精品解析：河北省枣强中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

河北省枣强中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 直线倾斜角的正切值是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，则以AB为直径的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 4 D. 3 5. 若圆与y轴交于A，B两点，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C. 点P的纵坐标为 D. 内切圆的面积为 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，其中，若四边形OPQR为菱形，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆有2条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到面的距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 三棱柱的体积是 12. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线的斜率、在轴上的截距分别为，直线经过原点且斜率为3，则、的交点坐标为____________. 14. 若平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为____________. 15. 已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度的最小值为________. 16. 已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为_______. 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的三个顶点是 （1）若直线过点，且与AB平行，求直线的一般式方程; （2）求的面积. 18. 已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. （1）求圆的圆心坐标和半径; （2）求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 19. 已知. （1）若，求的值； （2）若且，求的值. 20. 已知圆，过作直线圆交于点． （1）求证：是定值； （2）若点．求的值． 21. 已知椭圆的右焦点为，点在上. （1）求的离心率; （2）设恒过点的直线交于A，B两点，且为AB的中点，求及|AB|. 22. 如图，已知四点均在直径为的球B的球面上，，直线PO与平面AOC所成的角为，点D在线段PC上运动． （1）证明： （2）设平面BOC与平面KHD的夹角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省枣强中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系即可得结果. 【详解】由题意可知：点A到平面xOy的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3. 故选：C. 2. 直线倾斜角的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率的定义分析即可得结果. 【详解】直线，即， 所以直线倾斜角的正切值，即直线斜率为. 故选：B. 3. 若点，则以AB为直径的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得方程. 【详解】因为， 可知以AB为直径的圆的圆心为，半径， 所以圆的方程是. 故选：D. 4. 已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及二次函数的性质求解即可. 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 5. 若圆与y轴交于A，B两点，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接联立方程求A、B坐标即可. 【详解】联立得，故A、B坐标为，即. 故选：D 6. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得. 【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意； 对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意； 对于C，因，即，，共面，故C不合题意； 对于D，因，即，，共面，故D不合题意. 故选：B. 7. 已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由，化简可得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是． 故选：A. 8. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C. 点P的纵坐标为 D. 内切圆的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】对A，根据椭圆定义和余弦定理求出即可得出；对B，根据椭圆的有界性可得；对C，根据的面积建立关系求解；对D，根据的面积求出内切圆半径即可得出. 【详解】对A，根据椭圆定义可得，则①， 在中，由余弦定理②， 由①②可得，所以的面积为，故A错误； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，故B错误； 对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误； 对D，设内切圆的半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故D正确. 故选：D. 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，其中，若四边形OPQR为菱形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合空间中中点坐标公式以及向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为的中点为，的中点为， 四边形OPQR为菱形，则，可得， 则，可得， 解得，则或， 结合选项可知：ABD正确，C错误. 故选：ABD. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆有2条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】由两圆的标准方程可得它们的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系判断出两圆的位置关系，即可得出公切线条数，可判断AC错误；利用圆心到直线的距离与半径的关系可得B正确，将两圆方程相减可得它们的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 【详解】由可知圆心为，半径为1； 由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为； 对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为，与圆的方程相减可得， 化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 故选：BD 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到面的距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 三棱柱的体积是 【答案】AB 【解析】 【分析】 采用逐一验证法，根据线面角、点面距、线线角的概念以及柱体体积公式进行计算和判断，可得结果. 【详解】正方体的棱长为1， 对于选项直线与平面所成的角为，故选项A正确. 对于选项如图 由平面，平面，所以 又,，面 所以面， 所以点到面的距离为长度的一半，即， 故选项B正确. 对于选项如图 由//，所以异面直线和所成的角为 连接，所以为等边三角形 则两条异面直线和所成的角为，故选项C错误. 对于选项如图 三棱柱的体积是， 故选项D错误. 故选：AB 【点睛】本题考查线面角、点面距、线线角的概念以及柱体体积公式，牢记概念，属基础题. 12. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可得判定A；根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可判定B；根据椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用，可判定C；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线的斜率、在轴上的截距分别为，直线经过原点且斜率为3，则、的交点坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的方程，并解方程组即可. 【详解】由题意，直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 故直线的交点为. 故答案为：. 14. 若平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】表示，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，， 故点到平面的距离为：. 故答案为：. 15. 已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线过的定点，求出圆的圆心和半径，当直线与垂直时弦长最小，求出AB长度的最小值. 【详解】由题意得直线过定点， 圆圆心为，半径为，在圆内， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时， 所以AB长度的最小值为. 故答案为：. 16. 已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为_______. 【答案】0 【解析】 【分析】分别求出两种条件下动点P满足的轨迹方程，再结合图形即可求解. 【详解】因为， 所以动点P的轨迹为椭圆，且，则， 所以， 所以满足的动点P的轨迹方程为. 设，由，得， 整理得，即， 所以满足的动点P的轨迹在以为圆心，以2为半径的圆上及圆的内部，且不过点. 如图，动点P的两种轨迹没有交点，则动点P的轨迹不存在，因此点P的轨迹长度为0. 故答案为：0. 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的三个顶点是 （1）若直线过点，且与AB平行，求直线的一般式方程; （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合平行关系可得直线的斜率，结合点斜式方程运算求解； （2）根据两点间距离公式可得三边长，根据等腰三角形求边的高，即可得面积. 【小问1详解】 由题意可知：直线AB的斜率， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由题意可知：， 可知，则边的高为， 所以的面积. 18. 已知过点的动直线与圆相交于不同的两点A，B. （1）求圆的圆心坐标和半径; （2）求线段AB的中点的轨迹的标准方程. 【答案】（1）圆心坐标，半径. （2） 【解析】 【分析】（1）将一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径； （2）设，根据垂径定理可知，结合数量积的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 因为，即， 所以圆的圆心坐标，半径. 【小问2详解】 因为，可知在圆内， 设，则， 因为，则，即， 所以轨迹的标准方程为. 19. 已知. （1）若，求的值； （2）若且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用坐标运算表示，根据向量平行建立等量关系，解方程得到结果. （2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果. 【小问1详解】 由题意得，， ∵， ∴，解得. 【小问2详解】 由题意得，， ∵且， ∴,解得. 20. 已知圆，过作直线圆交于点． （1）求证：是定值； （2）若点．求的值． 【答案】（1）为定值，证明如下： 若直线的斜率不存在，则， 则，所以； 若直线的斜率存在，设， ，消去，得， ，又， 所以. 综上，为定值. （2）-1 【解析】 【分析】（1）易知当直线的斜率不存在时；当直线的斜率存在时，设直线方程和，联立圆方程，利用韦达定理表示，结合平面向量的坐标表示化简计算即可求解； （2）根据两点表示可得，由（1）知，计算化简即可求解. 【小问1详解】 为定值，证明略； 【小问2详解】 易知直线的斜率存在，由（1）知， 所以，得， 由，得， 所以. 21. 已知椭圆的右焦点为，点在上. （1）求的离心率; （2）设恒过点的直线交于A，B两点，且为AB的中点，求及|AB|. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率； （2）设，，直线与椭圆联立，由根与系数关系可得k，从而得. 【小问1详解】 由题意可知：，即， 且点在上，则， 联立方程，解得，即， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 对于直线，即，可知直线过定点， 由（1）可知：椭圆方程为， 且，即定点在椭圆内部，直线AB与椭圆必相交， 设，， 联立，消去y得， 则，， 可得，解得， 此时二次方程为，，， 所以. 22. 如图，已知四点均在直径为的球B的球面上，，直线PO与平面AOC所成的角为，点D在线段PC上运动． （1）证明： （2）设平面BOC与平面KHD的夹角为，求的最大值． 【答案】（1）证明：由题意可知为球的直径，所以． 又因为，所以， ，所以平面， 平面，所以， ，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到，再由题意证出平面，进而由平面，所以，再由线面垂直的判定证出即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求出平面的法向量，解出，换元法令，再结合二次函数在定区间的最值求得即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 根据题意可得， 则， 所以，， 则， 设平面的法向量为， 则，取． 设，则． 设平面的法向量为， 则取， ． 令， 则， 当，即时，取得最大值，最大值为. 【点睛】关键点点睛：换元法令，再结合二次函数在定区间的最值是解决最值问题的一种重要方法，也是本题解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $