精品解析：福建省厦门市湖里区厦门外国语学校湖里分校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年厦外湖里分校九年级（上）期中数学试卷 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 是关于x的一元二次方程的解，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 9. 某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：）关于离地时间t（单位：）的函数解析式是，其中t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过，，，且，，，则满足（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 12. 抛物线的对称轴是________． 13. 一元二次方程的两根为、，则________． 14. 2019﹣2020赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为______． 15. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围 ___________．（两相邻整数之间） … … … … 16. 如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则m的取值范围是．其中正确结论的有________． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知点B、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中利用五点法画出这个函数图象． （2）观察函数图象：当时，函数值y的取值范围是：________． 21. 春天化工公司前年盈利150万元，如果该公司今年与去年的年增长率相同，那么今年可盈利216万． （1）求这两年中平均每年增长的百分率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？ 22. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若，，则________； （2）若．求的度数． 23. 若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以，为横坐标和纵坐标得到的点称为该一元二次方程的“友好点”． （1）若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为________． （2）若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，且点P在直线的函数图像上，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 24. 护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口A的水平距离为6m时，达到距离地面的竖直高度的最大值为13m．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底B所在的水平方向为x轴，A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，原点为O，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式： （2）请判断水柱是否能覆盖整个坡地，并说明理由．如果不能，则给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，使得水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点．若抛物线解析式为． （1）当抛物线也经过点时，求m和n的值； （2）说明直线与抛物线总有两个交点； （3）在（1）的条件下，抛物线与x轴的另一交点为B，与y轴交于点C，连接，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，与，y轴分别交于点E，F，记三角形，的面积分别为，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年厦外湖里分校九年级（上）期中数学试卷 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次项系数与图象开口的关系成为解题的关键． 由图象可知抛物线的开口向下，得出二次项系数小于0，据此即可解答． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴二次项系数小于0，只有A选项符合题意． 故选：A． 2. 对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断． 【详解】解：A、是中心对称图形，故选项正确； B、不是中心对称图形，故选项错误； C、不是中心对称图形，故选项错误； D、不是中心对称图形，故选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 4. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用顶点式的特点即可得出顶点坐标 【详解】解：抛物线是顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知， 顶点坐标为：， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查来了二次函数的性质，根据二次函数的解析式可知顶点为，熟记相关知识点是解题的关键． 5. 如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由旋转的性质推出，求出即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是． 故选：C． 6. 下列一元二次方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：A、由可得，该方程无意义，无实数根，所以该选项不符合题意； B、由可得，则该方程没有实数根，所以该选项不符合题意； C、由可得，则该方程没有实数根，所以该选项不符合题意； D、把整理整理为，可得，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项符合题意． 故选：D． 7. 将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键． 直接运用平移规律解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为． 故选A． 8. 是关于x的一元二次方程的解，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把代入方程中得到，再把整体代入所求式子中进行计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴，即：， ∴． 故选D． 9. 某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：）关于离地时间t（单位：）的函数解析式是，其中t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把该函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质以及实际意义即可解答． 【详解】解：由， ∴该函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴由题意可知t的取值范围是． 故选：B． 10. 已知二次函数的图象经过，，，且，，，则满足（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数解析式，画出大致函数图像，然后结合条件画出A，B，C的大致位置，进而即可判断各个选项． 【详解】解：二次函数可知：函数图像是一个开口向上的抛物线，且对称轴为直线x=m， ∵， ∴点C离对称轴最远，点B离对称轴最近， 又∵，， ∴A，B，C的大致位置，如图所示， ∴，，， ∴， 故选C． ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，根据条件，画出函数的大致图像以及图像上的点的位置，是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”． 12. 抛物线的对称轴是________． 【答案】直线x=-1 【解析】 【分析】利用对称轴的计算公式解答. 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线x=-1. 【点睛】此题考查抛物线对称轴的计算公式，掌握公式是解题的关键. 13. 一元二次方程的两根为、，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握关于的一元二次方程两根、，满足成为解题的关键． 直接运用二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴． 故答案为：． 14. 2019﹣2020赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛552场，可列出方程． 【详解】设参赛队伍有x支，根据题意“每两队之间都进行两场比赛”，则.故答案为. 【点睛】本题考查列出方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握一元二次方程的实际应用. 15. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围 ___________．（两相邻整数之间） … … … … 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴根据函数的连续性，在之间，存在一个数，使， 根据抛物线的对称性，在之间，也存在一个数，使， ∴一元二次方程的一个近似解的范围是或． 故答案为：或． 16. 如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则m的取值范围是．其中正确结论的有________． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】根据开口方向、对称轴可判断a、b的正负及其关系可判定①③；由函数对称性可知当时，函数值等于零，据此可判定②；由于抛物线与x轴有两个交点，其对应方程由两个不等的实数根，由根的判别式可判定④；根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴， ∴，即①错误； ∴，即③正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴当时，， ∵对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， ∴时，，即，即②正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点，则，即，故④错误； ∵对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等， ∴ ∵，是抛物线上两点，且， ，故⑤正确． 故正确的是②③⑤． 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系、二次函数与一元一次不等式、根据图象判断方程的根的情况、二次函数的对称性等知识点，掌握二次根式图象的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法成为解题的关键． （1）先用直接开平方法求得，进而完成解答； （2）直接运用公式法进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 所以该方程的解为：． 【小问2详解】 解：， ， 所以， 所以． 18. 如图，已知点B、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ，即． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，证得成为解题的关键． 先根据得出，再根据平行线的性质可得，然后由定理得出，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中利用五点法画出这个函数图象． （2）观察函数图象：当时，函数值y的取值范围是：________． 【答案】（1） 描点，连线， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． （1）先列表，再描点连线即可； （2）观察图象即可得出结论． 【小问1详解】 列表如下， 【小问2详解】由图可知，当时， 的最小值为，的最大值为， 此时函数值y的取值范围是． 21. 春天化工公司前年盈利150万元，如果该公司今年与去年的年增长率相同，那么今年可盈利216万． （1）求这两年中平均每年增长的百分率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？ 【答案】（1） （2）259.2万元 【解析】 【分析】（1）设每年增长率为，根据今年与去年的年增长率相同，列出方程，求出的值，即可得出答案； （2）根据（1）求出的增长率，直接代值计算即可． 【小问1详解】 解：（1）设每年增长率为，则 ， 解之，得：，（舍去） 答：每年增长率为； 【小问2详解】 根据题意得： （万元） 答：预计明年可盈利259.2万元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意把不合题意的解舍去． 22. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若，，则________； （2）若．求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到，根据旋转的性质即可得到； （2）由直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，则，，即可得到． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 23. 若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以，为横坐标和纵坐标得到的点称为该一元二次方程的“友好点”． （1）若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为________． （2）若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，且点P在直线的函数图像上，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）存在b，c满足条件，． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质、“友好点”的定义等知识点，理解题意、熟练掌握一次函数的图象及性质以及分类讨论的思想成为解题的关键． （1）先解方程，然后根据“友好点”的定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，然后分别代入求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，据此求得a、b的值即可． 【小问1详解】 解：解方程得：， ∴该方程的“友好点”P的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：解方程可得：或， 当时，即，此时， ∵点P在直线的函数图像上， ∴，解得：，符合题意； 当时，即，此时， ∵点P在直线的函数图像上， ∴，解得：，符合题意． 综上所述：m的值为或． 【小问3详解】 解：存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为，即． 24. 护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口A的水平距离为6m时，达到距离地面的竖直高度的最大值为13m．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底B所在的水平方向为x轴，A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，原点为O，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式： （2）请判断水柱是否能覆盖整个坡地，并说明理由．如果不能，则给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，使得水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】（1） （2）水柱是不能覆盖整个坡地， 理由：∵斜坡的函数表达式近似为． ∴令，可得，解得：， ∴， 对于抛物线， 令，可得，解得：或（不合题意舍弃）． ∴该装置浇灌的最远距离为， ∵ ∴该装置浇灌不能覆盖整个坡地； 要使得水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识点，掌握与运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解即可； （2）先根据斜坡的函数表达式求出点B的坐标，再令求得浇灌喷出的最远距离，即可判断能否覆盖整个坡地；设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再将点B坐标代入，求得m的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入，可得，解得∶， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵斜坡的函数表达式近似为． ∴令，可得，解得：， ∴， 对于抛物线， 令，可得，解得：或（不合题意舍弃）． ∴该装置浇灌的最远距离为， ∵ ∴该装置浇灌不能覆盖整个坡地； 设浇灌装置还要升高m米，则抛物线解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴要使得水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点．若抛物线解析式为． （1）当抛物线也经过点时，求m和n的值； （2）说明直线与抛物线总有两个交点； （3）在（1）的条件下，抛物线与x轴的另一交点为B，与y轴交于点C，连接，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，与，y轴分别交于点E，F，记三角形，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 证明：在（1）中已求得：，， 联立：， ∴得到一元二次方程：， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴直线与抛物线有两个交点． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、抛物线与直线的交点问题、待定系数法求解抛物线解析式等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）根据直线和抛物线都经过，然后分别代入直线l和抛物线解析式求解即可即可； （2）联立：，可得到一元二次方程：，根据，可得一元二次方程有两个不相等的根，进而完成解答； （3）先求出，，根据题意设D点坐标为：，且，，利用待定系数法求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，则有F点坐标为：，即有，，联立：，可得，结合图形可知E点在第一象限，可得，根据，可得，进而有，再求出，即可求得，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点， ∴，即， ∴，， ∵抛物线也经过点， ∴，解得：， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：∵，， ∴， 令，解得：或， ∴B点坐标为：， 令，则， ∴C点坐标为：，即， 根据题意设D点坐标为：， ∵D点在第一象限， ∴，， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，， 同理可得：直线的解析式为：， 当时，． ∴F点坐标为：，即有， ∴， 联立：，解得， ∴E点坐标为：， 结合图形可知E点在第一象限， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：，即：最大值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $