精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则为（ ） A B. C. D. 2. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为偶函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最小值为6 C. 最小值为6 D. 的最小值为9 11. 关于的方程，以下说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得方程恰有3个不同的实根 B. 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 C. 存在实数，使得方程恰有6个不同的实根 D. 不存在实数，使得方程恰有7个不同实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点为______. 13. 若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是________. 14. 已知函数，若存在实数，，使得函数在区间的值域为，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，已知集合，． （1）当时，求实数的范围； （2）设：；：，若是的充分条件，求实数的范围． 16. 求下列方程（方程组）的解集： （1）； （2）． 17. 函数是定义在上的奇函数，已知当时，； （1）求函数的解析式； （2）作出函数的图象，并写出函数的单调增区间； （3）若方程有个相异的实数根，求实数的取值集合． 18. 定义在上函数满足：对任意的，都有，且当时，． （1）判断奇偶性； （2）求证：函数在上是减函数； （3）若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：D 2. 命题：，，则是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，即可得出 【详解】因为命题：，， 根据全称命题的否定可知，命题： ，， 故选：C 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质，先求解出的范围，然后可求即的范围. 【详解】因为，所以， 所以，即， 故选：D. 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知函数的定义域，可得，进而即得． 【详解】∵函数的定义域为， ∴，解得：， 即函数的定义域为， 故选：D. 5. 设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据函数解析式判断函数图象. 【详解】由题意可知 当时，，且过程中增速变慢， 当时，，且过程中增速变快， 所以的图象可表示为选项B， 故选：B 6. 已知函数为偶函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】若函数为偶函数，则， 即， 整理得，故，解得. 故选：B. 7. 不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得 ，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以， 即， 所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例分析A选项；利用不等式的性质判断BCD选项. 【详解】A：取，此时，即，故错误； B：，因为且，所以，所以，即，故正确； C：，因为，所以，即，故正确； D：，因为，所以，所以，故正确； 故选：BCD. 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最小值为6 C. 的最小值为6 D. 的最小值为9 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式结合一元二次不等式求法即可得到答案 【详解】正实数，满足，则， 令，则，解得（舍），或， 即，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为6，故B对； 正实数，满足，则， 令，则 ，解得，或（舍）， 即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，故D对； 故选：BD 11. 关于的方程，以下说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得方程恰有3个不同的实根 B. 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 C. 存在实数，使得方程恰有6个不同的实根 D. 不存在实数，使得方程恰有7个不同的实根 【答案】BD 【解析】 【分析】将方程化为，然后采用换元法变形为，将问题转化为的函数图象交点个数问题，通过对分类讨论从而判断出正确选项. 【详解】将化为， 令，则， 在同一平面直角坐标系中作出的函数图象，如下图所示： （1）当时，即，解得， 令，解得；令，解得；令，解得， 所以此时有个不同实根； （2）当时，即，此时图象有个不同交点，设交点横坐标为， 令，解得；因为，所以无解， 所以此时共有个不同实根； （3）当时，即，此时图象有个不同交点，设交点横坐标为， 令，解得；令，解得， 所以此时有个不同实根； （4）当时，即，此时图象有个不同交点，设交点横坐标为且，， 令，解得；令，解得； 令，解得；令，解得， 所以此时有个不同实根； （5）当时，即，此时两图象无交点，所以方程无解； 综上可知，BD选项正确， 故选：BD. 【点睛】思路点睛：求解方程根的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 13. 若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得. 【详解】∵方程的一个根小于1，另一个根大于1， 令，则， 解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，若存在实数，，使得函数在区间的值域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可得函数在上单调递增，依题意可得，即可得到为方程的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算可得； 【详解】因为，所以在上单调递增， 要使得函数在区间上的值域为， 所以，即，所以为方程的两不相等的非负实数根， 所以，解得，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，已知集合，． （1）当时，求实数的范围； （2）设：；：，若是的充分条件，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的取值范围； （2）依题意可得，从而得到，解得即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以，解得， 即实数的范围为. 【小问2详解】 因为：；：，且是的充分条件， 所以， 所以，解得， 即实数的范围为. 16. 求下列方程（方程组）的解集： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将式子因式分解为，即可求出方程的解，从而得到解集； （2）求出方程组的解，即可得到解集. 【小问1详解】 由，可得， 所以或， 解得，，，， 所以方程的解集为. 【小问2详解】 由，消去整理得，解得，， 所以方程组的解为或， 所以方程组的解集为. 17. 函数是定义在上的奇函数，已知当时，； （1）求函数的解析式； （2）作出函数的图象，并写出函数的单调增区间； （3）若方程有个相异的实数根，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2）图象见解析，的单调增区间为和 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求得，然后再根据奇偶性求解出时的解析式，则的解析式可知； （2）根据分段函数解析式作出函数图象，然后根据图象结合二次函数的对称轴确定出单调递增区间； （3）将问题转化为的图象有个不同交点，然后根据图象分析出的取值集合. 小问1详解】 当时，因为为奇函数，所以，所以； 当时，，所以， 因为为奇函数，所以，所以； 所以. 【小问2详解】 函数的图象如下图所示： 由图象可知，的单调增区间为和. 【小问3详解】 因为方程有个相异的实数根，所以的图象有个不同交点， 由图象可知，的取值集合为或或. 18. 定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，． （1）判断的奇偶性； （2）求证：函数在上是减函数； （3）若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给关系式令，即可求出，再令，即可得到与的关系，即可判断； （2）利用定义法证明，结合时，即可证明； （3）求出的值域，从而得到恒成立，设，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 为奇函数， 证明：因为的定义域为，且对，，， 令，则，则； 令，则，则，即， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 设任意且，由， 则. 又当时，，所以当时，有， 所以，即， 所以函数在上是减函数. 【小问3详解】 因为，所以， 又上单调递减，所以， 所以恒成立， 等价于：恒成立， 即恒成立， 设，是关于的一次函数， 所以，即，则， 所以. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”． （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上的“阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，取，然后判断出不存在，由此可作出判断； （2）根据定义，当时，用表示出，判断出对应函数单调性并求解出值域，根据值域与的包含关系求解出结果； （3）根据定义，先分析出在上值域的情况，然后结合区间与对称轴对进行分类讨论，从而求解出的取值范围. 【小问1详解】 假设是区间上的“阶自伴函数”， 不妨取，则，由可得， 此时无解，所以假设不成立， 所以不是区间上的“阶自伴函数”. 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立， 即对任意的，总存在唯一的，使成立， 因为在上单调递减， 当时，，当时，， 因为对内的每一个，在内都存在唯一与之对应，且， 所以， 所以，解得. 【小问3详解】 由题意可知，对任意的，总存在唯一的，使成立， 即对任意的，总存在唯一的，使成立， 因为，所以， 所以在上的值域包含且的值域在内对应的自变量是唯一的， 又，对称轴，且， 当时，在上单调递增， 所以，解得； 当时，在上单调递减， 所以，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当时，上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：函数不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $