精品解析：广东省广州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

高一数学 试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各组对象可以构成集合的是（ ） A. 某中学所有成绩优秀的学生 B. 边长为2的正方形 C. 比较大的数字 D. 著名的数学家 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. B. ，2x＋1为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义城为 C. ， D. 为偶函数 11. 已知实数、，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在区间上单调递减，则___________. 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，____________． 14. 已知当时，函数的最大值为，则的值为_________ 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知命题；命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值； （2）用定义法判定的单调性； （3）求使成立的实数的取值范围. 18. 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：． （1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？ 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各组对象可以构成集合的是（ ） A. 某中学所有成绩优秀的学生 B. 边长为2的正方形 C. 比较大的数字 D. 著名的数学家 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】成绩优秀的学生、比较大的数字、著名的数学家这三组对象均不满足确定性，故ACD错误； 边长为2的正方形满足确定性，可以构成集合，故B正确； 故选：B. 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 3. 已知，则函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法可求的解析式，结合选项可得答案. 【详解】令，由于，则，， 所以，得， 所以函数的解析式为． 故选：B 4. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 5. 已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 6. 某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一开始离自己家的距离最小，排除部分选项，再根据跑和走离家的距离增加的快慢判断. 【详解】首先一开始离自己家的距离最小，则AB错误； 开始是走，所以在较短的时间内离家的距离增加的较慢， 而后是跑，所以离学校的距离增加的较快， 故C错误，D正确. 故选：D. 7. 已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得是R上的增函数，用一次函数与二次函数的单调性及端点值的大小关系列不等式组即可求解. 【详解】因为函数满足对任意， ，当时都有成立， 所以是R上的增函数， 于是，即， 解得，即. 故选：A 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. B. ，2x＋1为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可. 【详解】对于A，，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，A是； 对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，B不是； 对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题，C是； 对于D，该命题不是全称量词命题，D不是. 故选：AC 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义城为 C. ， D. 为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新函数定义，结合各项描述判断正误即可. 【详解】由，故，且的定义城为，A错、B对； 对于，或0，故，C对； 由于正负有理数、无理数在原点两侧对称分布，所以对应关于y轴对称，D对. 故选：BCD 11. 已知实数、，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项；由已知条件可得出，且，利用不等式的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A：因为、，由，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，故A错误； 对于B：因为、，， 因为， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，故B正确； 对于C：因为、，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故C正确； 对于D：由， 因为、，，则， 所以，，则， 可得，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在区间上单调递减，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果． 【详解】由题意，解得或， 又函数在区间上单调递减，则，∴． 故答案为：． 13. 已知函数为上的偶函数，当时，，则时，____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 14. 已知当时，函数的最大值为，则的值为_________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据对称轴和区间中点的关系分类讨论，建立方程解出即可. 【详解】函数的对称轴为， 当，即时，， 解得或（舍）； 当，即时，， 解得或（舍）， 综上知，的值为2或-1. 故答案为：或. 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）代入值，根据交集和并集含义即可； （2）分析得，分和讨论即可. 【小问1详解】 时，， 则，. 【小问2详解】 若，则以， 当时，则； 当时，则，则. 综上，的取值范围为. 16. 已知命题；命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由判别式即可求解； （2）分别求出为真命题时的范围，再分两种情况讨论即可； 【小问1详解】 由题意可得， 解得或， 【小问2详解】 命题为真时， 若，代入可得成立； 当时，， 所以命题为真时，， 结合题意当真假时，； 当假真时，，解得或； 当两个命题同时为真时，， 所以，命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为或. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的值； （2）用定义法判定的单调性； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可； （2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得； （3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 验证：当时，. 由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有， 所以是奇函数，满足题意. 故. 【小问2详解】 在上是增函数. 由（1）知，，. 证明：设，且， 则， ，，， ，， 在上是增函数. 【小问3详解】 ， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 则， 由（2）知在上是增函数， 所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 18. 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：． （1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？ 【答案】（1）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中 （2）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 （3）不能 【解析】 【分析】（1）分别求出比较即可； （2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间； （3）由的解，结合的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中． 【小问2详解】 当时，是增函数，且． 当时，是减函数，且． 所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 【小问3详解】 当时，令，则． 当时，令，则． 则学生注意力在180以上所持续的时间为． 所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题． 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果； （2）将问题转化为有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的一元二次不等式恒成立，由判别式得到关于的不等式，求解得到结果； （3）利用已知得到，根据对勾函数的性质求得最值即可得到所求范围. 【小问1详解】 当时，， 所以，解得或， 所以函数的不动点为和. 【小问2详解】 函数恒有两个相异的不动点，即方程有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根， 恒成立，即恒成立， 所以，解得， 故当时，函数恒有两个相异的不动点，则的取值范围为. 【小问3详解】 ∵ ， 所以， 因为，所以， 由于对勾函数在单调递增， 所以， 所以.故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查了函数问题中的新定义问题，搞清楚不动点是方程的根，不动点的个数即为方程的根的个数，从而构造方程在求解参数范围的过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数，对勾函数求解对应模型的最值.对于转化与化归的思想要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $