精品解析：江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高二上学期11月期中学业水平质量监测数学试题B卷

江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高二上学期11月期中学业水平质量监测数学试题B卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上. 2.将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效. 3.考试结束，只交答题卡. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知抛物线上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值. 【详解】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A 2. 已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 已知圆过，，三点，将这三点分别代入圆的标准方程，得到三个方程，联立求解就可以得到圆心坐标和半径. 【详解】设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 三个式子联立解得，，，. 则所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 3. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或. 故选：B 4. 已知双曲线的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线的斜率与离心率的关系求得正确答案. 【详解】依题意， 解得，所以渐近线方程为. 故选：D 5. 已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（ ） A. 两圆相交 B. 直线AB的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段AB的长为 【答案】B 【解析】 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后求得相交弦所在直线方程，再求得弦长. 【详解】圆的圆心是，半径为，圆的圆心是，半径为， 圆心距为，所以两圆相交，A选项正确，公切线有条，C选项正确. 由、两式相减并化简得， B选项错误. 到直线的距离为， 所以，D选项正确. 故选：B 6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得，则， ， 所以“将军饮马”的最短路程为. 故选：B 7. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 8. 已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线、类似点差法建立等量关系式，由直线垂直斜率的关系求出直线l的斜率. 【详解】设，而， 因为，故， 即， 所以，则， 又都在椭圆上， 故①，且， 即②， ①②两式相减并化简得：， 即③， 同理可得：④， ④－③得：， 所以， 因为，所以直线l的斜率为. 故选：D 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线的斜率为0 D. 当时，直线与直线AB垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的定点、倾斜角、斜率、垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线， 当时，，所以直线恒过定点，A选项正确. 时，，斜率为，倾斜角为，B选项错误. 时，，直线的斜率为，C选项正确. 时，，斜率为， 直线的斜率为，， 所以直线与直线不垂直，D选项错误. 故选：AC 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，根据求得曲线的轨迹方程，根据点到直线的距离公式来对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，由，得，而， 所以， 整理得，所以A选项正确. B选项，圆的圆心为，半径为， 设直线的方程为， 到直线的距离， ，两边平方并化简得， 解得，所以直线的斜率范围是，B选项正确. C选项，到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误. D选项，，，， 所以，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛： 通过设定比值来求解轨迹：首先设定两点之间的距离之比，并将其代入直角坐标系中，推导出曲线的方程. 这一步奠定了解题的基础. 利用距离公式分析直线与曲线关系：通过设定直线方程并利用点到直线的距离公式，求解出符合条件的斜率范围，确保直线与曲线存在公共点. 结合几何关系确定切线条件：利用点和斜率的关系，结合几何推导，确定切线条件，从而判断选项的正确性. 11. 已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是 B. 若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于 C. 设直线PA、PB的斜率分别为，则 D. 若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率、三角形的面积、定值问题以及三角形内切圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，代入得， 解得（负根舍去），所以， 两边除以得，解得，A选项正确. B选项，双曲线左焦点到一条渐近线的距离为， 所以，所以， 由于双曲线的离心率，所以， 所以，所以B选项错误. C选项，设，则， ，， 所以C选项正确. D选项，设内切圆的圆心为，内切圆于相切于点，如图所示， 则，且， 由于，所以， 而，所以，所以， 所以内切圆圆心的横坐标为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛： 利用双曲线的几何特性求解离心率：首先通过双曲线的焦点和交点条件，利用关于的方程推导出离心率. 内切圆位置的几何分析：通过分析双曲线在第一象限内的内切圆位置，利用几何关系确定圆心具体的横坐标. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线，直线，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值. 【详解】若，则，解得， 当时，直线，直线，两直线重合，不符合. 当时，直线，直线，，符合. 故答案为： 13. 已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则______. 【答案】12 【解析】 【分析】设，根据A、B中点的横坐标为5得到，由焦点弦长公式得到答案. 【详解】由题意得， 设， 因为A、B中点的横坐标为5，所以， 由焦点弦长公式得 故答案为：12 14. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于D，E两点，，则椭圆的方程是______，的周长是______. 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】先根据离心率求出与的关系，再通过直线与椭圆相交弦长公式求出，的值，从而得到椭圆方程。对于的周长，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴，所以的周长为。 【详解】 椭圆的离心率为， 不妨可设椭圆，， 的上顶点为，两个焦点为，， 为等边三角形， 过且垂直于的直线与交于，两点， ， 由等腰三角形的性质可得，，， 设直线方程为，，，，， 将其与椭圆联立化简可得，， 由韦达定理可得，，， ， 解得，所以，，椭圆方程为。 的周长等价于. 故椭圆的方程是；的周长是。 故答案为：；8. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标为为的中点. （1）求直线的方程和边上的高所在的直线方程； （2）过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是？ 【答案】（1）直线的方程是，边上的高所在的直线方程是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点式、点斜式来求得正确答案. （2）求得直线的斜率，从而求得直线的斜率范围. 【小问1详解】 依题意，，所以直线的方程为， 整理得. 直线的斜率为，所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程是. 【小问2详解】 直线的斜率为，直线的斜率为， 所以过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是. 16. 平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为； （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） 若选①，圆的方程为； 若选②，圆的方程为. （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程. （2）利用圆心到切线的距离等于半径来求得切线的斜率，进而求得切线方程. 【小问1详解】 由解得，所以圆过点. 若选①，圆C经过点，圆心在直线上， 设圆心为，， 则， 解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 若选②，圆心，半径为， 则，解得（负根舍去）， 所以圆心为，圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，当直线的斜率不存在时，不合题意； 当直线的斜率存在时，设切线的方程为， 圆心到切线的距离为，解得， 所以切线方程为，或， 即或. 17. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点. （1）求双曲线的方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； （3）若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程. （3）利用点差法求得直线的方程. 【小问1详解】 椭圆，即， 所以，所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 双曲线，对应，所以渐近线方程为， 设过点的双曲线的标准方程为， 所以，所以. 【小问3详解】 设，则， 两式相减并化简得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 由， 消去并化简得，符合. 所以直线的方程为. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.点为椭圆的左顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为1的直线与椭圆交于另外一点，求的坐标； （3）点，点为椭圆上任意一点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）先求得直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，从而求得点的坐标. （3）设，利用两点间的距离公式表示，根据二次函数的性质求得的最小值. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ，直线的方程为， 由解得或，则. 【小问3详解】 设是椭圆上任意一点，则， ， ， 由于，所以当时， 取得最小值为. 【点睛】方法点睛： 椭圆方程的确定：通过椭圆的离心率来推导其标准方程，是解题的重要步骤，利用椭圆的几何性质（如顶点和离心率）是求解方程的核心方法. 联立方程求解交点：在求直线与椭圆的交点时，通过联立方程并求解，是解决此类问题的常用手段. 距离公式与二次函数最值：通过两点间的距离公式建立关系，并利用二次函数的性质来求得最小值，是求解最小距离问题的有效方法. 19. 已知曲线，点. （1）当时，若直线过点且与曲线的右支交于M，N两点，记曲线的左、右顶点分别为，直线的斜率分别为，证明：为定值. （2）当时，不经过坐标原点且斜率为1的直线与曲线交于P，Q两点，直线PB与曲线的另一个交点为，直线QB与曲线的另一个交点为，其中G，H均不为曲线的顶点，证明：直线GH过定点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线过定点设出直线，联立，分别求出斜率，最后得到斜率的比值即可. （2）设直线的方程为，，，表示直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元求出，即可求出点坐标，同理得到点坐标，根据的斜率为得到，即可求出直线过定点坐标. 【小问1详解】 根据题意曲线的方程为.易知，. 设，，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，消去x可得， ，且 又因为直线与的右支交于M，N两点，所以 所以 ， 即为定值. 【小问2详解】 根据题意，曲线方程， 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 则，直线的方程为， 将其代入得，，显然， 则，所以， 将代入直线的方程，解得， 所以，同理得， 所以，得， 即， 整理得，所以， 因此直线的方程为，令，即，则， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高二上学期11月期中学业水平质量监测数学试题B卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上. 2.将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效. 3.考试结束，只交答题卡. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知抛物线上一点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（ ） A. B. C. D. 3. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 4. 已知双曲线的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（ ） A. 两圆相交 B. 直线AB的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段AB的长为 6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为3的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线的斜率为0 D. 当时，直线与直线AB垂直 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 11. 已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是 B. 若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于 C. 设直线PA、PB的斜率分别为，则 D. 若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线，直线，若，则______. 13. 已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则______. 14. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于D，E两点，，则椭圆的方程是______，的周长是______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标为为的中点. （1）求直线的方程和边上的高所在的直线方程； （2）过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是？ 16. 平面直角坐标系中，圆心C在第一象限，经过直线与的交点，且______（在①②两个条件中任选一个，补充在横线上.）①圆C经过点，圆心在直线上；②圆心，半径为； （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 17. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点. （1）求双曲线的方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； （3）若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.点为椭圆的左顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为1的直线与椭圆交于另外一点，求的坐标； （3）点，点为椭圆上任意一点，求的最小值. 19. 已知曲线，点. （1）当时，若直线过点且与曲线的右支交于M，N两点，记曲线的左、右顶点分别为，直线的斜率分别为，证明：为定值. （2）当时，不经过坐标原点且斜率为1的直线与曲线交于P，Q两点，直线PB与曲线的另一个交点为，直线QB与曲线的另一个交点为，其中G，H均不为曲线的顶点，证明：直线GH过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $