精品解析：青海省格尔木市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中素养测评数学试题

九年级数学期中素养测评卷 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十四章第24.1完，P1-P91） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做中心对称进行解答即可． 【详解】A、中心对称图像，故该选项符合题意； B、不是中心对称图像，故该选不项符合题意； C、不是中心对称图像，故该选不项符合题意； D、不是中心对称图像，故该选不项符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是关键． 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. （0，2） B. （，0） C. （2，0） D. （0，） 【答案】D 【解析】 【分析】令利用函数解析式求得对应的的值即可求得答案． 【详解】解：∵令，则 ∴抛物线与轴的交点坐标是． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数与坐标轴交点的特点是解答此题的关键． 4. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】∵， ∴= 故选B． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质． 5. 如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键． 由将绕着点逆时针旋转后得到，可求得，然后由三角形内角和定理，求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：将绕着点B逆时针旋转后得到， ， ∵，， ， ． 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可以是（ ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．由关于x的一元二次方程没有实数根，可得出，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 结合选项可知只有A符合题意． 故选A． 7. 如图，半径为的的弦．且于，连结，，若，则半径的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，OD，由弦AC=BD，可得弧AC=弧BD，继而可得弧BC=弧AD，然后由圆周角定理，证得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABD=45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=R，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵弦， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰三角形性质与判定等知识，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 8. 若二次函数，当时，y的最大值是n，最小值是m，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据自变量的取值范围求得最大值和最小值是解决此题的关键，先把解析式化成顶点式，因为开口向上，距离对称轴越远的数对应的数值越大，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数值为 ， 当时，函数值为， 当时，， ∵当时，y的最大值是n，最小值是m， ∴，， ∴． 故选：D 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果是关于x的一元二次方程的根，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入得：，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10. 如图，四边形内接于，若，则______°． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴． 故答案为：80． 11. 抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x轴对称点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可求出抛物线的顶点关于x轴对称的顶点，关于x轴对称，则开口方向与原来相反，得出二次项系数，最后写出对称后的抛物线解析式即可． 【详解】解：抛物线的顶点为(3,-1)，点(3,-1)关于x轴对称的点为(3,1)， 又∵关于x轴对称，则开口方向与原来相反，所以 ， ∴抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x轴对称点的特点． 12. 如图所示，某小区准备用总长为的篱笆围成矩形花圃，花圃一面靠墙（墙足够长），且花圃中间隔有一道篱笆垂直于墙，当矩形花圃的面积是时，则的长为______m． 【答案】4或6##6或4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，正确列出等式或不等式是解题关键．设的长为，则，根据矩形花圃的面积是，且各边长不能为，列出等式和不等式，再求解即可． 【详解】解：设的长为，则． ∵矩形花圃的面积是， ∴， 解得：，． ∵，， ∴， ∴， ∴的长为或． 故答案为：4或6． 13. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用旋转的性质可得，，由题意可得阴影部分的面积，过点作，利用含30度直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴ ∴阴影部分的面积 过点作，如下图： ∵ ∴ ，即阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再移项合并，最后用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 或， ，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤和方法． 15. 已知二次函数的表达式为． （1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x小于多少时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，3） （2）当x<2时，y随x的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）把一般式化成顶点式即可确定二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）根据二次函数的增减性，当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大． 【小问1详解】 解：， 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：二次函数图象开口向下， 在对称轴的左侧y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大． 【点睛】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向，解题的关键是根据对称轴了解二次函数的增减性． 16. 平面直角坐标系第二象限内的点与另一点关于原点对称，试求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，平面直角坐标系内点的符号特征．掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都是原数的相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的坐标特征可得出；，再结合点P在第二象限，即可求出x和y的值，最后相减即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴；， 解得：，；． ∵点P在第二象限， ∴，即， ∴， ∴． 17. 关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论取何值，方程总有两个实数根． 【详解】证明：，，， ， 无论取何值，方程总有两个实数根． 18. 已知抛物线经过点和． （1）求、的值； （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可； （2）将，按题目要求平移即可． 【详解】（1）将点和代入抛物线得： 解得： ∴， （2）原函数的表达式为:， 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得： 平移后的新函数表达式为: 即 【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键． 19. 如图，在中，，平分交于点，将绕点逆时针旋转到的位置，点在上，连接交于点．求证：垂直平分． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】根据平分，得．再由旋转的性质知，，从而可得．最后根据等腰三角形的三线合一，证得垂直平分． 【详解】证明：∵，平分交于点， ∴． ∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴在等腰中，，平分， ∴，， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、旋转的性质．熟练掌握相关性质并加以运用是解题关键． 20. 已知：二次函数的图象如图所示，解决下列问题： （1）求关于x的一元二次方程的解： （2）求该二次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）中直接观察图象，抛物线与x轴交于，两点，所以方程的解为． （2）由图象看出抛物线的对称轴为，设解析式为，再代入交点坐标，即得抛物线的解析式． 【小问1详解】 观察图象可得二次函数的对称轴为，二次函数与x轴交于点． ∴该二次函数与x轴交于另一点， ∴关于x的一元二次方程的解为． 【小问2详解】 设该二次函数解析式为，'将代入得． 解得：， ∴， 即该二次函数解析式为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法二次函数和一元二次方程的关系，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 21. 