精品解析：海南省海口某校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期九年级数学期中考试题 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（      ） A. B. C. D. 2. 下列各式中能与合并的是（      ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（      ） A. B. C. D. 3 4. 一元二次方程1的根的情况是（      ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（      ） A. B. C. D. 6. 若是方程的一个根，则的值为（      ） A. B. C. D. 7. 某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可列为（      ） A. 2 B. C. D. 2 8. 下列四条线段成比例的是（　　） A. B. C. ，， D. ，，， 9. 某商店售卖的花架简图如图所示，其中，，，，则的长为（      ） A. B. C. D. 10. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，为边上的中点，交于点，若，则的面积为（      ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 12. 如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（      ） A. B. C. 4 D. 5 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 已知：，则______． 14. 已知，是方程的两根，则______． 15. 如图，、相交于点，，，是的中位线，且，则的长为______． 16. 如图（1），将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，如图（2），展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，若，则_____， __________． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 19. 如图，某建筑工程队在工地一边靠墙（墙长42米）处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米，为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A2的坐标； （3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 21. 如图，中，，，，动点从点出发，边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似； （2）当为何值时，为以为腰的等腰三角形； （3）连接，，若，直接写出的值． 22. 如图， （1）如图，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． （2）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若12，，求的长． （3）如图，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级数学期中考试题 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 2. 下列各式中能与合并的是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式，掌握化成最简二次根式的方法是解题的关键． 先将每个无理数化成最简二次根式，然后找到与被开方数相同的即可合并． 【详解】A． ，不能与合并，故本选项不符合题意； B． ，不能与合并，故本选项不符合题意； C． ，能与合并，故本选项符合题意； D． ，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（      ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式加减乘除的运算法则逐一判断即可． 【详解】A、，计算错误，该选项不符合题意； B、，计算正确，该选项符合题意； C、和不是同类二次根式不能合并，计算错误，该选项不符合题意； D、，计算错误，该选项不符合题意． 故选：B 4. 一元二次方程1的根的情况是（      ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 先把方程化为一般式，再计算根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：方程化为一般式为：， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了利用配方法解一元二次方程．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：D 6. 若是方程的一个根，则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握一元二次方程的解，完全平方公式，二次根式的加减运算是解题的关键． 由题意知，，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 解得，， 故选：B． 7. 某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可列为（      ） A. 2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每天票房的增长率为，根据三天后累计票房收入达12亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：D． 8. 下列四条线段成比例的是（　　） A. B. C. ，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意， 故选：D． 9. 某商店售卖的花架简图如图所示，其中，，，，则的长为（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由题意知，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴，即， 解得，， 故选：C． 10. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 11. 如图，在中，为边上的中点，交于点，若，则的面积为（      ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答关键． 根据平行四边形的性质求得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求出，同理可得求得，再根据平行四边形的一条对角线将这个平行四边形分成面积相等的两个部分来求解． 【详解】解：中，为边上的中点， ，． ， ，， ， ，， 即， 同理可得， ． 故选：C． 12. 如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（      ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能够通过已知条件准确构造辅助线是解决本题的关键． 根据线段的比例关系及中点平分边的特点过点构造与平行的辅助线，进而构成两组成比例的线段、，再根据比例得到线段之间的倍数关系，求出的长度即可． 【详解】解：过点作交于点． 又． ． 设，． 是的中点． ． 又． ． ． ． ． 即． 解得：． ． 故选：D． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 已知：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值．熟练掌握求分式的值是解题的关键． 由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，是方程的两根，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式变形计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：11． 15. 如图，、相交于点，，，是的中位线，且，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 16. 如图（1），将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，如图（2），展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，若，则_____， __________． 【答案】 ①. ##2.5## ②. ## 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质可得，，由折叠可知，，，，设，则，在中利用勾股定理解得的值，即可求得的值；再证明，由相似三角形的性质可得，即可求得的值． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，， 由折叠可知，，，， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的性质是解题关键． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，最后算加减即可； （2）利用二次根式的性质进行分母有理化，最后算加减即可； （3）利用二次根式的性质进行分母有理化，再运用完全平方公式算乘方，最后算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键． （1）直接开平方得出两个一元一次方程，解这两个方程即可得答案； （2）利用公式法解方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 直接开平方得：， 解得：，． 【小问2详解】 解： ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 19. 如图，某建筑工程队在工地一边靠墙（墙长42米）处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米，为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，求的长． 【答案】11米 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据铁栅栏的总长及的长，可得出米，根据仓库总面积为440平方米，即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设的长为米 解得 ， 当时， 当时，（不符合题意） 答：的长为米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并写出点A的对应点A1的坐标； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，并写出点A2的坐标； （3）判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1）见解析，A1（4，2）；（2）见解析，A2（0，2）；（3）见解析，M（﹣4，2）． 【解析】 【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用平移变换规律得出对应点位置，进而得出答案； （3）连接B1B2，OO2，A1A2并延长，它们交于一点，则可判定是位似图形，交点即为位似中心，进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：△OA1B1即为所求，A1（4，2）； （2）如图所示：△O2A2B2即为所求，A2（0，2）； （3）位似中心M如图所示，M（﹣4，2）． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键． 21. 如图，中，，，，动点从点出发，边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似； （2）当为何值时，为以为腰的等腰三角形； （3）连接，，若，直接写出的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义等知识点，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，分、两种情况，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解； （2）根据是以为腰的等腰三角形分，两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，相似三角形的性质列出比例式，即可求解； （3）如图：过P作于点M，交于点N，则，可证，根据相似三角形的性质可得，，再根据得出，然后代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 与相似，且， 当时，， ， ， 当时，， ， ； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； 【小问2详解】 ①当时如图1，过点P作于E， ， ， ∴= 解得：． ②当时，如图2，过Q作于G， ， ， ，解得： 综上所述：当或时，是等腰三角形； 【小问3详解】 过点P作于点M，，交于点N，如图3所示： ， ． ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 如图， （1）如图，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． （2）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若12，，求的长． （3）如图，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，4，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ∽， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证，得出，即可得出结论； （2）由平行四边形性质得，则，再证，得出，设，则，求出，即可得出答案； （3）延长、，交于点，设，，则，证，得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证，得，则， ，进而由勾股定理求得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， 设， 则3.5， ， 解得：8，不合题意，舍去， ， ； 【小问3详解】 解：如图，延长、，交于点， 设，， 则， 四边形是菱形， ，，，， ∽， ， 即， ， 在中，为的中点， ， ， ， ， ∽， ， 即， 解得：，不合题意，舍去， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $