精品解析： 上海市金山区剑桥实验中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试卷（5月份）

2023-2024学年上海市金山区剑桥实验中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求函数值等知识点，熟练掌握一次函数图象及数形结合思想是解题的关键． 把代入一次函数的解析式求出的值即可． 【详解】解：令，则， 直线的截距是， 故选：． 2. 若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确理解直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数图象的增减性来确定的符号即可． 【详解】解：一次函数的函数值随自变量的值增大而增大， ， 解得：， 故选：A． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 购买一张彩票中奖一百万元 B. 在地球上，上抛的篮球会下落 C. 明天太阳从西边出来 D. 上海地区明天降水 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．购买一张彩票中奖一百万元是随机事件，不符合题意； B．地球上，上抛的篮球会下落是必然事件，符合题意； C．明天太阳从西边出来是不可能事件，不符合题意； D．上海地区明天降水是随机事件，不符合题意； 故选：B． 4. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 矩形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）． A. 凸多边形的内角和为 B. 凸多边形的外角和为 C. 四边形绕它的对角线交点旋转能与它本身重合 D. 任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义即可解答． 【详解】解：、凸n多边形的内角和，故不可能为，所以凸多边形的内角和为是不可能事件； 、所有凸多边形外角和为，故凸多边形的外角和为是必然事件； 、四边形中，平行四边形绕它的对角线交点旋转能与它本身重合，故四边形绕它的对角线交点旋转能与它本身重合是随机事件； 、任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边，即三角形中位线定理，故是必然事件． 故选：． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解决本题关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 7. 直线不经过第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．据此求解即可． 【详解】解：一次函数的，， 图象过一、二、三象限， 一次函数的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 8. 如果直线经过点，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到方程是解此题的关键．把代入得，到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入得：， ， 故答案为：． 9. 如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图形与坐标轴围城的三角形的面积，求出直线与坐标轴的交点，把求线段的长的问题转化为求函数的交点的问题．求出求出直线与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即为可求． 【详解】解：当时，， 当时， 两坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：． 10. 方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据立方根的定义解方程，关键是能由求出．由，两边开立方根，即可求出． 【详解】解： 故答案为：． 11. 用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，体现了整体思想．设，则，进而将原方程变为，再去分母即可． 【详解】解：设，则， 原方程可变为：， 两边都乘以得，， 故答案为：． 12. 小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形的内角和是180的整数倍数求解即可． 【详解】解：根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180的整数倍数， 是一个三位数，百位数是7的，又是180的整数倍数的只有720， 故多边形的内角和为720°， 这个凸多边形的边数为：+2=6， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识．由三角形法则，可得，即可求得的值． 【详解】解：， ． 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，设，，那么用表示______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，根据平行四边形的性质以及三角形法则求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，． ，， ，． 又． 故答案为：． 15. 如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 平行四边形的周长为， ， ， ， 的周长． 故答案为：15． 16. 若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形中求线段长，涉及菱形性质求面积、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟记菱形性质是解决问题的关键．根据题意，作出图形，先求出面积，再利用菱形对角线相互垂直平分，由勾股定理求出菱形边长后，利用等面积法列式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 菱形的两条对角线长分别是和，不妨令， ， 在菱形中，，则在中，，由勾股定理可得， ， ，解得， 故答案为：． 17. 如图，直角梯形，，，，将沿着直线翻折，点A落在直角梯形的中位线上，则的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】设点A对应点为A′，延长DA′交BC于G，由折叠的性质可得∠1=∠2，∠BA′D=∠A=90°，再根据梯形中位线定理得到DF=CF，A′F∥CG，可推出∠2=∠3=∠1，利用三线合一的性质得到∠1=30°，再利用直角三角形的性质得到结果． 【详解】解：如图，设点A对应点为A′，延长DA′交BC于G， ∵∠ABC=90°，AD∥BC， ∴∠A=90°， 由翻折可知：∠1=∠2，∠BA′D=∠A=90°， ∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴DF=CF，EF∥BC，即A′F∥CG， ∴DA′=A′G， ∴BA′垂直平分DG， ∴BD=BG， ∴∠2=∠3=∠1， ∵∠ABC=90°， ∴∠1=30°， ∵∠A=90°，AD=2， ∴BD=2AD=4． 【点睛】本题考查了折叠的性质，梯形的中位线定理，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质和梯形中位线得到相等线段． 18. 我们把有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“等对边四边形”．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一动点，如果四边形是等对边四边形，那么的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，由点是边的中点，求得，由四边形是等对边四边形，得到或，当时，过作于，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， ， 点是边的中点， ， 四边形是等对边四边形， 或， 当时，过作于， ， ， ， ， 故答案为：或． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】将①分解因式可得，再将将②代入③后得，然后与②组成可得 【详解】解：由①得．③ 将②代入③，得．④ 得方程组， 解得， 所以原方程组的解是． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的． 20. 如图，点在对角线上，且． （1）在图中求作：（不要求写出作法，要写出结论）； （2）如果把图中线段都化成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是 ． 【答案】（1）则即为所求； （2）， 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，作，则即为所求． （2）根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质可得，进而可得．根据题意可得，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，延长至点，使，作， 此时． 【小问2详解】 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ∴， ． ， ， 即， ， 与相等的向量是，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、平面向量、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21. 某校学生在“蓝天下的至爱”帮困活动中，纷纷拿零花钱，参加募捐活动．甲班学生共募捐840元，乙班学生共募捐1000元，乙班学生的数比甲班学生的人均捐款数多5元，且人数比甲班少2名，求甲班和乙班学生的人数． 【答案】甲班学生的人数为42名，乙班学生的人数为40名． 【解析】 【分析】设乙班学生的人数为名，则甲班学生的人数为名，由乙班学生的数比甲班学生的人均捐款数多5元可得等量关系：乙班平均每人捐款金额-甲班平均每人捐款金额=5． 【详解】解：设乙班学生的人数为名，则甲班学生的人数为名． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 经检验：，都是原方程的根，但不符合题意，舍去． 答：甲班学生的人数为42名，乙班学生的人数为40名． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 22. 在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米． （1）到达假山处时，小杰用了多少分钟？ （2）小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）． 【答案】（1）5分钟 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用和分式方程的应用，解可化成一元二次方程的分式方程． （1）设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟，根据小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出与之间的函数解析式，再把代入解析式从而求出点坐标． 【小问1详解】 解：设小明的速度为米/分钟，则小杰的速度为米/分钟， 则， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 经检验，是原方程的根， 小明的速度为250米/分钟，小杰的速度为300米/分钟， （分钟）， 到达假山处时，小杰用了5分钟； 【小问2详解】 解：设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系， 当时，， 点的坐标为，与之间的函数解析式为， 故答案为：，． 23. 如图，在中，，点分别为边上的点，，连接，点为的中点，连接，并延长交边于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：， ，，， 点为的中点， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，由定理证明，，得到，根据平行四边形的判定即可证的结论； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得，由三角形外角定理与已知条件证得，得到，即可证的结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角定理，综合运用相关知识是解决问题的关键． 24. 如图，已知点A位于第一象限，且在直线上，过点A作轴垂足为点B，轴垂足为点C，． （1）求点A坐标； （2）如果点E位于第四象限，且在直线上，点D在y轴上，坐标平面内是否存在点F，使得四边形是正方形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2，1）；（2）存在，（，） 【解析】 【分析】（1）要求A的坐标，且A在直线y=2x-3上，可设A的坐标为（a，2a-3），再在Rt△OBC中用勾股定理且A在第一象限求出a即可； （2）根据E在第四象限，且在直线y=2x-3上，设E（m，2m-3），D在y轴上，结合正方形ADEF，画出图形，得出AD=DE，AD⊥DE．再由全等三角形模型的三垂直模型作出辅助线，证明△ADH≌△DEG，求出a即可． 