专题4-2 对数与对数函数15类题型汇总- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版必修第一册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题4-2 对数与对数函数15类题型汇总 总览 题型解读 【题型1】对数运算 2 【题型2】指数式与对数式的相互转化 4 【题型3】换底公式的应用 5 【热考题型1】用已知对数表示其他对数 5 【热考题型2】利用换底公式证明等式恒等 6 【题型4】对数函数函数的概念与图象 6 【热考题型1】对数函数的概念 7 【热考题型2】对数函数过定点问题 7 【热考题型3】对数函数的图象性质 8 【题型5】解对数方程 10 【热考题型1】常规对数方程 11 【热考题型2】对数型嵌套函数方程 11 【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题 12 【题型7】对数相关函数图像的识别 14 【题型8】对数型复合函数的值域问题 16 【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求值域 16 【热考题型2】已知对数型复合函数的值域求参数范围 17 【题型9】比较大小 18 【热考题型1】找中间数比较大小 19 【热考题型2】结合单调性比大小 19 【热考题型3】去“1”法比大小 20 【热考题型4】指对互化，换底公式比大小 20 【热考题型5】结合函数图形比大小 21 【热考题型6】结合函数单调性与奇偶性比大小 22 【题型10】对数型复合函数的单调性 23 【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求单调区间 23 【热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数范围 24 【题型11】解对数不等式 25 【热考题型1】解对数型不等式 25 【热考题型2】结合函数性质解不等式 26 【题型12】对数函数模型的实际应用 28 【题型13】反函数对称性质的运用 31 【题型14】等高线问题 32 【题型15】对数函数的综合问题 35 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】对数运算 1、对数计算公式 （1）同底对数加减运算：； （2）底数和真数是乘方数时： （3）对数恒等式： （4）倒数式： 1． 计算： (1)： (2)． 2． 计算： (1)， (2). 3． 化简的值为（ ） A． B． C． D．-1 4． ____________ 5． 已知函数是定义在R上的奇函数，且满足.若当时，，则的值为_____. 【巩固练习1】计算： (1)； (2)． 【巩固练习2】求值； 【巩固练习3】求值 （1） （2） （3） （4） 【题型2】指数式与对数式的相互转化 对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 6． 已知，则 ． 7． 已知，则 ． 8． 若，则（    ） A．2 B． C． D． 9． 设，且，则（    ） A． B．10 C．100 D．1000 【巩固练习1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设，求的值． 【巩固练习3】已知，则 ． 【巩固练习4】，则的值（ ） A.小于0 B.等于1 C.大于1且小于2 D.等于2 【题型3】换底公式的应用 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 【热考题型1】用已知对数表示其他对数 10． 已知，，则　　（用，表示） 11． 已知，，则 .（用表示） 12． 已知，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设，， （1）用含，的式子表示，形式为___________. （2）用含，的式子表示，形式为___________. 【巩固练习3】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 【热考题型2】利用换底公式证明等式恒等 13． 已知，求证：. 【巩固练习1】已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【巩固练习2】设，且，求证： 【题型4】对数函数函数的概念与图象 一、对数函数过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0； 函数过定点 二、对数函数的图象（底大图低） a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势. 【热考题型1】对数函数的概念 14． (多选)下列说法正确的有（ ） A．零和负数没有对数 B．任何指数式都可以化成对数式 C．任何对数式都可以化成指数式 D． 15． 代数式有意义时，求x的取值范围． 【巩固练习1】已知函数是对数函数，则 ． 【巩固练习2】使式子有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【热考题型2】对数函数过定点问题 16． 函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 17． （2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． 【巩固练习1】已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习3】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【热考题型3】对数函数的图象性质 18． 已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 19． 已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 20． 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．  B．  C．  D．   21． 在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【巩固练习1】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【巩固练习2】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习3】在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型5】解对数方程 【方法技巧】 （1）对于形如的形式，利用转化； 对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解. （2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可． 【热考题型1】常规对数方程 22． 方程的解为________ 23． 已知方程＝0的两根为则＝（　　） A．－ln12 B．2ln2﹒ln3 C． D．12 【巩固练习1】求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【热考题型2】对数型嵌套函数方程 24． 方程的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．3 25． （杭州学军中学2024-2025高一上期中）已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 26． 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为________. 【巩固练习1】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_______. 【巩固练习2】已知，则的值为__________． 【巩固练习3】已知，则的值为__________． 【巩固练习4】已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题 常见对数型函数奇偶模型 （1）， （2） （3）是偶函数，如， 27． （2023年新课标全国Ⅱ卷）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 28． 函数的部分图像大致为（    ） A．B． C． D． 29． 若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 30． 已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性. 31． 已知函数是奇函数，则 . 32． 已知函数是偶函数，求实数的值. 33． 已知函数为偶函数，则 . 34． （2023·重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数为偶函数，则实数的值为 . 35． 若函数是偶函数，则 【巩固练习1】设函数为偶函数，求k的值 【巩固练习2】设是实数，若函数为奇函数，则 【巩固练习3】已知函数是奇函数，则实数的值为 . 【巩固练习4】函数为奇函数，则实数 . 【巩固练习5】函数为奇函数，则实数k的取值为 . 【巩固练习6】若函数是奇函数，则 ． 【巩固练习7】已知函数，f(a)＝4,则f(－a)＝ . 【巩固练习8】若函数是R上的奇函数，则________，________. 【巩固练习9】（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【题型7】对数相关函数图像的识别 1、判断函数图像常用的办法是排除法 一:判断奇偶性(依选项而判断)；二:代入特殊点看正负；三:极限思想 2、判断奇偶性技巧 (1)运算函数的奇偶性规律： 运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (2)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 ⑤若为奇函数，则为偶函数 36． 函数的图象是（    ） A．B．C． D． 37． （多选题）函数的大致图象不可能为（    ） A． B．C．D．   【巩固练习1】函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【巩固练习2】函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【题型8】对数型复合函数的值域问题 对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求值域 38． 函数的最小值是（ ）． A．10 B．1 C．11 D． 39． 已知函数的最大值为2，则 ． 【巩固练习1】已知函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若函数的最大值为0，则实数a的值为___________. 【热考题型2】已知对数型复合函数的值域求参数范围 40． 函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41． 若函数的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42． 设且，若函数的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43． 若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44． 已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【巩固练习3】已知函数的值域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【题型9】比较大小 1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法． 2、当底数和真数的差或倍数一样时， 可以考虑拆出一个1 例1：和（倍数一致） 简析：；，由图像可知 例2：和（差一致） 简析：；，由图像可知 【热考题型1】找中间数比较大小 45． 设，，，则　　 A． B． C． D． 46． 已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】设，，，则三者大小关系为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【巩固练习3】已知, ， ，则( )。 A. x＜y＜z B. z＜x＜y C. z＜y＜x D. y＜z＜x 【热考题型2】结合单调性比大小 47． 已知, ,,则a, b, c的大小关系为( ) . A. c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 【巩固练习1】已知、、，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知是定义在上的单调函数，是上的单调减函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【热考题型3】去“1”法比大小 48． （重庆南开中学高一期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 49． 已知，，，则　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【热考题型4】指对互化，换底公式比大小 50． 若，则，，从小到大的顺序是 A． B． C． D． 51． 设，，，则　　 A． B． C． D． 52． 设，且实数满足，则（    ） A． B． C． D． 53． 设a＝logo.20.3，b＝log20. 3，则( )。 A. a＋b＜ab＜0 B. ab＜a＋b＜0 C. a＋b＜0＜ab D. ab＜0＜a＋b 【巩固练习1】若，且则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】若，则 A． B． C． D． 【巩固练习4】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】设x、y、z为正数，且＝＝则（　　） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【热考题型5】结合函数图形比大小 54． 已知正实数a, b,c,满足: 则( ) A. a＜b＜c B. c＜b＜a. C. b＜c＜a D. c＜a＜b 55． 已知实数a、b满足等式＝下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a＝b，其中不可能成立的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习1】（多选）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）已知实数a，b满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤ 其中有可能成立的关系式有（    ） A．① B．②⑤ C．②③ D．④ 【热考题型6】结合函数单调性与奇偶性比大小 56． （深圳高级中学高一校考期末）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 57． 已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若偶函数在上单调递减，，，，则满足（ ） A. B. C. D. 【巩固练习2】函数f(x)定义在实数集上,有f(－1＋x)＝f(3－x),且当x≥1时, f(x)＝lnx,则有( ) (A) (B) (C) (D) 【巩固练习3】已知奇函数f(x)在R上是增函数,g (x)＝xf(x)。若a＝g(－log25.1),b＝g(20.8),c＝ g(3),则a,b,c的大小关系为( )。 A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜a＜c D. b＜c＜a 【巩固练习4】已知奇函数 ​在​上是增函数，​， 则​的大小关系为​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【巩固练习5】已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型10】对数型复合函数的单调性 对数型复合函数的单调问题 1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”. 2、模板解决步骤 第一步：求函数的定义域． 第二步：将函数分解成内层函数和外层函数． 第三步：判断内层函数和外层函数的单调性． 第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性． 