如图，是的直径，C、D两点在上，若． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1） （2）的半径为5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，直角三角形性质，掌握圆周角定理及推论是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得、，然后根据角的和差即可解答； （2）根据圆周角定理可得，然后根据直角三角形的性质可得，进而完成解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为5． 22. 如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O的中心对称图形，并写出点B的对应点的坐标． （2）画出将绕原点O逆时针方向旋转后的图形． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据找点，描点，连线，画出，再写出的坐标即可； （2）根据找点，描点，连线，画出． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 由图可知：； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题考查画出中心对称图形和旋转图形．熟练掌握中心对称图形和旋转图形的定义，是解题的关键． 23. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）504万元；（2）20%． 【解析】 【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解； (2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解． 【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)2=504， 解得：x1=02=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，是的直径，四边形内接于，分别连接、，相交于E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等，解题的关键是综合运用上述知识点． （1）根据垂径定理的推论可得，，由三角形中位线定理即可判定； （2）由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，最后根据中位线定理可得的长． 【小问1详解】 证明：，是半径， ，， 又， 是的中位线， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，， 在中，， ， 解得， ∵是的中位线， ． 25. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，那么每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证这种水果每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）涨价5元 （2）这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最大，最大利润是6125元 【解析】 【分析】（1）设每千克水果涨了a元，那么少卖千克，根据每天销售这种水果盈利6000元，得到，根据同时顾客又得到实惠，得到； （2）设每千克这种水果涨价元，获利元， 得到，得到时，取得最大值6125． 【小问1详解】 设每千克应涨价元， 则， 解得，， 因为要使顾客得到实惠，所以； 答：每千克应涨价5元； 【小问2详解】 设每千克这种水果涨价元时，能使商场获利元，则 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为6125． 答：这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最大，最大利润是6125元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用——销售问题．熟练掌握利润与售价和进价的关系，总利润与每千克利润和数量的关系，解一元二次方程，求二次函数的最大值，是解题关键． 26. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点D在x轴的上方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移该二次函数图象，使平移后的图象经过点B与点D，请你写出平移过程，并说明理由． 【答案】（1） （2）平移过程为：将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度或先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种全等情况求出点D的坐标，再设平移后的解析式，将点B、D的坐标代入即可求出解析式，由平移前的解析式根据顶点式的数值变化得到平移的方向与距离． 【小问1详解】 将，代入中，得， 解得． ∴该二次函数的表达式为． 【小问2详解】 平移过程：将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度或先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． 理由如下： 当时，， ∴C点的坐标为． ， 如图，连接AC，BC， ①将沿x轴翻折，则点的对应点落在点处，则， 可设平移后经过点，的二次函数表达式为， 将代入，得， 解得，． ∴平移后经过点B，的二次函数表达式为， ∴平移过程为将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度； ②将沿二次函数图象的对称轴翻折，则点的对应点落在点处， 则， 可设平移后经过点，的二次函数表达式为， 将，代入，得， 解得 ∴平移后经过点B，的二次函数表达式为， ∴平移过程为将二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． 综上所述，平移过程为：将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度或先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度． 【点睛】此题考查二次函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的规律，求图象平移规律时需先求得函数的解析式，将平移前后的解析式都化为顶点式，根据顶点式中h、k的变化确定平移的方向与距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学期中素养测评卷 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十四章第24.1完，P1-P91） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. （0，2） B. （，0） C. （2，0） D. （0，） 4. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 5. 如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可以是（ ） A 3 B. 0 C. 1 D. 7. 如图，半径为的的弦．且于，连结，，若，则半径的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 8. 若二次函数，当时，y的最大值是n，最小值是m，则（ ） A 3 B. 5 C. 7 D. 9 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果是关于x的一元二次方程的根，则k的值为______． 10. 如图，四边形内接于，若，则______°． 11. 抛物线关于x轴对称抛物线解析式为_______________． 12. 如图所示，某小区准备用总长为篱笆围成矩形花圃，花圃一面靠墙（墙足够长），且花圃中间隔有一道篱笆垂直于墙，当矩形花圃的面积是时，则的长为______m． 13. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 已知二次函数的表达式为． （1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x小于多少时，y随x的增大而增大？ 16. 平面直角坐标系第二象限内的点与另一点关于原点对称，试求的值． 17. 关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根． 18. 已知抛物线经过点和． （1）求、的值； （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 19. 如图，在中，，平分交于点，将绕点逆时针旋转到的位置，点在上，连接交于点．求证：垂直平分． 20. 已知：二次函数图象如图所示，解决下列问题： （1）求关于x的一元二次方程的解： （2）求该二次函数的解析式． 21. 如图，是的直径，C、D两点在上，若． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 22. 如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O的中心对称图形，并写出点B的对应点的坐标． （2）画出将绕原点O逆时针方向旋转后的图形． 23. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 24. 如图，是的直径，四边形内接于，分别连接、，相交于E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，那么每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证这种水果每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最大？最大利润是多少？ 26. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点D在x轴的上方，以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，平移该二次函数图象，使平移后的图象经过点B与点D，请你写出平移过程，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$