第15章 轴对称图形与等腰三角形 章节整合练习（18个知识点+40题练习） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第15章 轴对称图形与等腰三角形 章节整合练习（18个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点3．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点5．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点6．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点7．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点8．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点9．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点10．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点11．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点12．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点13．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点14．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点15．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点16．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点17．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 知识点18．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 章节题型整合练习 一．角平分线的性质 1．（2023秋•田家庵区校级期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋•包河区期末）如图，在中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则的度数为：　　． 3．（2023秋•黄山期末）如图，在中，点在边上，，平分，交于点，点在上，连接，且．求证：平分． 二．线段垂直平分线的性质 4．（2023秋•淮北期末）如图，中，垂直平分，交于，交于，连接，，则的周长与的周长差为　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•蚌山区期末）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是 　　． 6．（2023秋•安庆期末）如图，中，，，，垂足为，是边的垂直平分线，交于，交于点，求的度数． 三．等腰三角形的性质 7．（2023秋•合肥期末）在等腰三角形中，，则的度数不可能为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•临泉县期末）如图，点为线段上一点，分别以，为底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接，． （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，延长交于点，探究与的关系，并说明理由． 四．等腰三角形的判定 9．（2020秋•淮南期末）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画　　 A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 10．（2023秋•蜀山区期末）定理证明：两个角相等的三角形是等腰三角形． 五．等腰三角形的判定与性质 11．（2023秋•镜湖区校级期中）如图，在中，厘米，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为 　　． 12．（2023秋•凤台县校级期中）如图，在中，，为延长线上一点，于点，交于点，若． 求证：（1）是等腰三角形． （2）． 六．等边三角形的性质 13．（2023秋•利辛县期末）如图所示，在等边三角形中，，为上一点，，则等于　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•南谯区期末）如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则长为　　． 七．等边三角形的判定 15．（2023秋•固镇县期末）根据下列条件，不能得到等边三角形的是　　 A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 16．（2020秋•庐阳区校级月考）如图1，在四边形中，，，平分． （1）求证：； （2）如图2，在上述条件下，若，过点作，过点作，垂足分别为、，连接．判断的形状并证明你的结论． 八．等边三角形的判定与性质 17．（2021秋•田家庵区校级期中）已知射线．以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，如图所示，则　　度 18．（2023秋•霍邱县期末）如图，是等边三角形，点、、分别是边、、上的点，且， 求证：是等边三角形． 九．含30度角的直角三角形 19．（2024秋•庐江县月考）已知直角三角形角所对的直角边长为5，则斜边的长为　　 A．5 B．10 C．8 D．12 20．（2023秋•凤阳县期末）如图，在中，，，，，则　　． 21．（2023秋•利辛县期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 一十．生活中的轴对称现象 22．（潜山市期末）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，．若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证为　　 A． B． C． D． 23．（长丰县校级期中）数的计算中有一些有趣的对称形式，如：；仿照上面的形式填空，并判断等式是否成立： （1）　　　 　　 　，（2）　 　　 　　 　． 一十一．轴对称的性质 24．（2024秋•庐江县校级月考）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的　　 A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 25．（2022秋•庐江县期末）如图，在中，，，，点为斜边上任意一点，作点关于所在直线的对称点． （1）当时，　　； （2）的最小值为 　　． 一十二．轴对称图形 26．（2024秋•庐江县月考）下列四个图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 27．（2020秋•芜湖期中）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，的三个顶点落在小正方形的顶点上，在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与成轴对称的三角形共　　个． 一十三．镜面对称 28．（2023秋•鸠江区校级月考）光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知，，则　　 A． B． C． D． 29．（2022秋•谢家集区期中）小明照镜子时，发现衣服上的英文单词在镜子中呈现为“”，则这个英文单词是 　　． 一十四．作图-轴对称变换 30．（2023秋•安庆期末）如图，△三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出△沿轴向下平移3个单位后的图形△； （2）请画出△关于轴成轴对称的图形△，并写出点的坐标． 31．（2021秋•田家庵区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形△，并写出点的坐标； （2）的面积为 　　． 一十五．利用轴对称设计图案 32．（2021秋•怀宁县期末）下列图案中，是利用轴对称设计的图案的有　　 A． B． C． D． 33．（2022秋•庐阳区期中）由16个相同的小正方形拼成正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图），请你用两种不同的方法分别在图中将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 一十六．剪纸问题 34．（田家庵区期中）如图所示，在矩形纸片中，，为边上两点，且；，为边上两点，且．沿虚线折叠，使点落在点上，点落在点上；然后再沿虚线折叠，使落在点上，点落在点上．叠完后，剪一个直径在上的半圆，再展开，则展开后的图形为　　 A． B． C． D． 35．（合肥期末）把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是　　 A． B． C． D． 一十七．轴对称-最短路线问题 36．（2022秋•相山区校级期末）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为　　 A．4 B．6 C．7 D．9 37．（2023秋•南陵县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 　　． 一十八．翻折变换（折叠问题） 38．（2023秋•大通区期末）在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且．若，则等于　　 A． B． C． D． 39．（2020秋•休宁县期中）如图，三角形纸牌中，，，，沿着过的顶点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则周长为 　　． 40．（2022秋•桐城市校级期中）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， （1）若，，则　 　． （2）若“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”如图2，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． （3）将四边形纸片，，不平行）折叠成图3的形状，若，，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 章节整合练习（18个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点3．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点5．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点6．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点7．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点8．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点9．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点10．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点11．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点12．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点13．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点14．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点15．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点16．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点17．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 知识点18．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 章节题型整合练习 一．角平分线的性质 1．（2023秋•田家庵区校级期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故④正确． 【解答】解：在中，和的平分线相交于点， ，，， ， ；故②正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 故①正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ， ；故④正确； 在中，和的平分线相交于点， 点到各边的距离相等，故③正确． 故选：． 【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 2．（2023秋•包河区期末）如图，在中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则的度数为：　　． 【分析】由，可得，由于点，可得平分，进而得出，即可求出，再根据三角形的内角和定理即可求出． 【解答】解：，， 平分， ， ，， 平分， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题关键． 3．（2023秋•黄山期末）如图，在中，点在边上，，平分，交于点，点在上，连接，且．求证：平分． 【分析】由角平分线定义得到，由三角形外角的性质推出，，而，得到，由等腰三角形的性质推出平分． 【解答】证明：平分， ， ，，， ， ， ， 平分． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线定义，关键是由角平分线定义，三角形外角的性质推出． 二．线段垂直平分线的性质 4．（2023秋•淮北期末）如图，中，垂直平分，交于，交于，连接，，则的周长与的周长差为　　 A． B． C． D． 【分析】由垂直平分边，，可得，，又由的周长即可求得，然后由的周长，求得答案． 【解答】解：垂直平分边，， ，， 的周长， 的周长， 的周长与的周长差． 故选：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 5．（2022秋•蚌山区期末）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是 　　． 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，因此的周长． 【解答】解：垂直平分， ， 的周长． 故答案为：12． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到． 6．（2023秋•安庆期末）如图，中，，，，垂足为，是边的垂直平分线，交于，交于点，求的度数． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：，， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 三．等腰三角形的性质 7．（2023秋•合肥期末）在等腰三角形中，，则的度数不可能为　　 A． B． C． D． 【分析】分是顶角和底角两种情况分类讨论求得的度数即可确定正确的选项． 【解答】解：当为顶角， ； 当是顶角，则是底角，则； 当是顶角，则与都是底角，则， 综上所述，的度数不可能为， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键． 8．（2023秋•临泉县期末）如图，点为线段上一点，分别以，为底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接，． （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，延长交于点，探究与的关系，并说明理由． 【分析】（1）先证，进而得，，根据平行线的性质得，，由此得，据此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系； （2）由（1）可知：，，则，利用三角形的内角和定理和对顶角的性质可得，即，据此可得得出与的关系． 【解答】解：（1）与的数量关系是：，理由如下： 、分别是以，为底边的等腰三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， 在和 ， ， ； （2）与的关系是：，理由如下： 由（1）可知：，， ， ， ，， 又， ， ， ． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 四．等腰三角形的判定 9．（2020秋•淮南期末）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画　　 A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【分析】根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键． 10．（2023秋•蜀山区期末）定理证明：两个角相等的三角形是等腰三角形． 【分析】先写出已知，求证，画出图形，过作于，证出即可． 【解答】已知：中，， 求证：， 证明： 过作于， 则， 在和中 ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 五．等腰三角形的判定与性质 11．（2023秋•镜湖区校级期中）如图，在中，厘米，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为 　　． 【分析】根据平行线的性质可证明和为等腰等角线，从而将的周长转化为的长． 【解答】解：，分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， 的周长． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是根据图形熟练运用平行线的性质进行角的转化． 12．（2023秋•凤台县校级期中）如图，在中，，为延长线上一点，于点，交于点，若． 求证：（1）是等腰三角形． （2）． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得，根据等腰三角形的判定即可证得结论； （2）过作于，由等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证得，得到，即可求出． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）过作于， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线，并证得是解决问题的关键． 六．等边三角形的性质 13．（2023秋•利辛县期末）如图所示，在等边三角形中，，为上一点，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【解答】解：三角形是等边三角形，， ，即：是的垂直平分线， 点在上， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是垂直平分线的性质定理的应用． 14．（2022秋•南谯区期末）如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则长为　　． 【分析】连接，根据等边三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可得出，代入求出即可． 【解答】解：连接， 是等边三角形， ，， 是等边底边上的中线， ，， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ． ， ， 即， 解得，， 故答案为：3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 七．等边三角形的判定 15．（2023秋•固镇县期末）根据下列条件，不能得到等边三角形的是　　 A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理，即可解答． 【解答】解：、有两个角是的三角形，那么第三个角也是，故是等边三角形，正确； 、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，正确； 、有两个角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误； 、腰长和底边长相等的等腰三角形是等边三角形，正确； 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理． 16．（2020秋•庐阳区校级月考）如图1，在四边形中，，，平分． （1）求证：； （2）如图2，在上述条件下，若，过点作，过点作，垂足分别为、，连接．判断的形状并证明你的结论． 【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出进而得出， （2）利用等腰三角形的性质得出点是的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案． 【解答】（1）证明：， ， 又平分， ， ， ， 又， ； （2）为等边三角形， 证明：（已证），， 点是的中点， ，． ，平分， ，， 为等边三角形． 【点评】此题主要考查了等边三角形判定以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，得出是解题关键． 八．等边三角形的判定与性质 17．（2021秋•田家庵区校级期中）已知射线．以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，如图所示，则　60　度 【分析】首先连接，由题意易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得的度数． 【解答】解：连接， 根据题意得：， 是等边三角形， ． 故答案为：60． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到． 18．（2023秋•霍邱县期末）如图，是等边三角形，点、、分别是边、、上的点，且， 求证：是等边三角形． 【分析】根据等边三角形性质得出，，求出，根据推出，推出，同理，得出，根据等边三角形判定推出即可． 【解答】证明：是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， ， 同理， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 九．含30度角的直角三角形（共3小题） 19．（2024秋•庐江县月考）已知直角三角形角所对的直角边长为5，则斜边的长为　　 A．5 B．10 C．8 D．12 【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【解答】解：直角三角形中角所对的直角边长是5， 斜边的长． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 20．（2023秋•凤阳县期末）如图，在中，，，，，则　　． 【分析】利用直角三角形的特征及含所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形的特征，熟练掌握含所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 21．（2023秋•利辛县期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，即可得，由角平分线定理可得，最后由三角形内角和定理计算即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：（1）垂直平分， ， ， 又平分， ， ； （2）垂直平分， ， 由（1）知，，， ． 【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 一十．生活中的轴对称现象 22．（潜山市期末）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，．若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证为　　 A． B． C． D． 【分析】利用，进而求出的度数，再利用即可得出答案． 【解答】解：由题意可得：，， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出的度数是解题关键． 23．（长丰县校级期中）数的计算中有一些有趣的对称形式，如：；仿照上面的形式填空，并判断等式是否成立： （1）　　　 　　 　，（2）　 　　 　　 　． 【分析】等号左边的式子与右边的式子关于等号对称，据此即可填空，然后计算判断即可． 【解答】解：根据等号左边的式子与右边的式子关于等号对称， 故（1）， ，， 正确； （2）， ，， ，正确． 故答案为：264，21，，198，81，． 【点评】本题主要考查了数的计算，正确理解对称形式是解决本题的关键． 一十一．轴对称的性质 24．（2024秋•庐江县校级月考）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的　　 A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【分析】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ， 所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ， 又因为， 所以， 即， 所以是的高线． 由图③的折叠方式可知， ， 所以是的中线． 故选：． 【点评】本题考查轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 25．（2022秋•庐江县期末）如图，在中，，，，点为斜边上任意一点，作点关于所在直线的对称点． （1）当时，　　； （2）的最小值为 　　． 【分析】（1）先由直角三角形性质求出，再根据当时，可求得，从而求得，然后由轴对称的性质可求解； （2）点在边上运动时，点关于对称点运动路径是以为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时，此时最小，由可求解． 【解答】解：（1）当时，如图， 在中，，， ，， ， ， ， 点关于所在直线的对称点 ， 故答案为：3； （2）点在边上运动时，点关于对称点运动路径是以为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时，此时最小， ， 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的性质，轴对称的性质，最短距离问题，由题意得出点关于对称点运动路径是以为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时，最小是解题的关键． 一十二．轴对称图形 26．（2024秋•庐江县月考）下列四个图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念解答即可． 【解答】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 27．（2020秋•芜湖期中）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，的三个顶点落在小正方形的顶点上，在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与成轴对称的三角形共　5　个． 【分析】根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形． 【解答】解：如图：与成轴对称的三角形有： ①关于对称；②关于对称； ③关于对称；④关于对称； ⑤关于的垂直平分线对称．共5个． 【点评】此题考查轴对称的基本性质，结合了图形的常见的变化，要根据直角三角形的特点从图中找到有关的直角三角形再判断是否为对称图形． 一十三．镜面对称 28．（2023秋•鸠江区校级月考）光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由入射角等于反射角可得，，那么利用三角形的内角和定理和平角定义可得，所以除以2即为的度数． 【解答】解：，， ，故选． 【点评】解决本题的关键是得到所求角与所给角的数量关系；用到的知识点为：入射角等于反射角；三角形的内角和是等． 29．（2022秋•谢家集区期中）小明照镜子时，发现衣服上的英文单词在镜子中呈现为“”，则这个英文单词是 　　． 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成轴对称． 故答案为：． 【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此题的关键是掌握镜面反射的原理与性质． 一十四．作图-轴对称变换 30．（2023秋•安庆期末）如图，△三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出△沿轴向下平移3个单位后的图形△； （2）请画出△关于轴成轴对称的图形△，并写出点的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质，画出△即可； （2）根据轴对称的性质，画出△，进而写出点的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）如图所示，△即为所求； 由图可知：． 【点评】本题考查坐标与图形变换，掌握平移的性质，轴对称的性质，是解题的关键． 31．（2021秋•田家庵区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形△，并写出点的坐标； （2）的面积为 　4　． 【分析】（1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，点的坐标为； （2）的面积为， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 一十五．利用轴对称设计图案 32．（2021秋•怀宁县期末）下列图案中，是利用轴对称设计的图案的有　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念作答． 【解答】解：、不是轴对称图形，不合题意； 、不是轴对称图形，不合题意； 、不是对称图形，不合题意； 、是利用轴对称设计的图案，正确． 故选：． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 33．（2022秋•庐阳区期中）由16个相同的小正方形拼成正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图），请你用两种不同的方法分别在图中将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念作图．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴，以16个相同的小正方形构成的大正方形的对称轴作出图形即可． 【解答】解：作图如下： 【点评】此题考查了轴对称图形和轴对称的作图方法．轴对称图形要找对称轴，轴对称要找关于对称轴对应的点． 一十六．剪纸问题 34．（田家庵区期中）如图所示，在矩形纸片中，，为边上两点，且；，为边上两点，且．沿虚线折叠，使点落在点上，点落在点上；然后再沿虚线折叠，使落在点上，点落在点上．叠完后，剪一个直径在上的半圆，再展开，则展开后的图形为　　 A． B． C． D． 【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来． 【解答】解：在矩形纸片中，，为边上两点，且；，为边上两点，且， 四边形，，是三个全等的矩形． 现在把矩形三等分，标上字母； 严格按上面方法操作，剪一个直径在上的半圆， 展开后实际是从矩形的一条三等分线处剪去一个圆，从一边上剪去半个圆． 故选：． 【点评】本题考查了剪纸问题，学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 35．（合肥期末）把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可． 【解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，故选：． 【点评】考查学生的动手操作能力，也可从剪去的图形入手思考． 一十七．轴对称-最短路线问题 36．（2022秋•相山区校级期末）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为　　 A．4 B．6 C．7 D．9 【分析】，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再利用三角形的面积求出即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， 的面积为18，， ， 的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题的关键是要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 37．（2023秋•南陵县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 　　． 【分析】在上取一点，使得，证明得到，进而推出当、、三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，里面面积法求出的长即可得到答案． 【解答】解：在上取一点，使得，如图所示： 平分， ， ，， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长， 的面积为12， ， 又， ， 最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 一十八．翻折变换（折叠问题） 38．（2023秋•大通区期末）在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且．若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质即可得解． 【解答】解：， ， ， ， ， 沿着折叠压平，与重合， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用求解更简便． 39．（2020秋•休宁县期中）如图，三角形纸牌中，，，，沿着过的顶点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则周长为 　　． 【分析】根据折叠性质得到，，则，再根据三角形周长定义得到周长，然后利用代替得到周长． 【解答】解：过的顶点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为， ，， ， ， 周长 ． 故答案为． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 40．（2022秋•桐城市校级期中）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， （1）若，，则　　． （2）若“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”如图2，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． （3）将四边形纸片，，不平行）折叠成图3的形状，若，，请直接写出的度数． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，利用三角形外角的性质可得，，，即可求解； （2）由折叠的性质可得：，利用三角形外角的性质可得，，，即可求解； （3）延长交的延长线于，利用（2）中结论求解即可． 【解答】解：（1）由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得，， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 设交于，如图： ，， ， ； （3）如图，延长交的延长线于， 由（2）可得， ，即， ， ． 【点评】此题考查了折叠的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$