【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求单调区间 58． 函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 59． 函数的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数的单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，若，则此函数的单调递增区间是 ． 【巩固练习3】函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 【热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数范围 60． 若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___． 61． 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 62． 已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________． 63． 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为 ． 【巩固练习1】“”是“函数在上单调递增”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【巩固练习2】若函数在区间上为减函数，则的取值范围是 . 【巩固练习3】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型11】解对数不等式 解对数不等式时，首先确定对数的定义域，然后利用对数函数的单调性去掉对数，转化为代数不等式求解。注意验证解是否符合原不等式定义域，最后写出解集。 【热考题型1】解对数型不等式 64． 设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．， 65． 若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______． 【巩固练习1】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________． 【巩固练习2】不等式的解集是 . 【巩固练习3】若函数的定义域为，则函数的定义域为 【热考题型2】结合函数性质解不等式 66． 已知函数的最大值为2，则 ． 67． 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 68． 设函数为偶函数． (1)求k的值； (2)写出函数的单调性（不需证明），并解不等式． 69． 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 70． 已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【巩固练习1】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 ． 【巩固练习2】已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 . 【巩固练习3】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 . 【巩固练习5】已知函数，则的解集为 ． 【巩固练习6】函数是定义在上的偶函数，，当时，． (1)函数的解析式；(2)解不等式． 【题型12】对数函数模型的实际应用 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 71． 某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 72． 一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）.那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要（   ）年 A．23 B．22 C．21 D．20 73． 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（    ）(取: ) A． B． C． D． 74． 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20⁓79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取)（   ） A．7小时 B．6小时 C．5小时 D．4小时 75． 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划在2024年全年投入芯片制造研发资金60亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过100亿元的年份是 . （参考数据：，，） 76． 中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，） 77． “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（华南师大附中高一期末）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．） 【巩固练习2】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式：求得．其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是，则约等于　　（参考数据： A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55 【巩固练习3】2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（，，） 【巩固练习4】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．已知，则下列各数中与最接近的是　　 A． B． C． D． 【巩固练习5】当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据： A．3000 B．3100 C．3200 D．3300 【巩固练习6】当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据： A．3300 B．3200 C．3100 D．3000 【巩固练习7】为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少．那么此人在开车前至少要休息　　（参考数据：， A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时 【巩固练习8】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需要的时间为　　（参考数据： A．约1.8天 B．约2.6天 C．约3.5天 D．约6.9天 【题型13】反函数对称性质的运用 指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数 反函数是高中数学中并不太重视的一个知识点，从大的角度讲，反函数是对称这个大家族中的一员。对称是高考考察的热点及难点之一，线的对称本质上是点的对称，利用点与点之间的对称关系去理解线与线之间的对称关系，是学好这一块内容的最佳途径，参考题中的信息，先要找到互为反函数，且互为反函数关于y =x 对称。可以求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题。 78． 若实数a满足ex＋x－2＝0，实数b满足lnx＋x－2＝0，则a＋b＝______ 79． 若满足＝满足＝＝（　　） A． B．3 C． D．4 80． 设方程和方程的根分别为，设函数，则（    ） A． B． C． D． 81． 设a、b分别是方程与的根，则 ． 82． 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习1】已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【题型14】等高线问题 等值线问题 等值线本是地理学中的名词， 借用到数学中来便有其特殊的含义．