专题1.2 特殊角三角函数值的混合运算（精选精练50题）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.2 特殊角三角函数值的混合运算（精选精练50题）（专项练习） 【考点必备】特殊的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算 (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)； 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； 4．（2024九年级上·全国·专题练习）计算 ． 5．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习） （1）； （2）． 6．（24-25九年级上·山东聊城·开学考试）计算： (1)； (2)； 7．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 8．（23-24九年级上·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 9．（23-24九年级上·福建南平·期末）计算： (1)； (2)． 10．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）计算： (1)； (2)． 11．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 12．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习） （1）计算：___________． （2）先化简，再求值：，其中． 13．（22-23九年级上·河南鹤壁·阶段练习）计算： (1)； (2)； 14．（2024·山东潍坊·模拟预测） （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 15．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)． 16．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1)； (2) 18．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 19．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）计算： (1)； (2)． 20．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）计算下列各题： (1)． (2)． 21．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习） （1）计算：； （2）计算：． 22．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 23．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 24．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 25．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1)． (2)已知是锐角，且，求的值． 26．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习） （1）计算：； （2）计算：． 27．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 28．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 29．（24-25九年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)||． 30．（24-25九年级上·云南文山·阶段练习）计算 (1) (2) 31．（2024九年级上·全国·专题练习） （1）计算：； （2）计算：． 32．（23-24九年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 33．（23-24九年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 34．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习） （1）； （2）． 35．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）计算： (1)． (2)． 36．（22-23九年级上·河南郑州·期末） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 37．（22-23九年级上·湖南娄底·期末）计算： (1) (2)先化简，再求值：，其中． 38．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 39．（22-23九年级上·江苏南京·期末） （1）计算： （2）计算． 40．（24-25九年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 41．（24-25九年级上·全国·单元测试）计算： (1) ； (2)． 42．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 43．（23-24九年级上·山东东营·开学考试） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 44．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1)． (2)． 45．（2024·山东·模拟预测） （1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 46．（22-23八年级下·吉林长春·期末）计算 (1)； (2)． 47．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）计算： (1)． (2)． 48．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）计算 (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中． 49．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）计算： (1) (2) 50．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 2．(1) (2)0 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，负整指数幂，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 3．(1) (2)0 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． （1）先计算零次幂、算术平方根及绝对值再合并即可； （2）把各个三角函数值代入再按实数混合运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 4． 【分析】本题考查特殊三角函数值的计算和，熟知特殊角的三角函数值及实数运算法则是正确解决本题的关键．代入特殊角的三角函数值再计算即可 【详解】解： ． 5． （1）（2） 6． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可； 【详解】解：（1） ； （2） ． 6．(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，以及解一元一次不等组的知识． （1）把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可． （2）把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： （2） 7．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可； （2）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．(1)； (2)． 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入进行计算，然后根据二次根式的运算即可解答； （）把特殊角的三角函数值代入进行计算，然后根据二次根式的运算即可解答； 本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的运算，熟记各运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案； （2）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案． 【详解】（1） ； （2）解： ． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先求算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再根据二次根式的性质进行化简，最后计算加减即可； （2）先计算分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．(1)1 (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟记运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值、计算算术平方根、计算零指数幂，再进行实数的混合运算即可． （2）代入特殊角的三角函数值、求负整数指数幂，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，分式的化简求值： （1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解a，最后代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴原式． 13．(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，解一元二次方程． （1）分别求出特殊角的三角函数值，进而即可解答； （2）先化简二次根式，绝对值，求出特殊角的三角函数值，负整数指数幂，进而即可解答； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（1）2；（2）； 【分析】此题考查了实数的混合运算，分式的化简求值等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据乘方、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值代入，进行计算后再进行加减法即可； （2）先计算括号内整式和分式的加法运算，再计算分式的乘法运算，得到化简结果，再把字母求值后，代入化简结果计算即可． 【详解】解：（1） （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及三角函数，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据三角函数，绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义计算即可； （2）根据三角函数，绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 17．(1)； (2)2． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算即可． （2）根据零指数幂，整数指数幂的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，零指数幂，负整数指数幂： （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1) (2)0 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． （1）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算、零指数幂的意义、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是∶ （1）利用零指数幂、绝对值的意义，特殊角的三角函数值化简计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘除后算加减的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（1）；（2） 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果； （2）根据特殊角三角函数值，二次根式的性质，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键． 22．(1)0 (2)2 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算乘方和零指数幂，最后计算加减法即可； （2）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算绝对值和零指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，化简二次根式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂的性质，进行计算即可求解． （2）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．(1)2 (2) 【分析】此题考查了特殊三角函数值及实数的运算，熟记特殊三角函数值、掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用二次根式的性质，负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值以及绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．(1) (2) 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算平方及，最后由二次根式混合运算求解即可得到答案； （2）由题意得到，先由二次根式性质、零指数幂和负整数指数幂化简，再计算特殊角的三角函数值，最后由二次根式混合运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：是锐角，且， 由可知， ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及特殊角的三角函数值、平方、、二次根式性质、零指数幂、负整数指数幂及二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 26．（1）；（2） 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ， ． 27．(1) (2)1 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算： （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．(1) (2)1 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值进行计算，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算绝对值、特殊角的三角函数值、乘方、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的锐角三角函数的混合运算． （1）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可； （2）利用特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 30．(1) (2) 【分析】（1）先计算特殊角三角形函数值和算术平方根，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 31．（1）；（2）3． 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算、特殊角的三角函数值等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据零指数幂，算术平方根，二次根式的加减运算、特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可； （2）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 32．(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算． （1）先计算30度，45度和60度角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算30度，45度角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 33．(1)； (2)． 【分析】（）根据有理数的乘方，负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂分别计算，然后合并即可； （）将特殊角的三角函数值正确代入后，再合并计算即可； 本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂，熟练掌握特殊三角函数值的运算和掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 34．（1）2；（2） 【分析】本题考查同角三角形函数的关系，特殊角的三角形函数值，关键是掌握同角三角形函数的平方关系，特殊角的三角形函数值． （1）由同角三角形函数的平方关系，特殊角的正弦值，正切值，即可计算； （2）由特殊角的正切值，完全平方公式，二次根式的性质，即可计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 35．(1) (2) 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记常见角的三角函数值成为解题的关键． （1）先利用特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可； （2）先利用特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 36．（1）；（2），． 【分析】（1）先化简二次根式、零指数幂、绝对值及负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再结合三角函数性质，将的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减、零指数幂、绝对值、负整数指数幂、分式、三角函数的知识，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则、三角函数的性质，从而完成求解． 37．(1)5 (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，负整数指数幂，零指数幂等等： （1）先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，再计算特殊角三角函数值求出a的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ∵， ∴原式． 38．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值的混合运算法则计算即可得出答案； （2）根据特殊角的三角函数值的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（1）4；（2） 【分析】此题考查负整数指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数、零指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． （2）根据负整数指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数、零指数幂进行运算，再合并即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2） ． 40．(1) (2)0 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 41．(1)4 (2)1 【分析】（1）先计算三角函数，进行开方运算、负整数指数幂运算，再合并即可； （2）先根据绝对值的性质、负整数指数幂、开立方、三角函数进行计算，再合并即可． 此题考查的是实数的运算，掌握立方根的概念、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值是解决此题关键． 【详解】（1） ； （2） ． 42．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： 43．（1）0；（2）， 【分析】本题考查了余弦，负整数指数幂，零指数幂，分式的化简求值．熟练掌握余弦，负整数指数幂，零指数幂，分式的化简求值是解题的关键． （1）先分别代入特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂，零指数幂的性质计算，然后进行加减运算即可； （2）先通分，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 将代入得， 原式． 44．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）先算乘方，然后将特殊角的三角函数值代入计算，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 46．(1)； (2)． 【分析】（）代入特殊角的三角函数值进行计算即可； （）代入特殊角的三角函数值进行计算即可； 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 47．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则与运算顺序是解此题的关键． （1）先计算二次根式、特殊角三角函数值、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．(1)4 (2) (3)； 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． （2）根据零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质化简即可解决问题． （3）先化简分式，再求出的值代入化简后的式子求值． 【详解】（1）解：原式 ． （2） 解：原式 ． （3）解： ， ， 代入得：原式． 【点睛】本题考查实数混合运算，零指数幂、负整理指数幂运算，特殊角三角函数混合运算，分式化简求值，二次根式混合运算，熟练掌握本关运算法则和熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 49．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，零指数幂，实数的运算，绝对值，准确熟练的化简各式并熟记特殊角三角函数值是解题关键． （1）先算特殊角三角函数值，再进行实数的混合运算，即可求解； （2）先算负整数指数幂，锐角三角函数，零指数幂和绝对值，再进行实数的混合运算，即可求解 【详解】（1）解： ； （2） 50．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）先把特殊角三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则，负整数指数幂计算即可； （）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，特殊角三角函数值，再由二次根式运算法则计算即可； （）把特殊角三角函数值代入，然后通过二次根式性质化简，化简绝对值，最后合并即可； （）把特殊角三角函数值代入，然后通过负整数指数幂，二次根式性质化简，最后合并即可； 本题考查了二次根式的运算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则及熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$