【详解】解：（1）设点A的坐标为（a，2a-3）， ∵AB⊥x轴，AC⊥y轴， ∴OB=a，OC=2a-3， ∵BC=，∠BOC=90°， ∴5=a2+（2a-3）2， ∴a=2或a=， ∴点A的坐标为（2，1）或（，）， ∵点A在第一象限， ∴点A的坐标为（2，1）； （2）如图，分别过点A、点E作AH⊥y轴于H、EG⊥y轴于G， ∵∠HAD+∠ADH=90°， ∠EDG+∠ADH=90°， ∴∠HAD=∠EDG， 在△HAD与EDG中， ， ∴△HAD≌GDE（AAS）， ∴AH=DG=2，DH=GE， 根据E在第四象限且在直线y=2x-3上， 设E（m，2m-3）， 则GE=DH=m，OG=3-2m， ∴OG+OH=DH+DG=3-2m+1=2+m， ∴m=， ∴E的坐标为（，）． 【点睛】本题考查了一次函数设点求坐标及勾股定理的应用，比较基础；第（2）问重在考查数形结合思想和三角形全等模型，首先画出图形是关键，其次熟悉三垂直模型，才能顺利解决此问，属于中档压轴题． 25. 如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． （1）求的长； （2）求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）联结，当时，求的值． 【答案】（1）4 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）过点作于点，得出，根据，得出； （2）①当点在点左侧（），，根据，得出（）；②当点在点右侧（）， ，得出（）； （3）延长交于点，由三角形中位线定理推知点为的中点，，得出是等边三角形，从而求出的值． 【小问1详解】 解：过点作于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ． ； 【小问2详解】 解：∵， ． ①当点在点左侧（）， ∵， ∴， ， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ， ； ②当点在点右侧（）， ，， 同理可得：， ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：延长交于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ． 点为的中点， ∴． 在与中，， ， ， ， ， 为正三角形， ． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形中位线的判定与性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，有三角形的中位线和勾股定理，函数与图形相结合等，掌握有三角形的中位线和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上海市金山区剑桥实验中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的截距是（ ） A. B. C. D. 2. 若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 购买一张彩票中奖一百万元 B. 在地球上，上抛的篮球会下落 C. 明天太阳从西边出来 D. 上海地区明天降水 4. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 矩形 D. 等腰梯形 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）． A. 凸多边形的内角和为 B. 凸多边形的外角和为 C. 四边形绕它的对角线交点旋转能与它本身重合 D. 任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 7. 直线不经过第______象限． 8. 如果直线经过点，那么______． 9. 如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 10. 方程的根是___________． 11. 用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是______． 12. 小明测量了某凸多边形的内角和，登记时不慎被油墨玷污，仅能看清其记录的是一个三位数，其百位数是7，则这个凸多边形的边数为_________． 13. ______． 14. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，设，，那么用表示______． 15. 如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为______． 16. 若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是__________． 17. 如图，直角梯形，，，，将沿着直线翻折，点A落在直角梯形的中位线上，则的长为_________． 18. 我们把有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“等对边四边形”．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一动点，如果四边形是等对边四边形，那么的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程组：． 20. 如图，点在对角线上，且． （1）在图中求作：（不要求写出作法，要写出结论）； （2）如果把图中线段都化成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是 ． 21. 某校学生在“蓝天下的至爱”帮困活动中，纷纷拿零花钱，参加募捐活动．甲班学生共募捐840元，乙班学生共募捐1000元，乙班学生的数比甲班学生的人均捐款数多5元，且人数比甲班少2名，求甲班和乙班学生的人数． 22. 在一次越野比赛中，小明和小杰同时出发，小杰比小明早1分钟跑到离出发点1500米的假山处，已知小杰的平均速度每分钟比小明快50米． （1）到达假山处时，小杰用了多少分钟？ （2）小杰从假山处以原来速度继续前进，设继续前进的时间为分钟，离出发点的距离为米，与之间的函数关系如图所示，那么点的坐标为 ，与之间的函数解析式为 （不要求写定义域）． 23. 如图，在中，，点分别为边上的点，，连接，点为的中点，连接，并延长交边于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是菱形． 24. 如图，已知点A位于第一象限，且在直线上，过点A作轴垂足为点B，轴垂足为点C，． （1）求点A坐标； （2）如果点E位于第四象限，且在直线上，点D在y轴上，坐标平面内是否存在点F，使得四边形是正方形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 25. 如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． （1）求的长； （2）求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）联结，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $