精品解析：青海省西宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024年11月份高二数学期中考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】直线l的斜率，由于，所以， 的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 3. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行求解的值，结合充要关系的定义判断即可. 【详解】由可得，解得或. 当时，：，：，显然，重合，舍去， 故时，. 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 4. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 5. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可． 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 6. 已知点为坐标原点，且，则（ ） A. 36 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，求出的值，再利用模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以． 又，解得， 所以， 则， 所以． 故选：. 7. 已知直线与圆交于两点，且，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 8. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆的内部，则 B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C. 若圆外切，则 D. 过点作圆的切线，则的方程是或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确. 【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误； 对于B，若，则圆， 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确； 对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若圆外切，则，即，解得，故C正确； 对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求， 当的斜率存在时，设的方程为， 圆心到的距离，解得， 所以的方程是，故D正确. 故选：BCD. 11. 设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，，且，则与的夹角为 C. 若，则直线与平面所成的角为 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解. 【详解】，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量， 对于A，易知若，则，故A正确； 对于B，由，可知，直线，， 显然当与平行时，直线可以满足，故B错误； 对于C，当时，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，若， 则直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为， 又，则直线所成角可以为，即直线与不平行，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知 ，则 与 夹角的余弦值为______________________. 【答案】## 【解析】 【分析】由空间向量的数量积公式求解即可． 【详解】， . 故答案为： 13. 已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】结合切线长定理可得为等边三角形，即可得. 【详解】 由圆：可得圆心坐标为，半径， 由、为圆切线，故， 又 故， 又，故为等边三角形，故. 故答案为：1. 14. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求. 【详解】由已知可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，由坐标计算模长. （2）分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数的值. 【详解】（1），所以 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得. 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 【小问2详解】 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点 （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； 【答案】（1）证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，则，， 因为，，则，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 则，，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 取的中点，连接， 因为，，则，. 又因为，所以四边形为矩形， 且，可知四边形是以边长为2的正方形， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为， 易知为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 18. 已知一组动直线方程为. (1) 求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标; (2) 若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值. 【答案】定点为（4,1）, 最小值为8. 【解析】 【分析】（1）直线方程按k分解变形，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证：直线恒过定点． （2）根据点斜式写出直线方程，求出面积的表达式，根据均值定理得出面积的最小值． 【详解】（1）直线方程，整理可得：恒成立，由此，解得，由此直线恒过定点（4,1）． （2）直线分别交x轴的正半轴，轴正半分别交于点两点，设直线方程为其中．令，; 令，，所以，当时取等号，． 【点睛】本题较难，考查直线恒过定点的知识，三角形的面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用． 19. 在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1） 如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF， 因为是等边三角形，F是PA的中点，所以， 又因为F是PA的中点，E是棱PD的中点，所以， 因为四边形ABCD是矩形，所以，所以， 又因为，所以， 因为，且平面PAB，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面BEF，所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）取PA的中点F，证得和，得到平面，则，进而证得平面，即可证得； （2）根据题意，证得平面，得到，过作的垂线，证得平面，得到，得出二面角的大小为，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面PAB，平面，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 因为平面PDA，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，如图所示， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以二面角的大小为， 在等边中，因为，可得， 在直角中，由，则，可得， 在直角中，可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年11月份高二数学期中考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为坐标原点，且，则（ ） A. 36 B. C. 6 D. 7. 已知直线与圆交于两点，且，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆的内部，则 B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C. 若圆外切，则 D. 过点作圆的切线，则的方程是或 11. 设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，，且，则与的夹角为 C. 若，则直线与平面所成的角为 D. 若，且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知 ，则 与 夹角的余弦值为______________________. 13. 已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则_____． 14. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点 （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； 18. 已知一组动直线方程为. (1) 求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标; (2) 若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值. 19. 在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $