），则 a＝ ． 12.抛物线 3)1(2 2  xy 的顶点坐标是_____________. 13.若m是方程 x2﹣3x﹣2＝0的根，则 162 2  mm 的值为_______. 14.如图， ABC 内接于 O ，圆的半径为 6， 60BAC  ， 则弦 BC的长度为________． 第 14 题 15.如图，正方形 ABCD的边长为 4，将边 CD绕着点 C顺时针旋转 60° 得到线段 CE，连接 AE,DE，点 G为线段 AE的中点，连接 DG并延 长，交 BC于点 F，则 CF的长为_________. 16.在平面直角坐标系中，点 C的坐标为(1,0),Rt△ABC 的直角边 BC与 x轴重合，AC∥ y轴，将 ABCRt 依次 第 15 题 绕着顶点 B,A,C的顺序，沿着顺时针方向在 x轴上作无滑 动的旋转，顶点 B,A,C旋转后的对应点依次为点 111 ,, CAB ,  ，按照这种方式依次旋转下去，若 BC=3,AC=4， 则点 2025B 的坐标是_______________. 三、解答题 第 16 题 17.（5 分）计算：   ；π 2114.3 3 118 0 1        18.（6 分）解方程：(1) 0542  xx ; (2)   .01812 2 x 第 3 页 共 4 页 19.如图，△AGB与△CGD关于点 G中心对称，点 E，F分别 在 GA、GC上，且 AF＝CE. 求证：BF＝DE． 20.如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 2 xy 分别交 x轴和 y轴于点 A，B，直线 CD交 x轴正半轴于点 C，交 AB于点 D(1,m)，OC=3. (1)求直线 CD的函数解析式； (2)若 P是直线 CD上一点，且使得 AOBAOP SS   ，直接写出点 P的坐标. 四、实践应用题 21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是 A（2，4），B（1，2），C（5，3）． （1）作出△ABC关于 y轴对称的三角形△A1B1C1； （2）以点 O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转 90°， 得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2； （3）写出 21,CC 的坐标,并直接写出线段 21CC 的长. 22.某商店销售一种销售成本为 40 元/千克的水产品，若按 50 元/千克销售，一个月可售出 500kg，销售价每上 涨 1 元，月销售量就减少 10kg. (1)直接写出月销售利润 y与销售价 x之间的函数关系式； (2)当销售单价定为 55 元时，求此时销售利润 y的值； (3)若该商店想要获得不低于 8000 元的月销售利润，该如何定价？ 23.图 1 为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图 2 是其横截面示意图，测得水面宽度 AB=24 米时，拱顶离水面的 距离为 CD=4 米. 图 1 图 2 图 3 当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，漏出水面的船身为矩形 GHIJ, 船顶为等腰三角形 EFK.测得相关数据如下：EF=EK=1.7 米，FK=3 米，GH=IJ=1.26 米，FG=JK=0.4 米. 为确保安全，拟在桥底 P,Q两处设置航行警戒线，要求：①游船底部 HI在点 P,Q之间通行；②载重最少时， 游船顶部 E与拱桥的竖直距离至少为 0.5 米.若以 AB所在直线为 x轴，点 D为原点建立直角坐标系，请解答 以下问题： (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)求警戒线之间宽度 PQ的最大值.（当 PQ最大时，船身 H与 P重合，或 I与 Q重合） 第 4 页 共 4 页 24.实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从 这两种瓷砖中各选 2 块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是 轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两 个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 五、推理论证题 25.如图，CD是☉O的直径，弦 AB⊥CD于点 E，连接 BC，过点 A作 AM⊥BC于点 M，交过点 C的直线于点 G， 连接 DA并延长，交直线 CG于点 N，且 AN=AG. (1)求证：GC是⊙O的切线； (2)若 AE＝ 22 ，OF=1,求☉O的半径和 AM的长． 六、拓展探究题 26.如图，抛物线 cbxxy  2 与直线  0 kkxy 交于 A,  3,2B 两点,顶点为（1,4）. (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，点 P是直线 AB上方抛物线上一点，连接 PA,PB,求△PAB面积的最大值； (3)如图 2，点 C,E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点 Q从原点开始沿 x轴负半轴运动，连接 FQ,过点 C作 CN⊥FQ，垂足为 N,CN交 y轴于点 P，点 M是抛物线上一点，是否存在点 M，使得△MPQ为等边三角形？ 若存在，直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由. 图 1 图 2 第 1 页 共 5 页 广安友实学校 2024--2025 学年度上期初 2022 级期中课堂作业 数学 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1-5：BCDAB; 6-10:DACAD. 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11.-2； 12.（-1,3）； 13.5； 14. 36 15. 348 ； 16.（12157,3） 三、解答题（本大题共 4个小题，第 17小题 5分，第18、19、 20小题各 6分，共 23分） 17.解：原式= 121323  ----------------4 分（每算对一个给 1分） = 324  -----------------5 分 18.（1）解： 5,1 21  xx （2） 2,4 21  xx (每小题 3分，方法不唯一，根据解答酌情给分） 19.证明：∵△AGB 与△CGD 关于点 G 中心对称 ∴△AGB≌△CGD ∴BG=DG,AG=CG -------------2 分 ∵AF=CE ∴AF-AG=CE-CG，即 EG=FG -----------------3 分 在△EDG 和△FBG 中，有：           FGEG FGBEGD BGDG 对顶角 ∴△EDG≌△FBG（SAS）-------------5 分 ∴BF=DE -------------6 分 20.（1）解：将点 D（1，m）带入 2 xy 得： 321 m ∴D（1,3） ----------------------1 分 ∵OC=3 ∴C（3,0） -------------------2 分 设直线 CD的函数解析式为 bkxy  ,将 C（3,0），D（1,3）代入得： 第 2 页 共 5 页      03 3 bk bk ，解得        2 9 2 3 b k ∴直线 CD 的函数解析式为 2 9 2 3  xy . -------------4 分 （2）             2 3 132, 3 5 ，或P （求对一个点得 1分） -------------6 分 四、实践应用题（本大题共 4个小题，第 21小题 6分，第 22、23、24 小题各 8分，共 30分） 21.第（1）问 1分；第（2）2分；第（3）3分. 答图如下所： （3）    5,3,3,5 21  CC , 2821 CC . 22.解：（1） 40000140010 2  xxy ------------------2 分 （2）由（1）得：   9000701040000140010 22  xxxy 当 x =55 时，   67509000705510 2 y （元） ∴当销售价为 55 元时，销售利润为 6750 元. -------------5 分 （3）由（1）得：   90007010 2  xy ∵-10＜0 ∴当 x＜70 时， xy随 的增大而增大，当 x＞70 时， xy随 的增大而减小 令 8000y ，有：   800090007010 2  x 解得： 80,60 21  xx ∴ 8060  x ∴当销售价不低于 60 元，且不高于 80 元时，月销售利润不低于 8000 元. -------------------------8 分 第 3 页 共 5 页 23.解：（1）由题意知：C（0,4），B（12,0），设抛物线解析式为 42  axy ∴ 04122 a ∴ 36 1 a ∴抛物线的解析式为 4 36 1 2  xy .-------------3 分 （2）如图，过点 E作 EM⊥FK，垂足为 M，由题意知： EF=EK=1.7，FK=3， ∴MF=MK=1.5，∠EMF=∠EMK=90° ∴ 8.05.17.1 2222  MFEFEM (米) -------------4 分 ∵GH=IJ=1.26，FG=JK=0.4 ∴GM=MJ=1.5-0.4=1.1 -------------------------5 分 ∴当 PQ距离最大时，点 E的纵坐标为：0.5+1.26+0.8=2.56 ----------6 分 ∴ 56.24 36 1 2  x ，解得 2.7,2.7 21  xx --------------------7 分 ∴PQ=   6.1621.12.7  （米） 答：警戒线之间宽度 PQ 的最大值为 16.6 米. -------------------8 分 24.每画对一个得 2分，参考答图如下： 五、推理论证题（9分） （1）证明：∵AB⊥CD，AM⊥BC ∴∠AED=∠AEF=∠AMC=90° ∵∠AFE=∠CFM ∴∠EAF=∠FCM --------------------------1 分 ∵ = 第 4 页 共 5 页 ∴∠BAD=∠BCD ∴∠BAD=∠BAF --------------------------2 分 ∵AN=AG ∴∠N=∠G ∴∠DAG=∠BAD+∠BAF=∠N+∠G ∴∠BAD=∠BAF=∠N=∠G --------------------------3 分 ∴AB∥GN ∴CG⊥CD ∵OC是⊙O的半径 ∴GC是⊙O的切线 --------------------------4 分 （2）连接 OA,AC，由（1）证知：∠BAD=∠BAF，∠AED=∠AEF=90° ∵AE=AE ∴△AED≌△AEF（ASA） ∴DE=EF --------------------------1 分 设 xOE  ，则 DE=EF= 1x ∴AO= 12 x 在 AOERt 中有： 222 OEAEAO  ,即：    222 2212  xx ∴ 3 7,1 21  xx （舍去） --------------------------2 分 ∴OE=1 ∴OC=AO=3 ∴⊙O的半径为 3 --------------------------3 分 ∴EC=4 ∵AB⊥CD，AM⊥BC ∴AE=BE= 22 ∴AB= 24 ∵   62224 2222  ECBEBC --------------------------4 分 ∴ 3 38 62 424      BC ECABAM -------------------------5 分 第 5 页 共 5 页 六、拓展探究题（10分） 26.解：（1）将顶点    代入， 3,24,1 B 得：cbxxy  2 ∴      324 41 cb cb ，解得      3 2 c b --------------------------1 分 322  xxy抛物线的解析式为 --------------------------2 分 （2）过点 P作 PD∥y轴，交 AB于点 D 将 B（2,3）代入 kxy  得： 32 k ∴ 2 3 k ∴直线 AB的解析式为 xy 2 3  2 3,2 2 332 21 2  xxxxx ，解得：令 ∴       4 9 2 3 ，A --------------------------1 分 设点 P（ 32, 2  mmm ），D（ mm 2 3, ）得:PD= 3 2 12  mm -------2 分 ∴ BAPAB xxPDS  2 1 = 2 73 2 1 2 1 2        mm = 64 343 4 1 4 7 2        m -------3 分 ∵ 2 2 30 4 7 ＜＜，＜ m ∴当 4 1 m 时，△PAB 的面积取得最大值为 64 343 . -------4 分 （3）存在.点 M的坐标为                   2 213 2 213 2 213 2 213 ，或， .（4 分）