精品解析：广东省珠海市第九中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期九年级期中教学质量检测试卷（数学） 考试用时120分钟，满分120分，23小题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 配方法解方程应把它先变形为（ ） A. . B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 无论，为何值代数式的值总是（ ） A. 非负数 B. C. 正数 D. 负数 9. 如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（ ） A. B. 10 C. D. 10. 已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，，，则下列结论①；②为等边三角形；③；④若，则，正确的有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 抛物线的对称轴是直线_____． 13. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 14. 已知二次函数，当时，y的取值范围内是_______． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点E是线段上异于A，C的动点，将线段绕着点B顺时针旋转得到，连接，则的最大面积为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）请画出关于轴对称的，点分别对应； （2）将以为旋转中心，顺时针旋转，点分别对应，谋画出旋转后的图形． 18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒． （1）当时，________； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大”．你认为小强的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 20. 综合与实践 主题：建立二次函数模型解决数字乘积问题． （1）数学活动：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式是___________． ，，…，，． （2）阅读材料：对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路． 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为，求出y与x的函数关系式，并求出上述算式中的最大算式； （3）问题解决：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是9，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由； ，，…，，． 21. 如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． （1）求y与的函数表达式； （2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 等腰中，，，点P为平面内一点． （1）如图1，当点P在边上时，且满足，求的值； （2）如图2，内点P满足，连接BP．若，，求BP的长； （3）如图3，点P为内一点，，直接写出的最小值为______． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级期中教学质量检测试卷（数学） 考试用时120分钟，满分120分，23小题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：， 一元二次方程的根的情况是有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 4. 配方法解方程应把它先变形为（ ） A. . B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对方程利用配方法进行变形即可得到答案． 【详解】解：将原式作如下变形： ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 6. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 7. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数1）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积． 8. 无论，为何值代数式的值总是（ ） A. 非负数 B. C. 正数 D. 负数 【答案】C 【解析】 【分析】把含的放一块，配成完全平方公式，把含的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案． 【详解】解：原式 ， ，， ， 即原式的值总是正数． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握对代数式进行正确变形． 9. 如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理等知识点，连接，延长交于点，可证得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，如图所示： 由题意得： ， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：C 10. 已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，，，则下列结论①；②为等边三角形；③；④若，则，正确的有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①根据菱形的性质，利用SAS可得，正确；②由，得，，由，得，所以是等边三角形，正确；③因为，，所以，故③正确；④过点作EM//BC交下点点，易证是等边三角形，则，由AF//EM，则．故④正确， 【详解】解：①四边形是菱形， ，AB//CD， ， ， ， ，是等边三角形， ， ，， ，正确； ②， ，， ， ， 是等边三角形， 故②正确； ③； ， ， 故③正确； ④过点作EM//BC交于点， 易证是等边三角形，则， ∵AF//EM， 则． 故④正确， 故①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质求解． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 抛物线的对称轴是直线_____． 【答案】 【解析】 【分析】把解析式化为顶点式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 13. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 14. 已知二次函数，当时，y的取值范围内是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当x＝−1和x＝3对应的y值，最后求出最大值和最小值即可． 【详解】解：二次函数化为顶点式为， ∵， ∴二次函数有最小值为，此时， 当时，， 当时，， ∴该函数在的取值范围内，y的取值范围内是， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当x＝−1和x＝3对应的y值是解此题的关键． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点E是线段上异于A，C的动点，将线段绕着点B顺时针旋转得到，连接，则的最大面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．利用正方形的性质、旋转的性质和证明，设，则，证明，利用三角形面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为2， ∴，，，， 设，则， 由旋转的性质知，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴有最小值，最小值为1． 故答案为：1． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： ， ∴． 17. 如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）请画出关于轴对称的，点分别对应； （2）将以为旋转中心，顺时针旋转，点分别对应，谋画出旋转后的图形． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和轴对称： （1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可； （2）根据网格的特点结合旋转方式，找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒． （1）当时，________； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大”．你认为小强的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 【答案】（1）400 （2）当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元 （3）正确 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数，以及一元一次不等式组的应用，找到题中的相等关系和不等关系是解题的关键． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把代入解析式计算即可； （2）根据每盒利润×销售盒数=总利润可得W关于x的关系式，结合x的取值范围，由二次函数性质可得答案； （3）当日销售利润不低于8000元时，列出不等式，求出每盒售价的范围，再结合第二问求得的符合规定的售价的范围，求出两者的交集，即可判断小红是否正确． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是， 当时，； 【小问2详解】 解：， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ∴， 即，解得． ∵，且 ∴当时，W取得最大值，此时； 【小问3详解】 解：设日销售额为元，则 ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴当时，最大，此时为， 即小强的说法正确． 20. 综合与实践 主题：建立二次函数模型解决数字乘积问题． （1）数学活动：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式是___________． ，，…，，． （2）阅读材料：对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路． 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为，求出y与x的函数关系式，并求出上述算式中的最大算式； （3）问题解决：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是9，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由； ，，…，，． 【答案】（1） （2）， （3） 的积最大．理由： 设两个乘数的积为w，其中一个乘数的后两位上的数组成的数为，则另一个乘数的后两位上的数组成的数为， 由题意得：， ， ∴当时，w有最大值， 的积最大． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解题意，根据题意建立二次函数模型是解本题的关键． （1）直接计算求解即可； （2）根据题意列出函数关系式，化为顶点式求解即可； （3）设两个乘数的积为w，其中一个乘数的后两位上的数组成的数为，则另一个乘数的后两位上的数组成的数为．根据题意列出函数关系式，化为顶点式求解即可． 【小问1详解】 解：通过计算可得出其中积最大的算式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， 当时，y有最大值， 的值最大； 【小问3详解】 略 21. 如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． （1）求y与的函数表达式； （2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 ①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 等腰中，，，点P为平面内一点． （1）如图1，当点P在边上时，且满足，求的值； （2）如图2，内点P满足，连接BP．若，，求BP的长； （3）如图3，点P为内一点，，直接写出的最小值为______． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和含的直角三角形的特征求解即可； （2）将线段绕点A逆时针旋转 得到，连接，过H作于M，过A作于N，则，，，，先证，则，根据含的直角三角形的特征和勾股定理分别求出，即可； （3）将绕点C顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质可证是等边三角形，进而可证三点共线，根据求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 将线段绕点A逆时针旋转 得到，连接，过H作于M，过A作于N，则，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：将绕点C顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：， 是等边三角形， ，，， ， ， 三点共线， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形综合，涉及旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； 【小问3详解】 解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $