专题02巧用勾股定理解决圆的直径问题（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题02巧用勾股定理解决圆的直径问题 （四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01直接运用勾股定理计算 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，弦于点C，，，则的长为（   ） A．17 B．15 C． D．3 【例1-2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为 ． 【例1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，已知的半径为5，弦的长为8，半径过的中点C，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ． 【变式1-3】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，求弦的长． 题型02运用“单勾股”列方程 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为 ． 【例2-3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交干点C．若，求的半径． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型03运用“双勾股”列方程 【典例分析】 【例3-1】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽，水深，若水面上升（即），则此时水面宽为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期中）中，弦，，，半径为，则与之间的距离为 ． 【例3-3】．（22-23九年级上·陕西商洛·期末）如图，是的直径，弦于点E，若，，连接，求的长． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23九年级上·重庆南川·期末）如图，在中，直径弦于E，连接，若，则的长为（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（23-24九年级上·山东泰安·期中）半径为5的中，两平行弦的长度分别为6、8，则两平行弦间的距离等于 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）点A，B，C都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长．    题型04作垂直于弦的直径构造直角三角形 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 【例4-2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为 ． 【例4-3】（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，在半径为的中，弦长．求： (1)的度数； (2)点到的距离． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【变式4-2】（21-22九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是的外接圆．求的半径． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是的弦，半径与相交于点于点D，若，，则的长为 ．    7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图， 为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ． 三、解答题 8．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，为的弦，点C在上，，，交于点D，求的长．    9．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，    求 (1) (2)的半径． 10．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02巧用勾股定理解决圆的直径问题 （四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01直接运用勾股定理计算 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，弦于点C，，，则的长为（   ） A．17 B．15 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．利用垂径定理得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：弦于点C，， ， 又， ． 故选C． 【例1-2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴． 故答案为：2 【例1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． （）根据垂径定理即可求解； （）根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，已知的半径为5，弦的长为8，半径过的中点C，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由垂径定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，则， ∵弦的长为8，半径过的中点C， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理成为解题的关键． 由垂径定理可得,根据直角三角形的性质可得，然后运用勾股定理求得,进而完成解答． 【详解】解：∵是的直径，于点， ∴， ∵， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，求弦的长． 【答案】24 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理得到，根据求出的长，根据求出的长，利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 题型02运用“单勾股”列方程 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．连接，设的半径为，则，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”得出，根据勾股定理得出即可作答． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，过圆心， ，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径长是5， 故选：C． 【例2-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于点，交于点，则，设的半径为，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则，， ∵水的最深处到水面的距离为， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【例2-3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交干点C．若，求的半径． 【答案】5 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用．掌握垂径定理推论和勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 设的半径为r，根据点D是的中点，是过圆心O的直线，可得，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设的半径为r， 则，． ∵点D是的中点，是过圆心O的直线， ∴，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． ∴的半径为：5． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 【变式2-3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径是5． 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 题型03运用“双勾股”列方程 【典例分析】 【例3-1】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽，水深，若水面上升（即），则此时水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，连接．设的半径是r，则，，由垂径定理得，再用勾股定理解求出r，再用勾股定理解求出，最后再次利用垂径定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接． 设的半径是r，则，． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【例3-2】（23-24九年级上·山东潍坊·期中）中，弦，，，半径为，则与之间的距离为 ． 【答案】17/7 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：①当在圆心两侧时，②当在圆心同侧时，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：①当在圆心两侧时， 过作交于E点，过作交于点，连接，如图所示： ∵半径，弦，且， ∴在一条直线上， ∴为之间的距离， 在中，由勾股定理可得： ， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ∴， ∴， ∴AB与CD的距离为17； ②当在圆心同侧时， 同①可得：， 则与的距离为：， 故答案为：17或7． 【例3-3】．（22-23九年级上·陕西商洛·期末）如图，是的直径，弦于点E，若，，连接，求的长． 【答案】 【分析】连接，利用垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理在中求出，进一步得到，在中，利用勾股定理即可求出的长． 此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【变式演练】 【变式3-1】（22-23九年级上·重庆南川·期末）如图，在中，直径弦于E，连接，若，则的长为（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，本题先求得和的长，设，在中，利用勾股定理求解可得答案． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 连接，设，则，    在中， ，即， 解得， ∴． 故选：B． 【变式3-2】（23-24九年级上·山东泰安·期中）半径为5的中，两平行弦的长度分别为6、8，则两平行弦间的距离等于 ． 【答案】7或1 【分析】本题考查垂径定理，分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， ∴E为中点，F为中点， ∴，， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得， 综上，两平行弦间的距离等于7或1． 故答案为：7或1． 【变式3-3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）点A，B，C都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的基本性质，解题的关键是利用所判定的垂直，结合垂径定理得到．连接，，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是掌握垂径定理和勾股定理． 【详解】解：如图，连接，，    ∴， ∵， ∴垂直平分，即， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 题型04作垂直于弦的直径构造直角三角形 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 【例4-2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点O作于E，连接，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于E，连接，如图， ，， ， ． 故答案为：． 【例4-3】（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，在半径为的中，弦长．求： (1)的度数； (2)点到的距离． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理及等边三角形的判定与性质， （1）判断出三角形是等边三角形即可得出的度数； （2）过点O作于点C，根据等边三角形的性质及勾股定理的知识，可求出； 熟练掌握各知识点是解决此题的关键． 【详解】（1）∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）过点O作于点C， 则， 在中，． 即点O到的距离为． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．过点作，连接，根据已知条件即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， AB是的直径，，， ， ，，则， ， 在中，， ， ， 故选A． 【变式4-2】（21-22九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，直角三角形的性质，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是的外接圆．求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，过点A作，垂足为D，连接，根据勾股定理即可求解 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D，连接， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴点O在的垂直平分线上，即O在上， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设，则 在中，， ∴，即． 解得， 即的半径为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理等知识，过点A作与D，连接，根据点B和点C的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点A作与D，连接, ,半径为5的与y轴交于点， ， 过圆心A， ， 由勾股定理得： ， 点的横坐标为3， 故选择：A． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理，可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键． 连接，由垂径定理得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵C是的中点， ∴， 在中，，， ， 由勾股定理可得，，则， 即的半径为 故选：B 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与勾股定理，作垂线利用垂径定理是解题的关键． 过O分别作，垂足分别为F、E，连接；由垂径定理得F、E分别是的中点，得；设，由勾股定理求得；易得四边形为矩形，则，，由勾股定理得：，由半径相等可求得x的值，从而求得半径． 【详解】解：如图，过O分别作，垂足分别为F、E，连接； 由垂径定理知，F、E分别是的中点， ∵， ∴， ∴； 设，由勾股定理得； ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为5． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是的弦，半径与相交于点于点D，若，，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题主要查了垂径定理，勾股定理．根据垂径定理，可得，在中，根据勾股定理，可求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，为半径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图， 为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】连接，设的半径为r，则，．根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出的r值． 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设的半径为r，则， ， ， ∵为的直径，弦于点E， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 解得， ∴的半径为5． 故答案为：5． 三、解答题 8．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，为的弦，点C在上，，，交于点D，求的长．    【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：如图，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴或（舍去）．    9．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，    求 (1) (2)的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据垂径定理求解； （2）连接，设的半径为．根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：的直径， ； （2）连接．设的半径为．   是直角三角形， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）利用弧中点的定义可得，由垂径定理可得，由此可证明结论； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵C为弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 设圆的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$