专题03 反比例函数k的几何意义（6大经典题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题03 反比例函数k的几何意义 一点一垂直型 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，已知反比例函数的图像经过点，过点作轴，交轴于点．的面积小于，则的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是 ．    一点两垂直型 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若，则 ． 2．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为 ． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，是反比例函数的图象上的点．过点分别向、轴作垂线，所得到的图中阴影部分面积为，则反比例函数的解析式为 ． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上， 点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； (2)连接，求的最小值． 两点一垂直型 1．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，则的面积是 ． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如如图，反比例函数图像与过原点的直线交于、两点，垂直于轴于，假如面积为5，则 ． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，如图，已知双曲线与直线交于、两点，轴于点，若，则 两点两垂直型 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如如图，正比例函数与反比例函数 的图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，是函数的图像上关于原点对称的任意两点，轴，轴，的面积记为，则（    ）    A． B． C． D． 两点和原点型 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，A、B为反比例函数图象上不同的两点，，的面积为，则k的值为 ． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，反比例函数的图象经过边上的点和边上的点，若恰好是的中点，其坐标为，连接、，则四边形的面积为 ． 两曲一平行型 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C．1 D．3 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 5．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为 ．    ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 反比例函数k的几何意义 一点一垂直型 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，已知反比例函数的图像经过点，过点作轴，交轴于点．的面积小于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．根据题意可得，再结合图像即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像经过点，轴，的面积小于， ， 解得：， 由图可知，反比例函数的图像过一、三象限，故， ， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义，可得，从而得到，再将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴， ， 的面积为． ，即， 反比例函数的解析式为， 点也在此函数的图象上， ，解得：． 故答案为： 一点两垂直型 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，结合反比例函数系数k的几何意义即可求出，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解答此题的关键． 【详解】解：点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得： ， ， 故答案为：4． 2．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用．根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：与坐标轴围成的矩形部分面积为3， 由反比例函数的几何意义得，， ， 图象位于第二、四象限， ． 函数表达式为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，是反比例函数的图象上的点．过点分别向、轴作垂线，所得到的图中阴影部分面积为，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数中的比例系数的意义，设出点的坐标，阴影部分面积等于点的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【详解】解：设点的坐标为,． ,在反比例函数的图象上， ， ， 点在第四象限， ．则解析式为； 故答案是：． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上， 点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； (2)连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，设点的纵坐标为，根据列方程，求出，即可得到点的坐标； （2）由（1）可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，得到的最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，， ， 点在反比例函数的第一象限内的图象上， ， 设点的纵坐标为， ， ， ， 点在这个反比例函数的图象上， 点的横坐标为， ． （2）解：由（1）可知，点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点，连接， 则，， ， 的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， 的最小值为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象和性质，轴对称求最短距离，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 两点一垂直型 1．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，联立与即可求出和的坐标，再利用三角形的面积即可求解． 【详解】解：联立，解得或， ∴的坐标是，的坐标是， 过作轴于，则， ∵轴， ∴ 则的面积是． 故答案为：2． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如如图，反比例函数图像与过原点的直线交于、两点，垂直于轴于，假如面积为5，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了比例函数的比例系数k的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数k的几何意义是解题的关键． 首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知A、B两点关于原点对称，从而得到，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，即可求出k的值． 【详解】解：设在边上的高为h， ∴， ∵反比例函数图像与过原点的直线交于、两点， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∵该反比例函数图象经过一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，如图，已知双曲线与直线交于、两点，轴于点，若，则 【答案】4 【分析】作轴，设的坐标是，得到的坐标是，则，，，，结合，代入即可求解， 本题考查了，反比例函数根据图形面积求比例系数，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质． 【详解】解：如解图，过点作轴于， 设的坐标是，根据双曲线的两个分支关于原点对称，的坐标是，则，，，， ∵， ∴，即，解得：， 故答案为：4． 两点两垂直型 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式 根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：D. 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如如图，正比例函数与反比例函数 的图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据反比例函数的k的几何意义可得，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知O是的中点，即可求出的面积． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图像上，且轴于点B， ∴， ∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且轴于点D， ∴O是BD的中点， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数k的几何意义和中心对称性是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，是函数的图像上关于原点对称的任意两点，轴，轴，的面积记为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上的点A、B关于原点对称，可以写出它们的坐标，则△ABC的面积即可求得. 【详解】解：设A(x₁，y₁)，根据题意得B(-x₁，-y₁)，BC=2x₁，AC=2y₁ ∵A在函数的图像上 ∴x₁y₁=1 故选: A 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质． 两点和原点型 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．本题考查等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义是正确解答问题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，得出是解题的关键． 根据反比例系数的几何意义，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：反比例函数的图象上有两点、， ， ， 分别过点A、B作轴于点D，作轴于点E， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，A、B为反比例函数图象上不同的两点，，的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】如图，作轴于C，轴于D，则，由，可得，进而可求，则，，由，可得，①，由，可得，即，②，由①②解得，，则，根据，求解即可． 【详解】解：如图，作轴于C，轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，① ∵， ∴， ∴， ∴，② 由①②解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，完全平方公式，勾股定理等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，完全平方公式，勾股定理是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 【答案】4 【分析】作轴，轴，轴，，作，利用反比例函数的性质以及勾股定理可得，，再利用勾股定理可得长，根据三角形面积公式计算即可．本题考查了反比例函数值几何意义，勾股定理，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，轴，，作， ∵顶点A、B在反比例函数 ∴ ∵，， ∴ 把代入，得： 解得（负值舍去） ∴， ，， ， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， ， ． 故答案为：4． 5．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，反比例函数的图象经过边上的点和边上的点，若恰好是的中点，其坐标为，连接、，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再根据点D为线段的中点即可找出点B的坐标，根据k值几何意义得出求解即可． 【详解】解：∵D坐标为，点D在反比例函数的图象上， ∴， ∵D好是的中点， ∴点B的坐标为 ， ∵四边形为矩形，点D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：20． 两曲一平行型 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 故答案为： 5．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为 ．    【答案】24 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，过点作轴于，延长线段，交轴于，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，由，得到，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于，    ∵轴， 轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：24． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$