专题03与圆的切线有关的计算与证明的常见类型（五种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题03与圆的切线有关的计算与证明的常见类型（五种技巧精讲精练+过关检测） 题型01证线段平行 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，是的外接圆，P是延长线上一点，连接，且，点D是中点，的延长线交于点Q，则下列结论： ①；②垂直平分；③直线和都是的切线；④． 其中正确的结论是（    ）    A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【例1-2】（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）已知：如图，直线切于点，为的弦．．求证：． 【例1-3】（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·山东·单元测试）是的外接圆，是直径，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．有下面四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，点C是弧的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1-3】（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，是的外接圆，是的切线交的延长线于D，交于E.    (1)求证：； (2)若，.求的半径和线段的长. 题型02求线段长度 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为D，与的延长线交于点C，，则的长度为 ． 【例2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，与边相切于点E．    (1)求证：； (2)若，求的长度． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，的半径为4，直线是的切线，为切点，连接，是直径．若弦于点，且，则的长度为（   ） A． B．4 C．6 D． 【变式2-2】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为 ． 【变式2-3】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在中，弦于点D，点F是上一点，交于点E，过点E作的切线交于点H． (1)求证：． (2)若点C为的中点，，，求的长度． 题型03求圆的直径（方程思想） 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·江苏常州·期中）工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为 cm． 【例3-2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等腰三角形内接于，，过点作，交于点，过点作的切线交的延长线于点，已知，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)求的直径长度． 【例3-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交，于点、，的延长线与的切线交于点． (1)求证：； (2)已知，，求的直径 【变式演练】 【变式3-1】（21-22九年级上·北京·阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm． （1）求⊙O的直径BE的长； （2）求CD的长． 【变式3-2】如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作的切线，连接交于点，．      (1)求证：； (2)若，求的直径的长． 【变式3-3】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知等边，以为直径的与边相交于点．过点作，垂足为；过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，求直径的长． 题型04求角的大小 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的切线，A为切点，连接，点C在上，，连接并延长，交于点D，连接，若，则的度数为 ． 【例4-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，为的直径，切于点，交的延长线于点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式演练】 【变式4-1】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 ． 【变式4-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于是上一点，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的度数． 题型05证线段垂直 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．求证：． 【例5-2】（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，以的边为直径的交于点E，平分，点P是延长线上一点，且的切线交于点D． (1)求证：； (2)若，，求，的长． 【例5-3】如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于⊙O，为直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于点H，作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式5-2】（21-22九年级上·湖北鄂州·期末）如图，点O是的边上一点，与边相切于点E，与边分别相交于点D，F，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【变式5-3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 一、单选题 1．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的切线，若，， ． 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ． 三、解答题 8．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 9．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，为的直径，为的切线，交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若的半径为5，求 的长． 10．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC，交AB于点E．过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D． (1)求证：OC∥AD； (2)若AE＝2，CE＝2，求⊙O的半径． 11．（21-22九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的分别交AC、BC于点M、N，连接ND，过点N作的切线NE，交AB于点E． (1)求证：； (2)若的半径为，，求BN的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03与圆的切线有关的计算与证明的常见类型（五种技巧精讲精练+过关检测） 题型01证线段平行 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，是的外接圆，P是延长线上一点，连接，且，点D是中点，的延长线交于点Q，则下列结论： ①；②垂直平分；③直线和都是的切线；④． 其中正确的结论是（    ）    A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及了圆周角定理、垂径定理、圆的切线证明等知识点，掌握相关结论是解题关键．①②根据点D是中点，，、即可判断；③根据，，且即可判断；④假设结论正确，即可倒推进行判断． 【详解】解：∵点D是中点，， ∴，， 故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵，，且， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴直线是的切线 ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴ ∴直线是的切线，故③正确； 若，则 ∴ 根据条件无法得出以上结论，故④错误； 故选：C 【例1-2】（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）已知：如图，直线切于点，为的弦．．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理的推论，平行线的判定等等，先由切线的性质得到，再由垂径定理的推论得到，据此可证明． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵直线切于点， ∴， ∵为的弦．， ∴， ∴． 【例1-3】（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆的综合题，切线的性质，三角形全等及等腰三角形的判定与性质知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质． （1）连接，由为的直径，根据圆周角定理得为的直径得，再由，则，所以为等腰直角三角形，所以，根据切线的性质得，于是可得到； （2）利用角的关系得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为的直径， ， 的平分线交于点， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为的切线， ， ； （2）证明：于点，， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ， 在和中， ， ∴， ∵ ∴． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·山东·单元测试）是的外接圆，是直径，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．有下面四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定、圆周角定理的应用、切线的性质、矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接、，设交于点，证明，结合，可判断结论①；再证明，结合，易得，即可判断结论③；证明四边形是矩形，易得，，即可判断结论②；结合，可知，即可判断结论④． 【详解】解：如图，连接、，设交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴，故结论①不正确； ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴，即，故结论③正确； ∵为的切线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，故结论②正确； ∵在直角三角形中， ∴，故结论④不正确． 综上所述，结论正确的有②③，共计2个． 故选：C． 【变式1-2】（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，点C是弧的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的综合，解题的关键是熟练掌握切线的定义，垂径定理，三角形的外角定理，内角和定理，以及平行线的判定和性质． （1）连接，根据切线的性质得出．根据垂径定理得出．即可求证． （2）易得．则．根据题意得出，，则．求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵直线与相切于点C， ∴． ∵点C是的中点， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 【变式1-3】（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，是的外接圆，是的切线交的延长线于D，交于E.    (1)求证：； (2)若，.求的半径和线段的长. 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为4， 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理． （1）连接，根据圆周角定理得出，由切线的性质得到，进而得到，据此可证明； （2）设的半径为r，则，，根据勾股定理可得，列出方程，解方程即可求出半径；过点O作于点F，用等面积法求出，进而得出，则，最后根据垂径定理可得，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵与相切； ∴，即 ∴， ∴；    （2）解：设的半径为r，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴的半径4； 过点O作于点F，    ∵，， ∴， 则， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴ ∵， ∴， ∴． 题型02求线段长度 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可． 【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，， ∴，，， ∴， 故选：B． 【例2-2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为D，与的延长线交于点C，，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等腰三角形的判定，连接 ，根据圆周角定理可得 ，再由是的切线，可得，从而，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵是的直径，， ∴ ， ∵是的切线， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ． 故答案为：5 【例2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，与边相切于点E．    (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，圆周角定理和相等的圆心角所对的弧线段，所对的弦线段的性质解答即可； （2）设的半径为r,利用圆的性质定理，含角的直角三角形的性质，求得圆的半径，再利用等边三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）连接，如图，    ∵为半圆的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设的半径为r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴ 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，的半径为4，直线是的切线，为切点，连接，是直径．若弦于点，且，则的长度为（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，含30度的直角三角形，根据切线的性质，角的和差关系，求出，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，垂径定理求出的长即可． 【详解】解：∵直线是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 【变式2-2】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得是解题的关键，根据垂径定理求得，，即可得到.则是等腰直角三角形，得出根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，进而即可求得 【详解】解： 为的直径，弦于点 ， ， 是等腰直角三角形 直线切于点， 是等腰直角三角形 故答案为： 【变式2-3】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，在中，弦于点D，点F是上一点，交于点E，过点E作的切线交于点H． (1)求证：． (2)若点C为的中点，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结．根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，得到，结合和可得，再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）连结交于M，连结，由点C为的中点，得到，求得，推出垂直平分于点M，根据垂径定理得到，，可求得，，根据勾股定理求得的长，设，则，根据勾股定理求得的值，连接，再设，则，解得的值即可得到结论． 【详解】（1）证明：连结． ， ， 与相切于点E， ， ， 在中， ， ， 又， ， ． （2）解：连结交于M，连结， ∵点C为的中点， ， ， 垂直平分于点M， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 在中， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 连接， 设，则， 解得：， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂径定理，切线的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 题型03求圆的直径（方程思想） 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·江苏常州·期中）工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为 cm． 【答案】 【分析】如图，切三角板的斜边于点，连接、，利用邻补角计算出，再根据切线长定理和切线的性质得到平分，，所以，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到的长，从而得到圆的直径． 【详解】解：如图，切三角板的斜边于点，连接、，则， 与三角板和直尺相切， 平分，， ，， 在中， ， cm， 该圆木的直径为cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，熟练掌握切线的性质及切线长定理是解题的关键． 【例3-2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等腰三角形内接于，，过点作，交于点，过点作的切线交的延长线于点，已知，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)求的直径长度． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）连接并延长交于H，连接，，利用切线的性质得，再证明为的中垂线，则，得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）根据题意利用平行线的性质得到，则，所以，于是得到，利用垂径定理得到，则根据勾股定理可计算出，设的半径为r，则，在中利用勾股定理得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于H，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∵，， ∴为的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设的半径为r，则， 在中， ∴， 解得， ∴的直径长度为10． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质、平行四边形的判定、垂径定理、圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． 【例3-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交，于点、，的延长线与的切线交于点． (1)求证：； (2)已知，，求的直径 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：； （2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 是的切线， ， 即． ． ，， ． ． （2）解：如图，连接， ， 设， ， ，，， 在中，， 即， ． ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． 【变式演练】 【变式3-1】（21-22九年级上·北京·阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm． （1）求⊙O的直径BE的长； （2）求CD的长． 【答案】（1）BE=6cm（2）6cm 【分析】（1）连接OD，设半径为r，在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2，得到（2+r）2=42+r2故可求解； （2）根据切线长定理得到CD=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2得到82＋CD2＝（4＋CD）2，故可求解． 【详解】解：（1）连接OD，设半径为r 则BO=DO=EO=r ∴AO=2+r 在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2 ∴（2+r）2=42+r2 解得r=3 ∴BE=6； （2）∵AC、BC都是⊙O的切线 ∴CD=BC ∵AB=AE+BE=8， 在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2即82＋CD2＝（4＋CD）2， 解得CD＝6cm． 【点睛】此题主要考查切线的性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、切线长定理的应用 【变式3-2】如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作的切线，连接交于点，．      (1)求证：； (2)若，求的直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由为的切线，为切点，可得，即，，由，可得，由，可得，即，进而可得． （2）设，则，在中，，在中，，即，解得，则，即的半径为，进而可求直径的长． 【详解】（1）证明：∵为的切线，为切点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则． 在中，， 在中，，即，解得， ∴，即的半径为， ∴的直径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式3-3】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知等边，以为直径的与边相交于点．过点作，垂足为；过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，求直径的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）如图所示（见详解），连接，为等边三角形，可求，，，，由此即可求解； （2）由（1）可知，设为，可求出，在中，，可求出，，在中，，，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设为，由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握等边三角形的性质，切线的证明方法，平行线分线段成比例是解题的关键． 题型04求角的大小 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可不是主要考查切线的性质，连接，则，得，由得由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理可得 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴，即 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 故选：D 【例4-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的切线，A为切点，连接，点C在上，，连接并延长，交于点D，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了切线的性质，四边形内角和、等边对等角等知识．利用垂线的性质及切线的性质得到和，再利用四边形的内角和为进而可求得，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解． 【详解】解：， ， 又是的切线， ， ， 又， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 【例4-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，为的直径，切于点，交的延长线于点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． （1）连接，如图，根据切线的性质得，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，接着利用互余得到，解得，从而得到的度数； （2）在中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，然后计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， 而． ，解得， ； （2）解：在中，， ，， ． 【变式演练】 【变式4-1】（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弦切角定理，角平分线的性质及垂直的定义，难度适中． 连接，并延长交于点F，连接，根据弦切角的性质，得，再由已知条件可得，从而求出． 【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示： ∴， ∴， 是切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ； ， ， 故答案为：32 【变式4-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于是上一点，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，利用平行线的性质得到，利用圆内接四边形的性质计算出，再根据三角形内角和计算出，接着利用圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，最后利用互余计算出的度数． 【详解】解：连接． ． ， ． ∵四边形为的内接四边形， ， ， ， ， 为切线， ， ． 题型05证线段垂直 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等知识，要证，就是证．连接，可得，只需证，即可． 【详解】证明：如解图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【例5-2】（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，以的边为直径的交于点E，平分，点P是延长线上一点，且的切线交于点D． (1)求证：； (2)若，，求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据切线的性质得到，即、根据角平分线的性质得到，等腰三角形的性质得到，故，即可得到，，可得结论． （2）设，则，利用勾股定理得的长．作于点F，利用等面积法可得的长，再利且勾股定理得到的长，再根据等腰三角形的性质，即可求得的长度． 【详解】（1）证明：连接． ∵切于点E， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 又∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则， 在中，， ∴， ∴． 作于点F， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴中，， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、根据角平分线的性质、等腰三角形的性质、利用等面积法求线段长度，掌握切线的性质和等腰三角形的性质，熟练利用等面积法求线段长度是解题的关键． 【例5-3】如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴ ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于⊙O，为直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于点H，作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3 【分析】（1）连接，根据点C是的中点，可得，然后证明，再根据切线的性质即可解决问题； （2）先根据勾股定理求出，再根据四边形内接于⊙O，可得，然后证明，可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是⊙O的切线，是半径， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于⊙O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴的长为3． 【点睛】本题考查了圆内角四边形，切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键． 【变式5-2】（21-22九年级上·湖北鄂州·期末）如图，点O是的边上一点，与边相切于点E，与边分别相交于点D，F，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质及圆周角定理通过互余即可证明． （2）利用勾股定理先求，再利用勾股定理求即可． 【详解】（1） (1)如图，连接 ∵是的切线，是的半径 ∴ ∵和分别是所对的圆心角和圆周角 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵是的切线 ∴ ∴ 已知，设，则 解得或（舍去） ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，能够熟练运用切线切线额的性质及勾股解直角三角形是解题关键． 【变式5-3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，由点是的中点及可推出，再由切线的性质即可求证； （）过点作，由等腰三角形“三线合一”的性质可知，结合条件可推出四边形为矩形，根据勾股定理即可求解； 本题考查了切线的性质、矩形的判定、圆周角定理、勾股定理，掌握相关结论是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，如图所示，   ∵是的切线， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：过点作，如图所示， 则，   ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，． 一、单选题 1．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， 同理，， 的周长， ， ． 故选：B 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．根据切线的性质得出，由垂径定理可得，然后由勾股定理求得的长，继而可求得的长． 【详解】解：∵弦与小圆相切于点， ∴， ∴， ∵两个同心圆的半径分别为和， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，为的切线，切点为，交于点，点在上．若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线性质、同弧所对圆心角和圆周角的关系，熟记切线的性质是解题的关键． 先根据切线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，然后由圆周角定理即可解答． 【详解】解：切于点， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：连接， 与圆O相切于点M， ； ， ； ， ， ， ； ， ； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的切线，若，， ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键． 根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到． 【详解】解：∵与相切， ∴． 又∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，勾股定理知识．连接，根据切线的性质得，由于，则根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中利用勾股定理计算出的值即可． 【详解】解：连接， ∵切于C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，，， ∴． 9．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，为的直径，为的切线，交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若的半径为5，求 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)5 【分析】此题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识和垂径定理的应用等知识，利用，为圆心，得出为中点，再利用解直角三角形知识是解决问题的关键． （1）根据切线的性质得出，进而得出，再由，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，为中点，根据已知可利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：是的切线，为的直径 ， ， 又， ， ， ； （2）解：，为圆心， 为中点， 又， ， ， ． 10．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC，交AB于点E．过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D． (1)求证：OC∥AD； (2)若AE＝2，CE＝2，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2)4 【分析】（1）连接OA，根据切线的性质，圆周角定理，同旁内角互补两直线平行；即可证明； （2）连接OA，设OA＝OC＝r，在Rt△AOE中由勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）证明：如图，连接OA， ∵AD与⊙O相切，切点为A， ∴AD⊥OA，即∠OAD＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝90°， ∴∠OAD＋∠AOC＝180°， ∴OC∥AD． （2）解：如图，连接OA， 设OA＝OC＝r， ∵CE＝2， ∴OE＝OC－CE＝r－2， ∵在Rt△AOE中，∠AOE＝90°，AE＝2， ∴OE2＋OA2＝AE2，即(r－2)2＋r2＝(2)2， 2r2-4r-16=0，（r-4）（r+2）=0 解得r＝4，或r=-2（舍去）， 即⊙O的半径是4． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理；掌握相关定理和性质是解题关键． 11．（21-22九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的分别交AC、BC于点M、N，连接ND，过点N作的切线NE，交AB于点E． (1)求证：； (2)若的半径为，，求BN的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接ON，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边对等角，同位角相等两直线平行，证明，根据切线垂直于过切点的半径，最后可得证． （2）利用O为直径CD中点，证明BN=BC，根据勾股定理求出BC即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵在中，CD为斜边AB的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵NE为的切线， ∴， ∴． （2）∵的半径为， ∴， 由（1）知， 在中，， ∴， ∵为的中点，， ∴N为BC的中点， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，熟练掌握和运用直角三角形、圆的半径与直径、平行线的判定和性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$