辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 命题人：抚顺二中 胡世龙 审题人：锦州中学 王锦明 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1.已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2.已知向量，则下列向量中与成角的是（ ） A. B. C. D. 3.已知直线与，若，则的值是（ ） A.3 B.5 C.3或5 D.1或2 4.直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于（ ） A. B. C. D. 5.过点的直线与曲线相交于A，B两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6.若与相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则实数的值是（ ） A. B. C.5 D. 7.已知双曲线的两个焦点分别为，点到其中一条渐近线的距离为3，点是双曲线上一点，且，则（ ） A.12 B.18 C.24 D.36 8.在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，分别取BC，AD，AB的中点E，F，G，连接EF，CG，则直线EF与CG所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.） 9.已知点，过点的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A.的最小值为1 B.满足的弦有且只有2条 C.当最小时，圆上的点到直线AB的距离最小值为0 D.当最小时，圆上的点到直线AB的距离最大值为 10.如图，在棱长为2的正方体中，为BC的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A.与CD的距离为 B.当点在的中点时， C.当点在的中点时，点到平面的距离为 D.点到直线的距离的最小值为 11.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于D，E两点，为DE的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B.DE的直线方程是 C.直线OP的斜率为 D.的周长是8 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知平行直线，则与的距离是______________. 13.如图，二面角的大小是，线段，AB与所成的角为，则AB与平面所成角的正弦值是_____________. 13.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于A、B两点（点A在第一象限），M为AB的中点，双曲线的离心率为，若点到四边形的四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（13分） 已知三点. （1）求过A，B，C三点的圆的一般方程; （2）过点C的直线与圆交于点，且，求直线CD的方程. 16.（15分） 在四棱锥中，侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，底面ABCD是菱形，为PC上一点，且平面BDM. （1）求证：M为PC中点; （2）求直线AM与平面BDM成角的正弦值. 17.（15分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与左支相交于A，B两点. （1）若，求双曲线的方程； （2）若直线AB的斜率为，且，求双曲线的离心率. 18.（17分） 在如图所示的几何体中，平面平面，是棱AB上一点. （1）求证; （2）是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线DC的距离. 19.（17分） 设A，B分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足. （1）求动点的轨迹方程; （2）设E，F分别为轨迹上的两个动点，且. （i）求证：为定值；（ii）求面积的取值范围. 2024—2025学年度上学期期中考试高二试题答案 1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B 9.BCD 10.BC 11.ACD 12. 13. 14. 8.提示：方法一：选择为基向量，将，用基向量表示. 方法二：将其放在正方体中，然后建系做. 11.提示:D选项，的周长等于的周长，都为4a. 14.提示：点即为直线AB与的交点，若不然，根据三角形两边之和大于第三边，能证明其它点都不符合题意. 15.（1）设所求圆的一般方程为，将A，B，C三点代入， 得解得，（3分） 所以过A，B，C三点的圆的一般方程是.（5分） （2）由，得， 所以圆心为，半径为，（6分） 由垂径定理得到圆心到直线CD的距离为1.（7分） 当直线CD的斜率不存在时，，符合题意；（9分） 当直线CD的斜率存在时，设为，则，即，由，解得，所以，（12分） 综上所述:直线CD的方程是或.（13分） 16.（1）连接AC交BD于点，连接MN， 因为平面平面PAC，平面平面，所以，（3分） 又因为底面ABCD是菱形，所以为AC的中点，所以为PC中点.（4分） （2）取AD的中点，因为侧面PAD是正三角形，所以，又因为侧面PAD垂直于底面ABCD，且侧面底面平面PAD，所以底面ABCD，（7分） 以为坐标原点，的正方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图: 设，则分） 则（9分） 设平面BDM的法向量为， 由取，（12分） 设直线AM与平面BDM成角为， 则.（15分） 17.（1）由双曲线的定义，得 ，所以，因为，所以.（4分） 由知，，所以，（5分） 所以双曲线的方程是.（6分） （2）方法一:因为直线AB的斜率为，所以，设，由，得，（7分） 在中，应用余弦定定理，得，① 在中，应用余弦定定理，得，② 由①②两式互为相反数，整理，得（11分） 代入①式，得出，所以，即双曲线的离心率为.（15分） 方法二:由题故直线AB的方程为，设联立消得（8分） 故，，又 则（11分） 易得，整理得即.（15分） 18.（1）因为平面平面ABC，所以，（1分） 又因为平面AEC，所以平面AEC，（4分） 又因为平面AEC，所以.（5分） （2）过点作，则平面ABC，以点为原点，的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立平面直角坐标系如图:由，得，设则，解得（6分） 设平面CED的法向量为，且， 由，取分） 设平面CME的法向量为，且， 由取（10分） 设二面角的平面角为，则，解得或（12分） （3）由题意，得，此时，连接， 所以（15分） 设点到直线DC的距离为，则.（17分） 19.（1）设，由，得，由，得，所以，即.（4分） （2）当直线OE与OF斜率都存在时，设直线OE的斜率为， 则，解得，（6分） 同理：，用换上式中的，得，（7分） 所以（9分） 当直线OE与OF斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，此时 ，综上（10分） （3）方法一:由（2）知，，设， 因为，所以，同理， 于是.（12分） 所以，（5分） 当且仅当或时，取得最大值; 当且仅当时，取得最小值.（17分） （3）方法二：因为，所以，，令，则，因为，所以，（13分） 所以，（16分） 所以.（17分） （3）方法三：由（2）知，当直线OE与OF斜率都存在时，设直线OE的斜率为，因为 ，令，（13分） 则原式，令，得 原式（16分） 当直线OE与OF斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，此时， 综上，.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$