精品解析：湖南省郴州市永兴县树德初级中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年下期中考学科第一次学业水平调研试卷 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 2. 已知方程的一个根是，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程中，解得m的值，即可解题． 【详解】解：方程的一个根是， ， 解得， 故选：B． 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 4. 已知线段是成比例线段，其中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有，那么就说这四条线段成比例． 根据比例线段的定义得到，然后把，，代入进行计算即可． 【详解】解：线段、、、是成比例线段， ， 而，，， ． 故选：C． 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程的方法求解即可得到答案． 【详解】解：整理得， 配方得，即， 故选：D． 6. 下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可． 【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心． 故选：A． 7. 如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：∵矩形与矩形相似， ∴， 又∵，， ∴，解得：， 故选D． 8. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了有关“直田（矩形）面积与其长、阔（宽）” 的问题，今有一块矩形面积是1575平方步，其中宽与长的和为80步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由长和宽之间的关系可得出宽为步，根据矩形的面积为1575平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设长为步，列方程为， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在△的边上，，分别过点作，，交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得到，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，与轴的交点在正半轴，过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；A、B、C、D选项都不符合题意； ②当时，与轴的交点在正半轴，过第一、二、三象限，反比例函数的图象在第二四象限，A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则________． 【答案】##2.4 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，直接利用已知得出，代入化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有的两根为、，则的值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系，是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接得结论． 【详解】解：一元二次方程有两实根，， 这里，，， ． 故答案：． 13. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的48万人增加到2023年的75万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意正确列出方程是解题关键．设该市参加健身运动人数的年均增长率是x，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率是x， 根据题意有：， 解得：，（舍）， ∴该市参加健身运动人数的年均增长率是． 故答案为：． 14. 如图是跷跷板示意图，将其几何图形抽象出来，支柱经过的中点与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：90． 15. 如图，已知点分别在的边上，，且，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的性质，根据相似三角形性质可得到，结合已知即可得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：4． 16. 某校九年级学生做电路实验，测得电路的电流（单位：A）与电路的电阻（单位：Ω）的数据如下表，已知闭合电路的电流（单位：A）与电路的电阻（单位：Ω）是反比例函数关系．当电阻时，电流________A． （单位：A） 10 5 2.5 2 （单位：Ω） 20 40 80 100 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，运用待定系数法解反比例函数，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵闭合电路的电流（单位：A）与电路的电阻（单位：Ω）是反比例函数关系． ∴设， ∴把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， ∴， 故答案为：． 17. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，当时，测得，，点到的距离是，则到的距离是________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行线间的距离，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点O作于M，延长交于N，先证明，再证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”求出，然后由计算即可求解． 【详解】解：过点O作于M，延长交于N，如图， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：64． 18. 如图，射线与函数图象相交于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则△的面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】把点代入，求得，则，设点C的坐标为，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，求出，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形求出，得到，再由角平分线的性质得出，即可由三角形的面积求解． 【详解】解：把点代入，得， ， ∴， 设点C的坐标为， 过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，如图， ∵ ∴，，， ， ， 由作图方法可知，是的平分线， ， ∴， ∵点C在第一象限， ∴ ∵是的平分线，轴于E，于F， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质，角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题目的结构特点选择适当的方法解方程是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用十字相乘法的因式分法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质： （1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，可得，据此可求得反比函数的表达式，采用待定系数法即可求得一次函数的表达式． （2）关于的不等式的解集，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方的部分． 【小问1详解】 ∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，， ∴． ∴，． ∴． ∴反比例函数的解析式为． 把，代入，得 解得 ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 关于的不等式的解集，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方的部分．根据图象，关于的不等式的解集为或． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为2或 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． （1）用m表示出根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式，即可解决问题． 小问1详解】 证明： ∵ ， ∴无论取任何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴． ∴． 即， 解得或， ∴的值为2或． 22. 某商店出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系：，已知该商品的成本是10元/件，售价不低于成本价且不高于20元． （1）若该商品的日销售量为200盒，求该商品的每件售价是多少元？ （2）在条件（1）下，该商店决定在假日期间采用降价促销的方式回馈顾客，当该商品每件降价多少元时，商店的日销售纯利润为2500元． 【答案】（1）若该商品的日销售量为200盒时，该商品的售价是每件18元 （2）该商品每件降价3元时，商店的日销售纯利润为2500元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）把代入得到一元一次方程求解即可； （2）设销售单价为元时，销售利润为2500元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵日销售量200盒， ∴把代入， 得，解得：， 答：若该商品日销售量为200盒时，该商品的售价是每件18元． 