安徽省合肥市第十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学复习卷

2024——2025学年度高二第一学期数学期中考试复习卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则(    ) A.   B. C. D. 3．已知，若共面，则实数的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．若，分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．圆与圆的公切条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 6.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 7．设直线l与圆交于A，B两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线l的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 8.如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（    ） A． B． C．异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D．点O到直线BC的距离是 10.下列说法不正确的有(    ) A. 若两条直线与互相平行，则实数的值为 B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为或 11．已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线与直线垂直，则的值为 ． 13.在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为          ． 14.如图所示，在平行四边形中，为中点，，，沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面设为内的动点，若，则点的轨迹长度为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（13分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 16.（15分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求： 顶点的坐标； 直线的方程． 17．（15分）已知圆的圆心在直线上，且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程． 18．（17分）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值． 19．已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． (1)若是等腰三角形，求点的坐标； (2)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024——2025学年度高二第一学期数学期中考试复习卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 解:因为直线过，两点，可得， 又因为，所以，可得， 设直线的倾斜角为，则，因为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选A 2．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则(    ) A.   B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：因为，所以， 所以， 解得． 故选：． 3．已知，若共面，则实数的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 解:显然向量与不平行，而，，共面， 则存在实数，使，即， 于是，解得，所以实数的值为5. 故选B 4．若，分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解:由，可得两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离， 直线可变形为 则的最小值为． 故选C 5．圆与圆的公切条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 【答案】A 【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步判断两圆的位置关系，最后得出两圆的公切线的条数. 【详解】由是以为圆心， 3为半径的圆.， 转换为， 即该圆是以为圆心，4为半径的圆. 所以圆心距， 所以 所以两圆相交，故公切线的条数为2， 故选：A 6.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【详解】定点，， 故，所以； 故：， 所以， 所以点到直线的距离． 故选C 7．设直线l与圆交于A，B两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线l的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心为（-2，5）， 因为线段的中点为， 所以直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为，即， 圆的圆心到直线AB的距离为： ， 所以圆上的点到直线l的距离的最大值为， 故选D 8.如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】解：以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，，则，， ，，， ， 连接，易知面，所以与平面所成的角即为， ， 的最大值为． 故选本题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（    ） A． B． C．异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D．点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 10.下列说法不正确的有(    ) A. 若两条直线与互相平行，则实数的值为 B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为或 【答案】BC  【解答】对于，若两条直线与互相平行， 其中直线的斜率为，则直线的斜率存在且为， 得，解得或， 当，此时两条直线与重合， 故实数的值为，选项 A正确； 对于，当时，直线不经过第三象限，此时点是坐标原点，不在第二象限，选项 B错误； 对于，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项 C错误； 对于，将直线化为， 所以直线恒过定点，且直线的斜率为， 其中，， 结合图象，若直线与线段相交，可得或， 选项D正确． 故选：． 11．已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BC 【详解】直线过定点， 圆，即，圆心为，半径． 对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，得，故A错误． 对于B选项，圆的圆心为，半径为4， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以的最小值为，故B正确． 对于C选项，当时，直线：， 曲线：，即， 所以曲线即为过直线与圆的交点的曲线方程，故C正确． 对于D选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为， 的中点为，所以的垂直平分线方程为：，所以， 圆的方程为，整理得， 直线是圆和圆的交线，所以直线的方程为， 将点坐标代入上式得，解得， 所以直线即直线的斜率为，所以，故D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线与直线垂直，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13.在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为          ． 【答案】  【解答】由题设可知，以为坐标原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 则，得， 所以，， 由可知，即， 解得或，因此的值为． 故答案为：． 14.如图所示，在平行四边形中，为中点，，，沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面设为内的动点，若，则点的轨迹长度为____________． 【答案】  【解答】因为， 所以， 因为平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 又，平面， 故BE，， 又为平行四边形， 所以， 所以， 在中，， 在中，， 所以， 又为中点，且， 所以， 以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，，设， 则有， 整理可得， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 设点在平面内的圆弧对应的圆心角为， 则， 故， 根据弧长公式， 所以的轨迹的长度为． 故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（13分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以 . （2）因为，， 所以 = 16.（15分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求： 顶点的坐标； 直线的方程． 【答案】解：边上的高所在直线方程为，  ，且， ． 的顶点， 直线的方程：，即． 联立方程 解得 顶点的坐标为． 所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， ． 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即． 17．（15分）已知圆的圆心在直线上，且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上， 设， 由可得，解得， 可知圆心，半径， 所以圆的标准方程为； （2）取点关于轴的对称点， 可知直线过点，且与圆相切， 若直线的斜率不存在，则， 此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则圆心到直线的距离，整理得， 解得或， 所以直线的方程为或. 18．（17分）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以； 又底面为菱形，所以； 又，平面，所以平面. （2）如图：    设，取的中点，连接，则，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又, 所以，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，取. 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， 则. 19．已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． (1)若是等腰三角形，求点的坐标； (2)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)或． (2)证明见解析，定点． (3)． 【详解】（1）设点，由，得， 整理得曲线的轨迹方程为，由对称性不妨令， 设点，若是等腰三角形，则，解得， 所以点的坐标为或. （2）由（1）知，，则直线的斜率，直线的斜率，有， 而，则直线的斜率，即， 设直线，代入得：， 设，则，， 因为， 整理得， 则，而，解得， 所以直线恒过定点． （3）由（2）得，， 则， 令，则， 而，则当时，取得最大值，此时， 所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$