平面向量及其应用专题特训-2025届高三数学上学期一轮复习

平面向量及其应用专题特训-2025年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•荔湾区校级模拟）已知，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•平谷区模拟）在△ABC中，“sinA＝cosB”是“C＝”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024•浙江一模）设，是单位向量，则（+）2﹣•的最小值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 4．（2024•环翠区校级模拟）已知在等腰△ABC中，，点D在线段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•朝阳区一模）在△ABC中，AB＝AC＝2，，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA＝（　　） A． B． C． D． 6．（2024•海淀区校级模拟）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'＝40cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•贵阳模拟）已知向量，若∥，则实数x＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣4 8．（2024•天府新区校级模拟）已知向量满足，且，则＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•故城县校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．空间任意两个单位向量必相等 C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有 D．向量的模为 （多选）10．（2024•城厢区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），C（0，1），D是线段OA上的动点，点O与点P关于直线CD对称．则下列结论正确的是（　　） A．当CD∥AB时，点P的坐标为 B．的最大值为4 C．当点P在直线AB上时，直线DP的方程为4x+3y﹣8＝0 D．∠OAP正弦的最大值为 （多选）11．（2024•鲤城区校级模拟）如图，某旅游部门计划在湖中心Q处建一游览亭，打造一条三角形DEQ游览路线．已知AB，BC是扇岸上的两条甬路，∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km，∠DQE＝60°（观光亭Q视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（　　） A．DE＝0.7km B．当∠DEQ＝45°时，DQ＝km C．△DEQ面积的最大值为km2 D．游览路线DQ+QE最长为1.4km 三．填空题（共3小题） 12．（2024•西湖区校级模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则sinC＝　 　． 13．（2024•顺义区校级模拟）△ABC为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 　 　，若||＝1，＝，则的最小值为 　 　． 14．（2024•兰陵县模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，，若，则λ﹣μ的值为 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•湛江一模）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若△ABC外接圆的直径为，求2c﹣b的取值范围． 16．（2024•泉州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． （1）求角B； （2）若AC边上的高，求cosAcosC． 17．（2024•江西一模）在△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，AD＝1． （1）若，求c； （2）若b2+4c2＝11，求sin∠BAC的值． 18．（2024•兴庆区校级一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）求角A； （2）设边BC的中点为D，若，且△ABC的面积为，求AD的长． 19．（2024•大庆模拟）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点； ②当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为△ABC的费马点，且cos2A+cos2B﹣cos2C＝1． （1）求C； （2）若c＝4，求|MA|•|MB|+|MB|•|MC|+|MC|•|MA|的最大值； （3）若|MA|+|MB|＝t|MC|，求实数t的最小值． 平面向量及其应用专题特训-2025年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•荔湾区校级模拟）已知，，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，， 则，解得， 故在上的投影向量为：＝． 故选：D． 2．（2024•平谷区模拟）在△ABC中，“sinA＝cosB”是“C＝”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：在△ABC中，若sinA＝cosB，则或，即或， 故在△ABC中，“sinA＝cosB”推不出“C＝”； 若，则，则， 故在△ABC中，“C＝”⇒“sinA＝cosB”； 故在△ABC中，“sinA＝cosB”是“C＝”必要不充分条件． 故选：B． 3．（2024•浙江一模）设，是单位向量，则（+）2﹣•的最小值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【解答】解：因为，是单位向量， 所以 ＝， 又因为，且， 所以， 所以的最小值为2﹣1＝1． 故选：D． 4．（2024•环翠区校级模拟）已知在等腰△ABC中，，点D在线段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知在等腰△ABC中，，点D在线段BC上，且S△ACD＝3S△ABD， 则|DC|＝3|BD|，， 即， 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 故选：B． 5．（2024•朝阳区一模）在△ABC中，AB＝AC＝2，，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为在△ABC中，AB＝AC＝2，，点P在线段BC上， 所以以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， 则B（，0），C（），A（0，1）， 设P（λ，0）（）， 则，， 所以＝＝， 所以当时，取得最小值， 此时，所以＝． 故选：B． 6．（2024•海淀区校级模拟）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'＝40cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得当伞完全张开时，AD＝40﹣24＝16cm， ∵B为AD的中点，∴AB＝AC＝AD'＝20cm， 当伞完全收拢时，AB+BD＝AD'＝40cm，则BD＝20cm， 在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝， ∴cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2cos2∠BAD﹣1＝2×﹣1＝﹣， 故选：A． 7．（2024•贵阳模拟）已知向量，若∥，则实数x＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣4 【解答】解：， 则，， ∥， 则1•（2x﹣2）＝5（﹣6﹣x），解得x＝﹣4． 故选：D． 8．（2024•天府新区校级模拟）已知向量满足，且，则＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由，且，设＝（1，0），＝（0，1），＝（﹣1，﹣1）， 可得﹣＝（2，1），﹣＝（1，2）， 所以|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+2＝4， 可得cos＜﹣，﹣＞＝＝＝． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•故城县校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．空间任意两个单位向量必相等 C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有 D．向量的模为 【解答】解：对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到，A错误； 对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误； 对于C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，的方向相同，长度相等，故，故C正确； 对于D，由向量，可得||＝，故D正确． 故选：CD． （多选）10．（2024•城厢区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，2），C（0，1），D是线段OA上的动点，点O与点P关于直线CD对称．则下列结论正确的是（　　） A．当CD∥AB时，点P的坐标为 B．的最大值为4 C．当点P在直线AB上时，直线DP的方程为4x+3y﹣8＝0 D．∠OAP正弦的最大值为 【解答】解：如图， 由题意可得点P在以C为圆心，半径为1的圆上， 设∠POB＝θ，，则P（2sinθcosθ，2cos2θ）， 对于A，当CD∥AB时，可得∠POB＝θ＝∠OAB， ∴，，此时点P的坐标为，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，当点P在直线AB上时，可得∠POB＝θ＝∠OAB，此时点P的坐标为， 直线DP与圆C：x2+（y﹣1）2＝1相切，所以，所以直线DP的方程为4x+3y﹣8＝0，故C正确； 对于D，当直线AP与圆C相切时，∠OAP正弦的最大，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为y＝k（x﹣4）， 有，解得，即，从而可得， 所以∠OAP正弦的最大值为，故D错误． 故选：ABC． （多选）11．（2024•鲤城区校级模拟）如图，某旅游部门计划在湖中心Q处建一游览亭，打造一条三角形DEQ游览路线．已知AB，BC是扇岸上的两条甬路，∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km，∠DQE＝60°（观光亭Q视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（　　） A．DE＝0.7km B．当∠DEQ＝45°时，DQ＝km C．△DEQ面积的最大值为km2 D．游览路线DQ+QE最长为1.4km 【解答】解：A中，在△DBE中，∠DBE＝∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km， 由余弦定理可得DE＝＝＝0.7km，所以A正确； B中，因为∠DQE＝60°，DE＝0.7，若∠DEQ＝45°时， 由正弦定理可得＝，即DQ＝×0.7＝×＝km，所以B不正确； C中，在△DQE中，由余弦定理可得DE2＝QD2+QE2﹣2QD•QEcos∠DQE≥QD•QE，当且仅当QD＝QE时取等号， 所以QD•QE≤DE2＝0.49＝， 所以S△DQE＝QD•QEsin∠DQE≤××＝km2，所以C正确； D中，在△DQE中，由余弦定理可得DE2＝QD2+QE2﹣2QD•QEcos∠DQE＝（QD+QE）2﹣3QD•QE， 所以（QD+QE）2＝DE2+3QD•QE≤DE2+3•（）2，当且仅当QE＝QD时取等号， 所以（QD+QE）2≤4DE2，即QD+QE≤2DE＝2×0.7＝1.4km，所以D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•西湖区校级模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，则sinC＝　　． 【解答】解：△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4， 则由正弦定理有a：b：c＝2：3：4， 不妨设a＝2k，b＝3k，c＝4k（k＞0）， 则有， 由C∈（0，π），得． 故答案为：． 13．（2024•顺义区校级模拟）△ABC为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 　120°　，若||＝1，＝，则的最小值为 　﹣3﹣　． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴则与的夹角为B的补角， 即与的夹角大小为120°， ∵||＝1，∴D在以B为圆心，1为半径的圆上， 又＝，△ABC为等边三角形，且边长为2， ∴BE⊥AC，且BE＝， 设＝θ，则θ∈[0，π]， ∴＝ ＝ ＝，θ∈[0，π]， ∴θ＝π时，cosθ＝﹣1，取得最小值， 故答案为：120°；． 14．（2024•兰陵县模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，，若，则λ﹣μ的值为 　1　． 【解答】解：由图以及平行四边形的性质可得，，， 所以由可得：＝＝（）， 则λ﹣μ＝1， 故答案为：1． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•湛江一模）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若△ABC外接圆的直径为，求2c﹣b的取值范围． 【解答】解：（1）在三角形中，cosA＝﹣cos（B+C）＝﹣cosBcosC+sinBsinC， cos（B﹣C）＝cosBcosC+sinBsinC， 又因为． 所以a（cosBcosC+sinBsinC）﹣a（cosBcosC﹣sinBsinC）＝2csinBcosA， 整理可得asinBsinC＝csinBcosA， 由正弦定理可得sinAsinBsinC＝sinCsinBcosA， 因为sinB≠0，sinC≠0， 所以tanA＝，而A∈（0，π）， 所以A＝； （2）设△ABC外接圆的半径为R，而圆的直径为，所以2R＝2， 由正弦定理可得＝＝2R＝2，A＝； 可得b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（B+A）， 所以2c﹣b＝4sin（B+）﹣2sinB＝6cosB， 因为B∈（0，），所以cosB∈（﹣，1）， 所以2c﹣b∈（﹣3，6）． 所以2c﹣b的取值范围为（﹣3，6）． 16．（2024•泉州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． （1）求角B； （2）若AC边上的高，求cosAcosC． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理可得2sinB（cosA+sinA）＝sinA+sinC＝sinA+sin（A+B）， 而sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， 所以sinBsinA＝sinA+sinAcosB， 在三角形中，sinA＞0， 所以sinB﹣cosB＝1， 即sin（B﹣）＝，因为B∈（0，π）， 可得B﹣＝， 可得B＝； （2）因为AC边上的高， 所以S△ABC＝b•h＝bb＝b2，① 又S△ABC＝acsinB＝ac×＝ac，② 由①②可得b2＝2ac， 由正弦定理可得sin2B＝2sinAsinC， 可得sinAsinC＝， 因为cosB＝﹣cos（A+C）＝﹣cosAcosC+sinBsinC＝， 所以cosAcosC＝sinBsinC﹣＝﹣＝﹣． 17．（2024•江西一模）在△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，AD＝1． （1）若，求c； （2）若b2+4c2＝11，求sin∠BAC的值． 【解答】解：（1）由题可得：CD＝2BD，故， 又，即， ∴，即， 在△ABD中，根据余弦定理得AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BD•cos∠ADB， 即， ∴，即； （2）∵CD＝2BD，∴， ∴，即， 又b2+4c2＝11，∴①， 又②， 由①②得：， ∴． 18．（2024•兴庆区校级一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）求角A； （2）设边BC的中点为D，若，且△ABC的面积为，求AD的长． 【解答】解：（1）在△ABC中，因为， 因为，所以， 整理可得：b2+c2﹣a2＝bc， 在△ABC中，由余弦定理得：b2+c2﹣a2＝2bccosA， 可得cosA＝， 又因为0＜A＜π， 所以； （2）因为A＝，， 解得bc＝3， 由a2＝b2+c2﹣2bccosA，而a＝， 即7＝b2+c2﹣3，所以b2+c2＝10， 又因为边BC的中点为D， 所以， 所以． 19．（2024•大庆模拟）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点； ②当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为△ABC的费马点，且cos2A+cos2B﹣cos2C＝1． （1）求C； （2）若c＝4，求|MA|•|MB|+|MB|•|MC|+|MC|•|MA|的最大值； （3）若|MA|+|MB|＝t|MC|，求实数t的最小值． 【解答】解：（1）∵cos2A+cos2B﹣cos2C＝1， ∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B﹣1+2sin2C＝1， 即sin2A+sin2B＝sin2C， 由正弦定理得：a2+b2＝c2， ∴C＝90°． （2）由（1）知C＝90°， ∴△ABC的三个角都小于120°， ∵点M为△ABC的费马点， ∴∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°， 由S△ABC＝S△AMB+S△BMC+S△CMA得： ， 即， 整理得， 又∵c2＝a2+b2＝16≥2ab， ∴ab≤8，当且仅当a＝b时等号成立， ∴， ∴|MA|•|MB|+|MB|•|MC|+|MC|•|MA|的最大值为． （3）由（2）知∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°， 设|MC|＝x，|MA|＝mx，|MB|＝nx，（x＞0，m＞0，n＞0）， 由|MA|+|MB|＝t|MC|得m+n＝t， ∵|AC|2＝x2+m2x2﹣2mx2cos120°＝（m2+m+1）x2； |BC|2＝x2+n2x2﹣2nx2cos120°＝（n2+n+1）x2； |AB|2＝m2x2+n2x2﹣2mnx2cos120°＝（m2+n2+mn）x2； ∵|AC|2+|BC|2＝|AB|2， ∴（m2+m+1）x2+（n2+n+1）x2＝（m2+n2+mn）x2， 即（m2+m+1）+（n2+n+1）＝（m2+n2+mn）， 即m+n+2＝mn， ∵，当且仅当m＝n时等号成立， ∴，整理得t2﹣4t﹣8≥0， 解得或者（舍去）， ∴实数t的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$