【小问2详解】 解：设销售单价为元时，销售利润为2500元， 根据题意得：， 整理得：，解得：， ∴降价为：（元）， 答：该商品每件降价3元时，商店的日销售纯利润为2500元． 23. 根据牛顿第二定律，物体所受的力与物体的质量，物体的加速度有如下关系：． （1）当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数，其函数表达式为_________． （2）在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车（质量），另一辆装有石头（质量）．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车，其加速度分别为，，那么________（填“”，“”或“”） （3）已知小车的质量，在光滑的地面上，用一定的力（单位：N）推空车时，测得加速度．当这辆小车装上的石块时，用同样大小的力，向同一个方向推车，求此时小车的加速度． 【答案】（1） （2） （3）为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据反比例函数的定义列出函数解析式即可； （2）根据反比例函数的性质进行判断即可； （3）利用已知求出反比例函数表达式是，，代入求解即可． 【小问1详解】 当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数， 其函数表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 一辆是空车（质量），另一辆装有石头（质量）， ， ，， 随着的增大而减小， ， 故答案为：； 【小问3详解】 由题意，得， ∵当时，， ∴， ∴反比例函数表达式是， ∵车上装石块时， ∴， ∴， ∴此时小车的加速度为． 24. 如图，是等边三角形，点分别在边上，， （1）求证：； （2）若，，则的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）等边三角形的性质，得到，三角形的外角，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 小问2详解】 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度，到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得，，，．求旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）旗杆的高度为；（3）旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． （1）由题意知，，即，求解作答即可； （2）由题意得，，，，， 证明，则，即，计算求解即可； （3）如图，设过点作平行于的直线分别交于点，由题意得，，，， ，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：旗杆的高度为． （3）解：如图，设过点作平行于的直线分别交于点， 由题意得，，，， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：m， ∴， 答：旗杆的高度为． 26. 如图1，在中，，，，点是的中点．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连结．作点关于直线的对称点，连结．设点的运动时间为秒，完成下列问题： （1）在中，________． （2）当点在外部时，求的取值范围． （3）当点在运动过程中，四点能否够成菱形，若能构成菱形，请证明，并求出值；若不能构成菱形，请说明理由． 【答案】（1）10 （2）或 （3）当时，四点能构成菱形 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）由题可知，点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆，求出，当点在上时，，分为当点在上时，，证明，根据相似三角形的性质求解；当点在上时，，点与点重合，证明，根据相似三角形的性质求解；当点运动到终点时，点与点重合，画图求解即可； （3）由（2）得，当或，点在外部，四点构成凹四边形，此时不可能构成菱形；当时，点在内部，四边形是凸四边形，当时，四点能够成菱形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 解：由题可知，点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆， ∵，点是的中点， ∴， 当点在上时，， 如图，当点在上时，， ， ， ， ； 如图，当点在上时，，点与点重合， ， ， ， ， 如图，当点运动到终点时，点与点重合， 此时，， ∴当点在外部时，或； 【小问3详解】 解：由（2）得， 当或，点在外部，四点构成凹四边形， 此时不可能构成菱形； 当时，点在内部，四边形是凸四边形， 当时，四点能够成菱形，理由如下： 令与相交于点， ∵点与关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）， ， 综上所述，当时，四点能构成菱形． 【点睛】该题主要考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，轴对称的性质，圆的相关性质等知识点，解题的关键是正确做出图形，合理运用分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下期中考学科第一次学业水平调研试卷 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 2. 已知方程的一个根是，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段是成比例线段，其中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 我国南宋数学家杨辉《田亩比类乘除算法》中记录了有关“直田（矩形）面积与其长、阔（宽）” 的问题，今有一块矩形面积是1575平方步，其中宽与长的和为80步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在△的边上，，分别过点作，，交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则________． 12. 若关于x一元二次方程有的两根为、，则的值为 _________． 13. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的48万人增加到2023年的75万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是________． 14. 如图是跷跷板示意图，将其几何图形抽象出来，支柱经过的中点与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为________． 15. 如图，已知点分别在的边上，，且，若，则________． 16. 某校九年级学生做电路实验，测得电路的电流（单位：A）与电路的电阻（单位：Ω）的数据如下表，已知闭合电路的电流（单位：A）与电路的电阻（单位：Ω）是反比例函数关系．当电阻时，电流________A． （单位：A） 10 5 25 2 （单位：Ω） 20 40 80 100 17. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，当时，测得，，点到的距离是，则到的距离是________． 18. 如图，射线与函数图象相交于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则△的面积是________． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为，若，求的值． 22. 某商店出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系：，已知该商品的成本是10元/件，售价不低于成本价且不高于20元． （1）若该商品的日销售量为200盒，求该商品的每件售价是多少元？ （2）在条件（1）下，该商店决定在假日期间采用降价促销的方式回馈顾客，当该商品每件降价多少元时，商店的日销售纯利润为2500元． 23. 根据牛顿第二定律，物体所受的力与物体的质量，物体的加速度有如下关系：． （1）当物体所受的力一定时，物体的加速度是它的质量的反比例函数，其函数表达式为_________． （2）在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车（质量），另一辆装有石头（质量）．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车，其加速度分别为，，那么________（填“”，“”或“”） （3）已知小车的质量，在光滑的地面上，用一定的力（单位：N）推空车时，测得加速度．当这辆小车装上的石块时，用同样大小的力，向同一个方向推车，求此时小车的加速度． 24. 如图，是等边三角形，点分别在边上，， （1）求证：； （2）若，，则的长． 25. 学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度，到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得，，，．求旗杆的高度． 26. 如图1，在中，，，，点是的中点．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连结．作点关于直线的对称点，连结．设点的运动时间为秒，完成下列问题： （1）在中，________． （2）当点在外部时，求的取值范围． （3）当点运动过程中，四点能否够成菱形，若能构成菱形，请证明，并求出值；若不能构成菱形，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$