精品解析：福建省厦门市同安区2024—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期九年级第一阶段质量监测综合练习 数学 注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共5页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步判断即可. 【详解】A：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意； B：该图形即是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意； C：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； D：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的判断，熟练掌握相关概念是解题关键. 2. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程中根的判别式等于零，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式判断根的情况，掌握根的判别式的知识是解题的关键． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键． 根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标． 【详解】， ∴二次函数的图象的顶点坐标为， 故选：A． 5. 如图，将绕点顺时针旋转到，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，结合旋转的性质得出是解题关键．由旋转的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，将绕点顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 若抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据二次函数的图象可知当时，，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，与轴的交点坐标为和， 当时，， ∴为， 故选：． 7. 在平面直角坐标系中，若抛物线的图象经过，，三点，则下列关于抛物线性质的说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴交于负半轴 C. 顶点在第二象限 D. 对称轴在轴右侧 【答案】D 【解析】 【分析】本题全面考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线三点的位置、根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点、、的位置如已知图所示，若抛物线的图象经过、、三点， ∴抛物线开口向下，对称轴为，即对称轴在轴右侧，与轴交于正半轴，顶点到第一象限， ∴D正确，A，B，C错误； 故选：D． 8. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 9. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表可得二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表可得，二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴二次函数的最小值为， ∵对称轴为， ∴与的函数值相等， ∴， ∴当时，的取值范围为：， 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，，抛物线的最小值为．下列值中，的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线的最小值为，得出，对称轴为直线，结合，的，进行作答即可． 【详解】解：∵抛物线的最小值为， ∴，且当时，， 即抛物线的对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵， ∴， 即， ∵，，，， ∴的值可能是， 故选：C． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是方程的解，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出的值． 详解】由题意得： 把代入方程中， 则，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 12. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而减小可得m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：4（答案不唯一）． 13. 在平面直角坐标系中，把点绕原点逆时针旋转，对应点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，根据旋转的性质正确作图成为解题的关键． 先根据旋转的性质坐标，然后直接读取对应点的坐标即可． 【详解】解：如图： 点旋转之后的对应点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 15. 如图，将面积为25的正方形的边的长度增加，变为面积为22的矩形．若正方形和矩形的周长相等，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等．根据正方形的面积可得正方形的边长为，再根据正方形和矩形的周长相等，可得，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案． 【详解】∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 由题意得：， ∵正方形和矩形的周长相等， ， ， ∵矩形的面积为， ，即， 解得：， ， ， 故答案为： 16. 在同一平面直角坐标系中，已知直线（是常数，）过点，若无论取何值，直线与抛物线（是常数，）的图象总有公共点，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线和直线交点和利用抛物线的性质求解不等式， 首先将代入得到，，得到直线，然后联立得到，根据题意得到，整理得到，然后配方成，进而求解即可． 【详解】解：∵直线（是常数，）过点， ∴ ∴ ∴直线 ∵无论取何值，直线与抛物线（是常数，）的图象总有公共点， ∴ 整理得， ∴ ∴ 即， ∵， ∴，即， ∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， 即，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于点的中心对称图形，并写出点的坐标； （2）若四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的中心对称和旋转变换，平行四边形； （1）使，则点和点关于原点成中心对称，同理可作出点，，进而可作出，然后根据点的位置可确定其坐标； （2）根据平行四边形的判定定理确定出点的位置及坐标． 【小问1详解】 解：作图如下： ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，则有如下三种情况，如下图： 点的坐标为或或． 19. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 为响应全民阅读的号召，新兴中学鼓励学生到校图书馆借阅读书，据统计，该图书馆在3月图书借阅总量是1000本，5月图书借阅总量是1440本，求该图书馆的图书借阅总量从3月到5月的月平均增长率． 【答案】该图书馆借阅总量的月平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该班的图书借阅总量的月平均增长率为，根据3月及5月图书借阅总量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设校图书馆图书借阅总量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：该图书馆借阅总量的月平均增长率为． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，即为所求； （2）根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出，，求出的长即可求解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：连接 ∵中， ∴ ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 22. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为10元，每日销售量与销售单价（元）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于24元．