专题02 反比例函数与一次函数（4大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题02 反比例函数与一次函数 同一坐标系下图像问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A．B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 交点问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，反比例函数与正比例函数相交于点和点，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）若直线与双曲线交于点，则的值为（    ） A．2023 B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，求点A的坐标． 根据图象求解集 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，则不等式的解集是 ． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，5． (1)求m的值及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．    (1)求m的值和反比例函数解析式； (2)当时，求x的取值范围． 反比例函数与一次函数的实际应用 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 2．（23-24九年级上·福建南平·期末）了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．    (1)求的值； (2)当时，求与的函数关系式； (3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？ 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 求所围成三角形面积 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，已知一次函数与反比例函数与的图像交于，两点，与轴交于点，且点的横坐标是，点的横坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知直线分别与，轴交于，两点，反比例函数的图像与直线在第一象限内有两个交点和点． (1)求的取值范围； (2)若的面积为，求的值． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与双曲线相交于点A，B，点A在第一象限，延长与已知双曲线交于点C，连接，若，直线与x轴所夹的锐角为，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点P在x轴上，连接把的面积分成1：4两部分，求点P的坐标． 求所围成四角形面积 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（3，n）两点，与两坐标轴分别相交于点P，Q，过点B作于点C，连接OA． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求四边形ABCO的面积． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的顶点B，，点A在反比例函数图象上，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）若四边形的面积是，求点A的坐标． 动点问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； (3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接．求的面积； (3)以线段为对角线作正方形（如图），点G是线段（不与点B、F重合）上的一动点，M是的中点，交于N，当点G在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接，以为边作正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点M的坐标． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 反比例函数与一次函数 同一坐标系下图像问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故B错误，C正确； 当时，， 反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A、D选项错误； 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）已知一次函数的图象如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数和反比例函数图象所在的象限即可． 【详解】解：如图所示，一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第二、四象限， 综上所述，符合条件的图象是C选项， 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】a＞0时，-a＜0，y=-ax+a在一、二、三象限，在二、四象限，无选项符合． a＜0时，-a＞0，y=-ax+a在二、三、四象限，在一、三象限，只有A符合； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的取值确定函数所在的象限． 交点问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，反比例函数与正比例函数相交于点和点，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数图像交点问题，根据反比例函数与正比例函数相交于点，得到反比例函数与正比例函数的解析式，再联立方程组求解，即可得到点坐标． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数相交于点， ∴点在反比例函数与正比例函数图像上，满足函数解析式， ∴将代入到，得到； 同理将代入到，得到， 联立方程组 解得，，． 故选：A 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）若直线与双曲线交于点，则的值为（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式及图象上的点，则坐标满足解析式，得：，，由正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，得：，，将所求的式子化简后代入可得结论． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴，，且，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数、反比例函数的图象和性质是正确解答的前提． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，求点A的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．先求出点B坐标，再求出k的值，最后联立方程组求解即可． 【详解】解：直线与双曲线交于两点， 将代入得：， ， 将代入得：，解得， 联立方程组得：，解得：或， ． 根据图象求解集 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方， ∴不等式的解集是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题是一次函数和反比例函数综合题，利用数形结合的思想求解是解题的关键．只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数交于、两点， ∴由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，5． (1)求m的值及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)5，， (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题 ，解题的关键是掌握数形结合思想的运用 (1)先把把代入求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得m的值． (2)根据图象求得即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，， ∴ ∵点在双曲线上， ∴， （2）由图象可知不等式为或． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．    (1)求m的值和反比例函数解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式； （2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）将点代入得： 解得： 将代入得： ∴ （2）由得：，解得 所以的坐标分别为 由图形可得：当或时， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质． 反比例函数与一次函数的实际应用 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 2．（23-24九年级上·福建南平·期末）了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．    (1)求的值； (2)当时，求与的函数关系式； (3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？ 【答案】(1)6 (2) (3)8min 【分析】（1）依据题意，将代入可以得解； （2）由（1）得坐标，再设反比例函数解析式，从而将代入反比例函数解析式可以得解； （3）依据题意，令，结合函数的性质可得有效时间． 【详解】（1）解：由题意，，即为，． （2）解：由（1）可得． 设熏蒸完后函数的关系式为：， ． 熏蒸完后函数的关系式为：． （3）解：药物浓度不低于， 当时，， 当时，， 有效时长为， 答：有效杀灭病毒的时间持续． 【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型，难度不大． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． （1）根据图像经过点和点，利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式即可； （2）分当，即时，当，即时，两种情况根据眼疲劳系数恰好减少了4，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间不大于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， ∵图像经过点， ∴． 解得． ∴眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为； 当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， ∵图像经过点和， ∴， ∴解得， ∴眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，． 求所围成三角形面积 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，已知一次函数与反比例函数与的图像交于，两点，与轴交于点，且点的横坐标是，点的横坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据点的横坐标是，点的横坐标是，代入一次函数，即可得到，，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可得到答案； （2）求出直线与轴的交点的坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵点的横坐标是，点的横坐标是，一次函数， ∴当时，，即；当时，，即， ∵一次函数与反比例函数与的图像交于，两点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知， 一次函数， 当时，，解得， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求反比例函数的解析式、平面直角坐标系中求三角形的面积等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数综合题型及相应解法是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知直线分别与，轴交于，两点，反比例函数的图像与直线在第一象限内有两个交点和点． (1)求的取值范围； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得直线的解析式，由函数的图像可得，再联立可得，最后根据根的判别式确定m的取值范围即可； （2）解方程可得，则, ，然后再根据列式求得m的值即可． 【详解】（1）解：把，代入可得： ，解得： ∴ ∵的图像在第一象限 ∴ 解可得： ∵反比例函数的图像与直线在第一象限内有两个交点和点 ∴，即 ∴． （2）解：∵ ∴ ∴, ∴, ∴，解得． 【点睛】本题属于一次函数和反比例函数的综合，涉及求函数解析式、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与双曲线相交于点A，B，点A在第一象限，延长与已知双曲线交于点C，连接，若，直线与x轴所夹的锐角为，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】设直线与轴的交点为点，延长交轴于点，先求出，设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，从而可得，设直线的函数解析式为，再利用待定系数法可得直线的函数解析式为，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，利用反比例函数的性质可得，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，最后根据直角三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，设直线与轴的交点为点，延长交轴于点， ， 直线与轴所夹的锐角为， ， ， 设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 将点代入得：， 解得， 设直线的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的函数解析式为， ， ， ， ， ， 在中，， 则的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 4．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点P在x轴上，连接把的面积分成1：4两部分，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）首先将点A坐标代入直线，求出m的值，再将A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值； （2）分两种情况讨论，把的面积分成1：4两部分，则或 ,根据BC的长度即可得出P的坐标． 【详解】解：（1）把代入， 可得，； 代入反比例函数，可得，y与x之间的函数关系式为：． （2），令，则， 则点B的坐标为， 把．代入， 可得， 则 令，则， 即， ∴， ∵把的面积分成1：4部分， ，或， ①， ， 点P的坐标为 ②， ， 点P的坐标为， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，确定点的位置，分割三角形面积问题，解题关键是根据两函数交点确定函数的解析式． 求所围成四角形面积 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（3，n）两点，与两坐标轴分别相交于点P，Q，过点B作于点C，连接OA． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求四边形ABCO的面积． 【答案】（1）一次函数的关系式为y=-x+4，反比例函数的关系式为y=；（2）四边形ABCO的面积为． 【分析】（1）将点A坐标代入，确定反比例函数的关系式，进而确定点B坐标，把点A、B的坐标代入求出一次函数的关系式； （2）将四边形ABCO的面积转化为S△AOM+S梯形AMCB，利用坐标及面积的计算公式可求出结果． 【详解】解：（1）A（1，3）代入y=得，m=3， ∴反比例函数的关系式为y=； 把B（3，n）代入y=得，n=1， ∴点B（3，1）； 把点A（1，3），B（3，1）代入一次函数y=kx+b得， ， 解得：， ∴一次函数的关系式为：y=-x+4； 答：一次函数的关系式为y=-x+4，反比例函数的关系式为y=； （2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M， 由题意可知，OM=1，AM=3，OC=3，MC=OC-OM=3-1=2， ∴S四边形ABCO=S△AOM+S梯形AMCB， =×1×3+×（1+3）×2 =． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，将坐标与线段的长的相互转化是计算面积的关键． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的顶点B，，点A在反比例函数图象上，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）若四边形的面积是，求点A的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作BD⊥OC于D，如图，根据等边三角形的性质得到OD=2，则BD=OD=2，从而得到，然后利用待定系数法求反比例函数解析式； （2）设A，然后根据，列出方程即可求出a的值，从而得到A点坐标． 【详解】解：（1）如图，过点B作于点D， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把点代入， 得 ∴； （2）如图，过点A作轴于点E，设点A的坐标为， 则， ∵， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解，并符合题意 ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解析式．也考查了等边三角形的性质． 动点问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； (3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 【答案】(1)y， (2) (3)或或 【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象过、两点， ∴， 解得：， ∴、，反比例函数的解析式是y， ∵一次函数（）的图象过点、， ∴ 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意得，，， ∴，， 当时，点M在点N的上方，则； 当时，点M在点N的下方，则； 综上，d与t之间的函数关系式为 （3）解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴，， 如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当，时， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当，时， 过点作轴于点G， 同理可证， ∴，， ∴ ∴； ③当，时， 过点作轴于点K，作轴于点L， 同理可得，， ∴，， ∴设（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，懂得添加辅助线构造全等三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接．求的面积； (3)以线段为对角线作正方形（如图），点G是线段（不与点B、F重合）上的一动点，M是的中点，交于N，当点G在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1)， (2)8 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点C作轴交于点G，连接，分别求出，，，则，再由； （3）过点A作轴交于点L，连接，，，先证明，可得，再证，可得，可证明是等腰直角三角形，则，过点F作轴交于点K，同理可证，由，可得答案． 【详解】（1）解：将代入， ∴， 解得， ∴， 将代入， ∴； （2）过点C作轴交于点G，连接， ∵， ∴A点是的中点， ∵，D点在x轴上， ∴C点的纵坐标是6， ∵C点在反比例函数y上， ∴， ∴， 直线与y轴的交点为， ∴ ， ∴； （3）过点A作轴交于点L，连接，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作轴交于点K， 同理可证， ∴，， ∴， ∵， ， ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，反比例函数，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接，以为边作正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)点或 【分析】（1）先根据待定系数法求出直线的解析式，再把点C坐标代入求出a，再代入反比例函数解析式即可求出k； （2）先求出点E坐标，当点D在x轴正半轴上时，由于的面积与的面积相等，进而可得，设直线的解析式为，把点代入即可求出c，进而可得点D坐标，再根据对称性求出另外一种情况即可； （3）由题意可知：，再分两种情况：当点F在M左侧时，如图，作出辅助线构建三垂直全等三角形，证明，推出，，设，然后用含t的代数式表示出点F的坐标，再代入直线的关系式求解；当点F在M右侧时，同理求解即可． 【详解】（1）设直线的解析式为 将点，代入，得，解得， ∴， 将点代入，得，解得， ∴， 将点代入，得， ∴； （2）把点代入，得， ∴， 当点D在x轴正半轴上时， 设点到的距离为，点到的距离为 因为的面积与的面积相等，所以， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， ∴，令得， ∴． 当点在轴的负半轴时，根据对称性可得， ∴， ∴或；    （3）由题意可知：， 当点F在M左侧时，如图，过点作轴，过点作于点，过点G作于点， ∴， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴点，代入，得：， 解得， ∴点．    当点F在M右侧时，如图，过点M作轴，交x轴于点Q，过点F作于点H， 同理可证， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴点，代入，得：， 解得， ∴点． 综上，点或．      【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$