第一章至第四章综合质量检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章至第四章综合质量检测 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 且 3. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：） A. 22% B. 33% C. 44% D. 55% 6. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，且，则下列不等式恒成立的（ ） A. B. C. D. 10. 已知是奇函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 11. 已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可以为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：= . 13. 定义在R上的函数满足：①为偶函数；②在上单调递减；③，请写出一个满足条件的函数 . 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 4． 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合或，全集. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）若，求在区间上的值域； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值. 19. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”． （1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （i）求的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章至第四章综合质量检测 参考答案 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 根据韦恩图，阴影部分表达的是集合N中不属于集合M的元素组成的集合，即. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 且 【解析】D对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为且. 3. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 由得：； 由得：，解得：或； ，， 是充分不必要条件. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 方法一：因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选:D. 方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除； 又，所以排除A. 5. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：） A. 22% B. 33% C. 44% D. 55% 【解析】C 由题意可知：大约增加了 . 6. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 【解析】B , 由， ， 即， ，当且仅当，即时等号成立. 7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的减函数， 所以有解得． 8. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 函数是上的奇函数，且当时，， 当时，则， 又，即，又， ， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 的图象如下所示： 函数在区间上单调递增， ，， 即，， ，． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，且，则下列不等式恒成立的（ ） A. B. C. D. 【解析】AD 对于A和C，因为，，所以，即， 当且仅当时等号成立，故，则，故A正确，C错误； 对于B，代入，，故B错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 10. 已知是奇函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 【解析】ACD 令，解得，可知的定义域为， 因为是奇函数， 则， 可得，故A正确； 因为， 可知在上单调递增，且在上恒成立， 所以在上单调递减，故B错误； 因为，则， 即，可得 所以的值域为，故C正确； 因为均为正数，且在上单调递减， 由，可得，解得， 所以的解集为，故D正确. 11. 已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可以为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【解析】ACD 根据题意，，则， 两式相加可得， 又因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以， 若对于任意，都有， 则变形可得， 即， 令，则在区间上单调递增， 若，则在上单调递减，不满足题意； 若，则是对称轴为的二次函数， 若在区间上单调递增，则只需，解得， 所以的取值范围为，则可以取. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：= . 【解析】 . 13. 定义在R上的函数满足：①为偶函数；②在上单调递减；③，请写出一个满足条件的函数______． 【解析】由函数满足：①为偶函数②在单调递减；②， 则（答案不唯一）. 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 【解析】为偶函数，其图象关于轴对称， 关于对称， 又当时，∴在上为增函数， 故不等式可等价为，即， 当时，不等式为，即，无解， 当时，不等式为，即， 即，解得. 4． 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合或，全集. （1）若，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 16. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）已知，且在上恒成立，求的取值范围； 【解析】（1）当时，， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为：； （2）因为，且在上恒成立， 则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递增，则， 又在上恒成立，转化为， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）若，求在区间上的值域； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. （2）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数时单调递增，所以， 所以，. 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值. 【解析】（1）， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为. （2）证明：若，则， ， 设， 则， 两式相加得，即，则， 故. 19. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“是奇函数”． （1）若为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“为奇函数”．若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （i）求的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求的取值范围． 【解析】（1）为定义在上的奇函数， 当时，， 所以， 又， 所以； （2）（i）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形， 所以为奇函数， 所以，即， 时，， 所以． 所以； （ii）， 当时，在单调递增， 当时，则 即方程在有两个不相等的根， 即有两个不相等的根， 令，则 又， 所以有不可能有两个不相等的根； 当时，在单调递增， 当时，则 即方程在有两个不相等的根， 即有两个不相等的根， 令，则 又，解得， 当时，易知在上单调递增， 所以在单调递增， 此时， 即， 令，则易知在单调递减， 所以即， 又时，， 当且仅当，即时取等， 所以，此时无解； 综上可知：的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$