设销售板栗的日获利为（元）． （元） 17 18 19 20 230 220 210 200 （1）求日销售量与销售单价之间的函数解析式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为24元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为2240元． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得关于的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 小问1详解】 解：依题意，设与之间的函数关系式为， 把，和，代入得： ， 解得， 日销售量与销售单价之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ，对称轴为直线，越靠近对称轴的所对应的函数值越大 ∵销售单价不低于成本价且不高于24元． 当时，， ∴有最大值为2240元． 当销售单价定为24元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为2240元． 23. 已知实数，，满足． （1）若，求，的数量关系； （2）若，为正整数，则的值能否等于？请说明理由． 【答案】（1）或 （2）值不能等于，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解应用，一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入原式，再进行因式分解即可求解； （2）将代入原式，可得，将其看作关于的一元二次方程，则，由于，为正整数，则必须是一个奇数的完全平方数，设（为正整数），整理可得，再根据为正整数，2为素数得，求得n与k的值，与已知矛盾． 【小问1详解】 解：当时， ， ， ， ， ， 或， 或； 【小问2详解】 解：的值不能等于，理由如下： 当时， ， 展开得到：， 移项可得：， 将其看作关于的一元二次方程， ， ，为正整数， ∴； 而要使得为正整数，则必须是一个奇数的完全平方数， 设（为正整数）， 整理得：， 即； ∵k，n均为正整数，且2为素数， ∴， ∴， 解得：， 这与n为正整数矛盾， 的值不能等于． 24. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，交延长线于点． （1）求证：； （2）在点运动过程中，的大小是否发生变化？请说明理由； （3）判断线段与线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）不变，，理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明则，由旋转得，继而即可求证； （2）过点作，垂足分别为，先证明，则， 即可求得； （3）过点P作于点M，过点P作交于点H，过点H作交于点G，则四边形为平行四边形，可得是等边三角形，为等边三角形，为等边三角形，则，由，，则，故，继而． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴； 【小问2详解】 解：的大小不变，且，理由如下， 过点作，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴在四边形中， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下， 过点P作于点M，过点P作交于点H，过点H作交于点G， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，角平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数交轴于点，，交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）记中点为点，过点作直线交轴负半轴于点，交抛物线于点，，点在点右边． ①当时，点为抛物线上的一个动点且点在线段上方，求面积的最大值； ②当时，若点与点关于直线对称，求证：． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先根据题意可得到，，进而求出直线的解析式为，联立，求出，，设，则，得到，再根据，即可求解；②连接，由，，可得，，，根据，推出，得到，进而根据勾股定理求出，，在中，设边上的高为，根据等面积法求出，再根据对称的性质可得到，即可解答． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 ①如图，过点作轴，交于点， 点，，点中点， ， 由题意可得：， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ，， 设，则， ， ， 当时，面积的最大，最大值为； ②如图，连接， ，， ，，， ，， ， ， ， ， 在中，设边上的高为， ，即， ， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分， ， ，即点在上， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，对称的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级第一阶段质量监测综合练习 数学 注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共5页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向上平移3个单位长度得到抛物线是（ ） A B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点顺时针旋转到，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 7. 在平面直角坐标系中，若抛物线的图象经过，，三点，则下列关于抛物线性质的说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴交于负半轴 C. 顶点第二象限 D. 对称轴在轴右侧 8. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，，抛物线的最小值为．下列值中，的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是方程的解，则m的值为____________． 12. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）. 13. 在平面直角坐标系中，把点绕原点逆时针旋转，对应点坐标为________． 14. 如图正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 15. 如图，将面积为25的正方形的边的长度增加，变为面积为22的矩形．若正方形和矩形的周长相等，则的值是________． 16. 在同一平面直角坐标系中，已知直线（是常数，）过点，若无论取何值，直线与抛物线（是常数，）的图象总有公共点，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解一元二次方程：． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于点的中心对称图形，并写出点的坐标； （2）若四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 19. 先化简，再求值： ，其中． 20. 为响应全民阅读的号召，新兴中学鼓励学生到校图书馆借阅读书，据统计，该图书馆在3月图书借阅总量是1000本，5月图书借阅总量是1440本，求该图书馆的图书借阅总量从3月到5月的月平均增长率． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，求的长． 22. 网络直播已经成为一种热门销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为10元，每日销售量与销售单价（元）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于24元．设销售板栗的日获利为（元）． （元） 17 18 19 20 230 220 210 200 （1）求日销售量与销售单价之间的函数解析式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 23. 已知实数，，满足． （1）若，求，的数量关系； （2）若，为正整数，则的值能否等于？请说明理由． 24. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，交延长线于点． （1）求证：； （2）在点运动过程中，的大小是否发生变化？请说明理由； （3）判断线段与线段的数量关系，并证明． 25. 如图，已知二次函数交轴于点，，交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）记中点为点，过点作直线交轴负半轴于点，交抛物线于点，，点在点右边． ①当时，点为抛物线上的一个动点且点在线段上方，求面积的最大值； ②当时，若点与点关于直线对称，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $