专题02旋转问题中作辅助线的技巧（三种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题02旋转问题中作辅助线的技巧（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用旋转构成等腰三角形 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，中，，点为内一点，，若，则PC的最小值为 ． 【例1-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，为内一点，且．若，求的长． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点P为内一点，，．若，且的长度不小于4，则长度的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ． 【变式1-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是三角形外部一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，且点的对应点恰好落在边上．若，求的长． 题型02利用旋转构成等边三角形 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图， 是内一点，，，，是由绕点顺时针旋转得到，则线段的最小值为（      ） A． B． C． D． 【例2-2】（八年级上·浙江杭州·期中）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【例2-3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图， P是正三角形内的一点， 且 ，将 绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点 P与点之间的距离； (2)求的度数． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，点P是等边内一点，且，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，当点的对应点恰好落在的边上时，连接，则的长为 ． 【点睛】本题主要考查了含度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质以及等边三角形的判定与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·福建福州·期中）在中， ，将绕点B顺时针旋转得到，连接，把绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证： (2)当点E落在边上时，求的大小． 题型03利用旋转构成轴对称图形 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 【例3-2】（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝ ． 【例3-3】（24-25九年级上·海南·阶段练习）（1）【问题背景】点E，F分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． 小云同学的思路是将绕点A旋转得到，如图1，通过这种旋转的方法，可发现上述线段，，的数量关系：________________． （2）【变式迁移】如图2，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，，若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，在中，，于D，，，请求出的长． 【变式演练】 【变式3-1】．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形中，，，则 ．    【变式3-3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图①，E，F分别是正方形的边，上的动点，且满足．    (1)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形中，，连接，分别交，于点M，N，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，点旋转后的对应点为，则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为（    ）．    A．8 B． C． D．6 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，将线段绕A按逆时针方向旋转得到线段AC，若点C坐标为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，四边形中，，， ， ，，则的长为 ． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，P为等边内一点，，，则的度数为 ． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的度数为 ． 三、解答题 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，交于点E，将线段绕点B逆时针旋转得线段，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，等边的边长是2，M是高所在直线上的一个动点．连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)在点M运动过程中，求线段长度的最小值； (2)连接，求的长的最小值． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，D是边上一点（不与点重合），将绕点A逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)过点D作，垂足为G．求证：． 10．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02旋转问题中作辅助线的技巧（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用旋转构成等腰三角形 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据正方形的性质，可知，结合正方形绕点逆时针旋转得到正方形，可知在上，所以四边形的面积为，然后计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示 四边形是正方形， ， 正方形绕点逆时针旋转得到正方形， 在上，， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为 故选：C． 【例1-2】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，中，，点为内一点，，若，则PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【例1-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，为内一点，且．若，求的长． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键．将绕点逆时针旋转得，连接，作于，可得是顶角为的等腰三角形，则，再求出的长，从而得出，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点A作于点H． 由旋转得， ， ， ． ． ， 在中，由勾股定理得 ． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点P为内一点，，．若，且的长度不小于4，则长度的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】把绕点逆时针旋转得到， 则，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理得到，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到， 则，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质与判定，正确用含的式子表示出是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ． 【答案】13 【分析】此题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答． 将顺时针旋转到，连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：将顺时针旋转到，连接，如图， 则是等腰直角三角形，且，， ∵且平分， ∴， ∴， ∴均在同一条直线上， ∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：13． 【变式1-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是三角形外部一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，且点的对应点恰好落在边上．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长到点，使，连接，由旋转的性质可得，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，，进而证明是等腰直角三角形，再推导，然后在中，利用勾股定理解得的值即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，如下图， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴在中，可有， 即， ∴． 题型02利用旋转构成等边三角形 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图， 是内一点，，，，是由绕点顺时针旋转得到，则线段的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转可得，，，，进而得到都为等边三角形，即得，，得到，又可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值即为的长，最后利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 由旋转可得，，，，， ∴都为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴当四点共线时，取最小值，最小值即为的长，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【例2-2】（八年级上·浙江杭州·期中）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 【例2-3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图， P是正三角形内的一点， 且 ，将 绕点A逆时针旋转后，得到． (1)求点 P与点之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点P与点之间的距离为6； （2）解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，点P是等边内一点，且，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 将绕点顺时针旋转得，首先证明为等边三角形得；再证明得到，由即可解决问题． 【详解】∵为等边三角形， ∴， 将绕点顺时针旋转得， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，当点的对应点恰好落在的边上时，连接，则的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当落在上时；当落在上时；分别利用旋转的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当落在上时，如图， ，，， ， ， 根据旋转的性质，可得： ，， ， 是等边三角形， ， 根据旋转的性质，可得： ， 又， 是等边三角形， ； 当落在上时，如图， ，，， ， ， 根据旋转的性质，可得： ，， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了含度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质以及等边三角形的判定与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·福建福州·期中）在中， ，将绕点B顺时针旋转得到，连接，把绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证： (2)当点E落在边上时，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得出，，，，由等腰三角形的性质可得出答案； （2）延长至点F，使得，连接，，，证明，得出，，通过证明是等边三角形，进而可求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：绕点 B顺时针旋转 得到， ， ， 将绕点 D逆时针旋转 得到， ， ， ∴， ； （2）解：如图，延长至点F，使得，连接，，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形，， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型03利用旋转构成轴对称图形 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 【答案】B 【分析】作交的延长线于点，证、即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点，如图：    设，则 ∵ 解得： ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了“半角模型”，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键． 【例3-2】（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝ ． 【答案】 【分析】将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，即可构建出直角三角形CGH，由勾股定理可求出GH的长度，再证明△FAG≌△GAH即可． 【详解】解：将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合， ∵△ACH由△ABF旋转得到， ∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH ∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形 ∴∠B=45°，∠ACB=45° ∴∠HCG=90° 在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH=， ∵∠FAG=45° ∴∠BAF+∠GAC=45° ∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45° 在△FAG和△GAH中， AF=AH， ∠FAG=∠GAH ，AG=AG ∴△FAG≌△GAH ∴FG= GH= 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的旋转，通过旋转后构建出直角三角形和全等三角形是解题的关键，解题的关键是注意旋转是一种全等的变化，旋转前后对应边和对应角相等． 【例3-3】（24-25九年级上·海南·阶段练习）（1）【问题背景】点E，F分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． 小云同学的思路是将绕点A旋转得到，如图1，通过这种旋转的方法，可发现上述线段，，的数量关系：________________． （2）【变式迁移】如图2，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，，若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，在中，，于D，，，请求出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）如图1，将绕点A旋转得到，得到，得到，，，由，得到，进而证明，得到，即可证明； （2）如图2，连，过点A作于点．先证明为等边三角形，进而证明，得到， ，再求出，根据勾股定理分别求出，，最后证明为等边三角形，即可得到； （3）如图3，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G．由轴对称的性质证明四边形是正方形，设，则，即可求出，在中，根据勾股定理得到，解得（不合题意，舍去），即可求出． 【详解】解：（1）； 证明：如图1，将绕点A旋转得到， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：； （2）如图2，连，过点A作于点． ∵四边形为菱形， ∴，, ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴； （3）如图3，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G． ∵， 由轴对称的性质得，，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判断，轴对称等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识，根据条件添加适当辅助线是解题关键． 【变式演练】 【变式3-1】．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 【变式3-2】（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形中，，，则 ．    【答案】/30度 【分析】把逆时针旋转得到，则，先证出C、A、G三点共线，得出，，由证明，得出，证出，即是等边三角形，得出，再由三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：把逆时针旋转得到，连接；如图所示：    则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C、A、G三点共线， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【变式3-3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图①，E，F分别是正方形的边，上的动点，且满足．    (1)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形中，，连接，分别交，于点M，N，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． （1）如图①将顺时针旋转，得到，由旋转的性质可知：，，接下来在证明，然后依据证明即可解决问题； （2）将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明，得到，最后再由证明即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图①将顺时针旋转，得到， 由旋转的性质可知：，，， 四边形为正方形， ． 又， ． ． ． 在和中， ， ∴， ， ； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图所示：将逆时针旋转得，   四边形为正方形， ，， 由旋转的性质可知：，，，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， 在和中， ， ∴， ． 又， ． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，点旋转后的对应点为，则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了旋转的性质和等边三角形的判定和性质.根据旋转的性质得到，，则是等边三角形，即可得到. 【详解】解：如图， ∵将绕点逆时针方向旋转，点旋转后的对应点为， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为（    ）．    A．8 B． C． D．6 【答案】C 【分析】由旋转的性质，可证、都是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出的长，即可得到． 【详解】解：将绕点C按逆时针方向旋转得到， 则，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，证明等边三角形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，将线段绕A按逆时针方向旋转得到线段AC，若点C坐标为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度． 过C作轴于D，轴于E，，根据将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，可得是等边三角形，又根据点A、点C坐标，求出，根据勾股定理可得，，从而，即可解答． 【详解】解：过C作轴于D，轴于E， 如图所示： ， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴， 化简变形得：， 解得：或（舍去）， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，四边形中，，， ， ，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，的直角三角形，把绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作垂直于延长线于点，求得，．在中，利用勾股定理求得长度，根据是等腰直角三角形可求长度． 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作垂直于延长线于点． 根据旋转的性质可知，． 根据四边形内角和，可得， ． ，则． ，． 在中，利用勾股定理求得． 根据旋转性质可知是等腰直角三角形， ∴ ． 故答案为． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，P为等边内一点，，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．将绕点A顺时针旋转得到，推出为等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明，据此求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到， 连接．则， 为等边三角形， ，， ， ， ． ． 故答案为：． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．将绕点C逆时针旋转，得到，过点D作于点H，连接，则为等边三角形，．设，则．由勾股定理可得，可得再证明即可得答案． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，过点D作于点H，连接． 则为等边三角形，． ． 设，则． ， ， 解得 ， ， ． ． 故答案为： 三、解答题 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，交于点E，将线段绕点B逆时针旋转得线段，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明为等边三角形，再证明最后证明是等边三角形，即可得到结论； （2）过点C作于点H．由（1）得，求出，，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：连接． 在中， ， 平分 ， ． 由旋转得， 为等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）过点C作于点H． 由（1）得， ， ， ， 由（1）得， ， 在中， ． 【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，等边的边长是2，M是高所在直线上的一个动点．连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)在点M运动过程中，求线段长度的最小值； (2)连接，求的长的最小值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了旋转的特性、垂线段最短的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和垂线段最短的性质是解题的关键． （1）由旋转的特性和，可得为等边三角形，再由点到直线的所有线段中垂线段最短可得出结论； （2）取的中点G，连接，由旋转的特性可得，进而证明，可知垂线段最短，时，最短，即最短，即可求解 【详解】（1）由旋转的特性可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵M是高所在直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵为等边三角形，， ∴当点M和点H重合时，最短，； （2）取的中点G，连接，如图， ∵旋转角为， ∴， ∵， ∴， ∵是等边的对称轴， ∴， ∴， ∵旋转到， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短，时，最短，即最短， 此时，， ∴， ∴． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，D是边上一点（不与点重合），将绕点A逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)过点D作，垂足为G．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由旋转得，，可得为等边三角形，从而可得，可得结论； （2）通过证明是等边三角形可得，可得结论； （3）过点D作，交于点H，先证明为等边三角形，可得，从而得出，再求证可得结论． 【详解】（1）解：由旋转得， ， 为等边三角形， ， 由旋转得， 为等边三角形， ， ∵， ； （2）证明：过点D作，交于点H， ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， 即． 10．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程．    【答案】（1）；；（2）（1）中的结论还成立，见解析；（3），见解析 【分析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． （1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】解：（1）∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1，    ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）（1）中的结论还成立． 理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示：    则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$