对于函数f(x)， 若存在互不相等的实数a，b，c， 使f(a)＝f(b)＝f(c)＝t， 则称直线为函数的等高线． 解决等高线问题时， 要注意函数本身的整体性， 遵循分段处理的原则， 首先画出分段函数的图象， 充分利用形的直观性与数的精确性， 挖掘函数的性质， 如对称性、不变性(如定和、定积)等， 从而有效地、快速地解决问题． 这类问题由四种常见题型． 1、求等高线对应的交点横坐标之和：利用函数的对称性 2、求等高线对应的交点横坐标之积：结合对数运算 3、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域：注意极端位置、特殊位置 4、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围 83． 已知函数有三个零点，则=（ ） A. B.8 C.15 D.16 84． 已知函数若存在实数，且，则的取值范围是 ． 85． 已知函数，若存在互不相等的实数，，，满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 86． 已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 87． （多选）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 88． （多选）已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 89． （多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【巩固练习1】已知函数，存在实数满足，则的取值范围是 . 【巩固练习2】已知函数，若且，则的取值范围为 . 【巩固练习3】已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 ． 【巩固练习4】已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 【巩固练习6】（多选）已知函数，若有四个不同的解且，则有    （    ） A． B． C． D．的最小值为 【题型15】对数函数的综合问题 90． 已知函数为偶函数． (1)求k的值； (2)设函数，若，恒成立，求a的取值范围． 91． 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)设，对，使得，求实数的取值范围. 92． 已知函数（k为常数，），且是偶函数. （1）求k的值； （2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围. 【巩固练习1】设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围. 【巩固练习2】已知函数是偶函数. (1)求的值; (2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 【巩固练习3】已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 【巩固练习4】已知函数 (1)当时，解关于x的方程 (2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式； (3)在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题4-2 对数与对数函数15类题型汇总 总览 题型解读 【题型1】对数运算 2 【题型2】指数式与对数式的相互转化 5 【题型3】换底公式的应用 8 【热考题型1】用已知对数表示其他对数 8 【热考题型2】利用换底公式证明等式恒等 10 【题型4】对数函数函数的概念与图象 11 【热考题型1】对数函数的概念 11 【热考题型2】对数函数过定点问题 12 【热考题型3】对数函数的图象性质 14 【题型5】解对数方程 18 【热考题型1】常规对数方程 19 【热考题型2】对数型嵌套函数方程 19 【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题 22 【题型7】对数相关函数图像的识别 29 【题型8】对数型复合函数的值域问题 33 【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求值域 33 【热考题型2】已知对数型复合函数的值域求参数范围 34 【题型9】比较大小 38 【热考题型1】找中间数比较大小 38 【热考题型2】结合单调性比大小 40 【热考题型3】去“1”法比大小 41 【热考题型4】指对互化，换底公式比大小 42 【热考题型5】结合函数图形比大小 46 【热考题型6】结合函数单调性与奇偶性比大小 49 【题型10】对数型复合函数的单调性 52 【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求单调区间 52 【热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数范围 54 【题型11】解对数不等式 57 【热考题型1】解对数型不等式 57 【热考题型2】结合函数性质解不等式 58 【题型12】对数函数模型的实际应用 65 【题型13】反函数对称性质的运用 72 【题型14】等高线问题 77 【题型15】对数函数的综合问题 86 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】对数运算 1、对数计算公式 （1）同底对数加减运算：； （2）底数和真数是乘方数时： （3）对数恒等式： （4）倒数式： 1． 计算： (1)： (2)． 【答案】(1)4,(2)3 【详解】（1）原式； （2）原式． 2． 计算： (1)， (2). 【答案】(1)11;(2)2 【详解】（1）原式. （2）原式 . 3． 化简的值为（ ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【解析】 4． ____________ 【答案】2 【解析】原式. 5． 已知函数是定义在R上的奇函数，且满足.若当时，，则的值为_____. 【答案】 【分析】 根据题意，由奇函数的性质可得，进而由对数的运算性质可得，结合函数的解析式分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，则 又由满足，即 ， 又由当时，，则， 则；故答案为：． 【巩固练习1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)100 ; (2)12 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【巩固练习2】求值； 【解答】 【巩固练习3】求值 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；；（2）0；；（3）3；；（4）13 【解析】（1）原式= ; （2）原式==; （3）原式=; （4）原式. 【题型2】指数式与对数式的相互转化 对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 6． 已知，则 ． 【答案】 【详解】由，得，而，所以. 7． 已知，则 ． 【答案】3 【解析】依题意，， 则． 8． 若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对互化的运算可得，利用对数的换底公式和对数的运算性质的应用即可求解. 【详解】由，得， 所以. 9． 设，且，则（    ） A． B．10 C．100 D．1000 【答案】C 【详解】根据题意由可得， 所以， 即可得，即. 【巩固练习1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：，得：， 所以：.故A项正确. 故选：A. 【巩固练习2】设，求的值． 【解答】依题意有，，， 【巩固练习3】已知，则 ． 【答案】 【详解】由得：，，，， . 【巩固练习4】，则的值（ ） A.小于0 B.等于1 C.大于1且小于2 D.等于2 【解答】 ①对进行转换，由题可得， ②对进行转换， 则= 模块二 中档题型 【题型3】换底公式的应用 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 【热考题型1】用已知对数表示其他对数 10． 已知，，则　　（用，表示） 【答案】 【解答】解：因为，， 所以，，， 所以． 故答案为：． 11． 已知，，则 .（用表示） 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以 . 12． 已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 【巩固练习1】若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【巩固练习2】设，， （1）用含，的式子表示，形式为___________. （2）用含，的式子表示，形式为___________. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）； （2） 【巩固练习3】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由换底公式得：， ， 其中， ， 故 【巩固练习4】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），， ，， ； （2），， ． 【热考题型2】利用换底公式证明等式恒等 13． 已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】设()， 则，，， 故. 【巩固练习1】已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【解析】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 【巩固练习2】设，且，求证： 【答案】证明见解析. 【解析】设，，则，，. 因为，所以， 即. 所以，即. 【题型4】对数函数函数的概念与图象 一、对数函数过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0； 函数过定点 二、对数函数的图象（底大图低） a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势. 【热考题型1】对数函数的概念 14． (多选)下列说法正确的有（ ） A．零和负数没有对数 B．任何指数式都可以化成对数式 C．任何对数式都可以化成指数式 D． 【答案】AC 【解析】由对数的定义可知A,C正确； 对于B且时，才能化为对数式 对于D，均为正数时才成立 故选：AC. 15． 代数式有意义时，求x的取值范围． 【答案】 【解析】由题意可得 解得． 【巩固练习1】已知函数是对数函数，则 ． 【答案】1 【详解】因为函数是对数函数，则，解得． 【巩固练习2】使式子有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使式子有意义， 则，即，解得或， 所以x的取值范围是.故选：D 【热考题型2】对数函数过定点问题 16． 函数  (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对数函数(且)恒过定点， 所以函数  (且)的图象必过定点. 17． （2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由题意可知， 则， 当且仅当，时， 的最小值为 【巩固练习1】已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】令，即可求解恒过定点，进而求解. 【解答过程】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 【巩固练习2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为，所以函数图象过的定点为， 将其代入直线方程得，即， 又， 所以， 当且仅当即时，等号成立，故有最小值4. 【巩固练习3】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以， , ,当且仅当，即等号成立 【热考题型3】对数函数的图象性质 18． 已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 【答案】A 【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A. 19． 已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 【答案】D 【解析】的图象是由的图象向左平移个单位所得． 的图象过点，函数为增函数，因此．故选：D． 20． 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】依题意可将指数函数化为，由可知； 由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC， 由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D 21． 在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，合乎题意； 对于B选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，不合乎题意； 对于C选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意； 对于D选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意. 【巩固练习1】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解析】∵当时，图象呈上升趋势； 当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴； 时，a越小，图象向右越靠近x轴， 故，，，对应的a值依次是，，，．故选：B 【巩固练习2】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D 【巩固练习3】在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和进行分类讨论判断即可. 【详解】当时，与单调递增，A，B均不符合题意； 当时，与单调递减， 对于，当时，C不正确. 【巩固练习4】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以， 令，即， 所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以， 因此，故A错误； ，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误； 因为，即，且，所以，故C正确； 因为，所以，即，故D错误，故选：C. 【题型5】解对数方程 【方法技巧】 （1）对于形如的形式，利用转化； 对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解. （2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可． 【热考题型1】常规对数方程 22． 方程的解为________ 【答案】 【解析】方程，化为：x． 23． 已知方程＝0的两根为则＝（　　） A．－ln12 B．2ln2﹒ln3 C． D．12 【答案】C 解：由＝0， 得(lnx＋ln3)(lnx＋ln4)＝0， ∴lnx＝－ln3或lnx＝－ln4, 即＝或＝ 则＝＝． 故选：C． 【巩固练习1】求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）125；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以，解得 （3）因为，所以，所以； （4）因为，所以，所以. 【热考题型2】对数型嵌套函数方程 24． 方程的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【解析】∵，∴，∴. 25． （杭州学军中学2024-2025高一上期中）已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求得的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】设①，则， 由①令得，在上单调递增， ，题意，所以. 对于方程，即， 两边除以得， 函数，在上单调递增， ，所以有唯一零点在区间， 所以方程有唯一解. 26． 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为________. 【答案】 【解析】令，则 再令，则，则 【巩固练习1】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_______. 【答案】 ； 【解析】（1）令，则，则 （2），由单调性可知 【巩固练习2】已知，则的值为____． 【答案】 【解析】由，得，所以， 即，所以，，所以． 【巩固练习3】已知，则的值为____． 【答案】 【解析】由，得，所以， 即，所以，，所以． 【巩固练习4】已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】换底公式化简可得出关于的等式，求出的值，再利用对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】因为， 由可得， 得或，当时，；当时，. 综上所述，原方程的解为或. 【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题 常见对数型函数奇偶模型 （1）， （2） （3）是偶函数，如， 27． （2023年新课标全国Ⅱ卷）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解法1】特殊值法：因为 为偶函数，则 ，解得， 验证：当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 【解法2】函数性质法：因为是奇函数，而为偶函数，故为奇函数． 证明过程：，故，则， 这一方法要求学生能够发现函数的奇偶性，解题的起点相对高，对一些数学基础弱的学生有一点难度。 【解法3】定义法： 则有 即( ，则 28． 函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 因为， ，则函数为偶函数，排除CD选项， 又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项. 29． 若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据函数是偶函数，则，解出后验证即可. 【详解】因为为偶函数， ， 则有， 解得， 经验证时，符合条件 30． 已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性. 【答案】；奇函数 【解析】由解得或，所以的定义域为， 定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数. 31． 已知函数是奇函数，则 . 【答案】 【解析】由，得， 则，所以函数的定义域为，所以，解得 32． 已知函数是偶函数，求实数的值. 【解答】解：（1）是偶函数，， 即对任意恒成立， ， ． 33． 已知函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数定义即可求出的值. 【详解】根据题意，函数为偶函数， 则有，即， 变形可得，必有 34． （2023·重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数为偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用特殊值先求解值，再根据偶函数的定义进行验证. 【详解】函数为偶函数，则， 即，解得. 当时， ，为偶函数. 35． 若函数是偶函数，则 【答案】2 【详解】因为函数是偶函数， 所以由偶函数的性质有， 即，解得， 此时， 又因为， 所以的定义域为关于原点对称， 且， 即函数是偶函数满足题意. 【巩固练习1】设函数为偶函数，求k的值 【答案】1 【分析】根据得到方程，求出； 【详解】∵为定义在R上的偶函数， ∴，即， 故，即，解得； 【巩固练习2】设是实数，若函数为奇函数，则 【答案】 【分析】利用奇函数的性质求得，再分别进行检验即可得解. 【详解】由题意，为奇函数， 所以对定义域内任意恒成立，即， 所以，即， 所以，即， 所以对定义域内任意恒成立，则，故或； 当时，，其定义域为，不关于原点对称， 故不为奇函数，不满足题意； 当时，， 由，解得函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数，符合题意； 综上：. 【巩固练习3】已知函数是奇函数，则实数的值为 . 【答案】1或 【分析】由题意可得，求出，检验即可. 【详解】由题意知，定义域为， 函数是奇函数，则， 即，化解得，解得或， 经检验，或都符合要求. 故答案为：1或. 【巩固练习4】函数为奇函数，则实数 . 【答案】 【解析】由为奇函数，根据定义有，结合是单调函数即可求. 【详解】函数为奇函数知：，而， ∴，即， 又是单调函数， ∴，即有，解得. 【巩固练习5】函数为奇函数，则实数k的取值为 . 【答案】 【解析】因为为定义域上的奇函数，所以， 即，整理化简有：恒成立， 所以，得，又因为，所以， 且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意. 【巩固练习6】若函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出，求出函数的定义域，再由奇函数得，即可求出，即可得解. 【详解】由，可得，即， 且，即，- 又因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以，所以， 故，定义域为， 因为函数是奇函数， 所以，所以， 经检验，符合题意，所以，，所以. 【巩固练习7】已知函数，f(a)＝4,则f(－a)＝ . 解：函数g(x)＝ 满足g(－x)＝＝＝＝－g(x), 所以g(x)是奇函数． 函数f(x)＝＝4， 可得f(a)＝4＝可得＝3， 则f(－a)＝＝－3＋1＝－2． 【巩固练习8】若函数是R上的奇函数，则________，________. 【答案】1；0 【解析】因为函数是奇函数， 故，即，即.又， 故， 即，恒成立， 故，所以或，当时无意义. 当时满足奇函数.故 综上，， 【巩固练习9】（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 【题型7】对数相关函数图像的识别 1、判断函数图像常用的办法是排除法 一:判断奇偶性(依选项而判断)；二:代入特殊点看正负；三:极限思想 2、判断奇偶性技巧 (1)运算函数的奇偶性规律： 运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (2)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 ⑤若为奇函数，则为偶函数 36． 函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定. 【详解】解：， 因为， 所以是偶函数，故排除AD， 当时，令，得或， 当或时，，当时， 37． （多选题）函数的大致图象不可能为（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BCD 【解析】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 当时，为减函数，且过定点， 故函数的大致图象不可能为BCD选项. 【巩固练习1】函数的大致图象是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【详解】方法一：因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选:D. 方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除； 又，所以排除A. 【巩固练习2】函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解. 【详解】对于，必有，故CD错误； 又，故B错误； 将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 进而将得到的函数图象向右平移1个单位， 可得函数的图象，故A正确. 【题型8】对数型复合函数的值域问题 对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求值域 38． 函数的最小值是（ ）． A．10 B．1 C．11 D． 【答案】B 【解析】设，则， 因为， 所以，所以的最小值为1，故选：B 39． 已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【解析】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 【巩固练习1】已知函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，故选：D 【巩固练习2】若函数的最大值为0，则实数a的值为___________. 【答案】 【解析】因为的最大值为0，所以应有最小值1， 因此应有解得. 【热考题型2】已知对数型复合函数的值域求参数范围 40． 函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】由函数的值域为R，得的取值包含所有正实数， 因此，解得或， 所以实数m的取值范围是. 41． 若函数的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数值域，则内层函数值域包含，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】函数的值域是， 则的值域包含，故即可， 所以. 42． 设且，若函数的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，检验满足.当时，分类讨论的范围，依据对数函数的单调性，求得的范围，综合可得结论. 【详解】由于函数且的值域是， 故当时，满足. 若在它的定义域上单调递增， 当时，由，. 若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是. 综上可得，. 43． 若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值； 又因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为 44． 已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以，解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 【巩固练习1】已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为的值域为，所以， 又，，所以， 即，解得：且， 所以实数的取值范围是. 【巩固练习2】（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解； （2）值域为，说明真数能取遍，列式求解. 【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得 所以的取值范围是． （2）值域为即真数能取遍 当时，成立， 当，解得， 所以的取值范围是 【巩固练习3】已知函数的值域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域求解 【详解】由值域为，得， 故，即的定义域为，令得，故的定义域为 【巩固练习4】若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 【题型9】比较大小 1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法． 2、当底数和真数的差或倍数一样时， 可以考虑拆出一个1 例1：和（倍数一致） 简析：；，由图像可知 例2：和（差一致） 简析：；，由图像可知 【热考题型1】找中间数比较大小 45． 设，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， ． 故选：． 46． 已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， 则，，的大小关系为 【巩固练习1】设，，，则三者大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故.故选：C 【巩固练习2】已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， 则，，的大小关系为 【巩固练习3】已知, ， ，则( )。 A. x＜y＜z B. z＜x＜y C. z＜y＜x D. y＜z＜x 【答案】D 【分析】利用x＝lnπ＞1,0＜y＝＝即可得到答案． 解：∵x＝lnπ＞lne＝1，＝即 1＝＝＝即∴y＜z＜x．故选：D． 【热考题型2】结合单调性比大小 47． 已知, ,,则a, b, c的大小关系为( ) . A. c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 【答案】A. 变形: 故，选A 【巩固练习1】已知、、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】，得；由，得. 从而可得. 【巩固练习2】设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得， 所以，故选: D. 【巩固练习3】已知是定义在上的单调函数，是上的单调减函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是定义在上的单调函数可推知，表示出，再作商法，运用换底公式变形，比较出的大小即可求解. 【详解】由已知得，则，所以，，， 所以，则，，则， 所以．又因为是上的单调减函数，所以 【热考题型3】去“1”法比大小 48． （重庆南开中学高一期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，对利用换底公式变形后作差，结合基本不等式，得到，从而得到答案. 【详解】因为单调递减，所以， 又与均单调递增，故，， 法一：去“1”法比大小 ，，结合图形可以得出 法二：利用换底公式比大小 其中，， ，其中，故， 其中， 故，所以，即，故. 49． 已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由对数运算公式得，，，，易知，． 故选：． 【巩固练习1】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系. 【详解】， 其中，，所以， 故，所以. 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小. 【详解】，即. ,即. 综上知道. 【热考题型4】指对互化，换底公式比大小 50． 若，则，，从小到大的顺序是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，且，，. 由于，，故. 而，，所以，. 51． 设，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：， ，， ．． 52． 设，且实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由整理可得,同理,,再根据可得均为正数,进而利用作商法比较大小即可. 【详解】由,可得,则,即； 同理, 因为,所以均为正数,则,同理可得,， 所以 53． 设a＝logo.20.3，b＝log20. 3，则( )。 A. a＋b＜ab＜0 B. ab＜a＋b＜0 C. a＋b＜0＜ab D. ab＜0＜a＋b 【答案】B 解：∵a＝＝＝＝ ∴a＋b＝＝＝ ab＝＝ ∵∴ab＜a＋b＜0．故选：B． 【巩固练习1】若，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据即可得出，，，根据得出，从而根据幂函数的单调性即可判断，和的大小关系． 【详解】， ，，，，，， ， ，单调递减， ， ． 【巩固练习2】若，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得和，根据（）为增函数，即可比较三者大小. 【详解】 根据指数与对数的关系和（）为增函数： ，由，即 故 可得，即 综上： 【巩固练习3】若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，把用表示，并得到，构造幂函数，利用幂函数的单调性，得到结果. 【详解】 设，则， 则 则 设函数， 在单调递减 即，因此 【巩固练习4】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系． 【详解】分别对，，两边取对数，得，，． ． 由基本不等式，得: ， 所以，即，所以． 又，所以 【巩固练习5】设x、y、z为正数，且＝＝则（　　） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【答案】D 【分析】x、y、z为正数，令＝＝＝k＞1．lgk＞0．可得x＝＝＝．可得3y＝＝＝．根据＝＝＝＝．即可得出大小关系． 另解：x、y、z为正数，令＝＝＝k＞1．lgk＞0．可得x＝＝＝．＝＝可得2x＞3y,同理可得5z＞2x． 解答：x、y、z为正数， 令＝＝＝k＞1．lgk＞0． 则x＝＝＝． ∴3y＝＝＝． ∵＝＝＝＝． ∴． ∴3y＜2x＜5z． 另解：x、y、z为正数， 令＝＝＝k＞1．lgk＞0． 则x＝＝＝． ∴＝＝可得2x＞3y, ＝＝．可得5z＞2x． 综上可得：5z＞2x＞3y． 解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D． 【巩固练习4】 【热考题型5】结合函数图形比大小 54． 已知正实数a, b,c,满足: 则( ) A. a＜b＜c B. c＜b＜a. C. b＜c＜a D. c＜a＜b 【解答】 【答案】B. 图像法——的交点横坐标即为a，的交点横坐标即为b，交点横坐标即为c，比较交点位置即可得到大小关系 55． 已知实数a、b满足等式＝下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a＝b，其中不可能成立的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】在同一坐标系中做出y＝和y＝两个函数的图象， 结合图象求解即可． 解：实数a，b满足等式＝ 即y＝在x＝a处的函数值和y＝在x＝b处的函数值相等， 由下图可知：①②⑤均有可能成立 故选：B． 【巩固练习1】（多选）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图像，结合图像即可判断. 【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图像，如图所示， 由图像知，当时，，故选项A正确； 做出直线，当时，若，则，故选项B正确； 当时，若，则，故选项C正确； 当时，易得，则，故选项D错误. 故选：ABC. 【巩固练习2】（多选）已知实数a，b满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤ 其中有可能成立的关系式有（    ） A．① B．②⑤ C．②③ D．④ 【答案】AB 【分析】画出指数函数，的图象，利用单调生即可得出答案. 【详解】如图所示，数，的图象， 由图象可知： ( 1 ) 当时，若，则； ( 2 ) 当时，若，则； ( 3 ) 当 时，若 ，则 . 综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ . 故选：AB 【热考题型6】结合函数单调性与奇偶性比大小 56． （深圳高级中学高一校考期末）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先判断函数的性质，再比较的大小关系，从而利用单调性比较，，的大小关系. 【详解】是偶函数，并且当时，是增函数， ， 因为，，即 又因为在是增函数，所以 57． 已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数函数、指数函数等知识来确定的大小关系. 【详解】由函数为R上的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 【巩固练习1】（深圳科高月考）若偶函数在上单调递减，，，，则满足（ ） A. B. C. D. 【解答】 【答案】C. 可以参考开口向上，关于y轴对称的抛物线，显然f（x）在上单调递增 变形，找中间数: 【巩固练习2】函数f(x)定义在实数集上,有f(－1＋x)＝f(3－x),且当x≥1时, f(x)＝lnx,则有( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】C 解：根据题意，函数f(x)定义在实数集上，有f(－1＋x)＝f(3－x),则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则＝＝ 又由当x≥1时,f(x)＝lnx,f(x)在区间[1，＋∞）上为增函数，则有故有 【巩固练习3】已知奇函数f(x)在R上是增函数,g (x)＝xf(x)。若a＝g(－log25.1),b＝g(20.8),c＝ g(3),则a,b,c的大小关系为( )。 A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜a＜c D. b＜c＜a 【解答】 解：奇函数f(x)在R上是增函数，当x＞0,f(x)＞f(0)＝0， g(x)＝xf(x)偶函数，且g(x)在(0,＋∞)单调递增， ∴a＝＝则 由g(x)在(0,＋∞)单调递增，则∴b＜a＜c 【巩固练习4】已知奇函数 ​在​上是增函数，​， 则​的大小关系为​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】A 【分析】根据已知判断的奇偶性和单调性，进而判断函数值的大小. 【详解】奇函数​在R​上是增函数，则当时，，且，​ ，则， ​在单调递增， 又​，则为偶函数. ，则， 则，所以. 故选：A 【巩固练习5】已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，继而判断的取值范围和大小关系，结合函数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案. 【详解】由于是奇函数且在上为增函数，故， 当时，，且为偶函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又， 故 【题型10】对数型复合函数的单调性 对数型复合函数的单调问题 1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”. 2、模板解决步骤 第一步：求函数的定义域． 第二步：将函数分解成内层函数和外层函数． 第三步：判断内层函数和外层函数的单调性． 第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性． 【热考题型1】已知对数型复合函数的解析式求单调区间 58． 函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知的定义域为， 令，则，函数单调递增， 当时，关于单调递减，关于单调递减， 当时，关于单调递增，关于单调递增， 故的递增区间为．故选：D． 59． 函数的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 二次函数的对称轴为：， 所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为， 而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知： 函数的单调增区间为，故选：C 【巩固练习1】函数的单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得， 设，即求函数在中的减区间，即． 【巩固练习2】已知函数，若，则此函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】由题意，令，解得或，故函数的定义域为， ，得， 令，则， 根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间， 由二次函数的性质，的增区间为， 所以函数的单调递增区间为. 【巩固练习3】函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得或，则的定义域为， 令在上单调递减， 又在上单调递减，所以在上单调递增， 在上单调递增，所以在上单调递减 【热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数范围 60． 若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___． 【答案】 【解析】由函数在区间上是单调增函数， 只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立， 所以满足解得． 61． 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解. 【详解】， 令，为增函数， 所以，所以在单调递减， 所以，即，解得 62． 已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】（－4，4] 【解析】二次函数的对称轴为x＝， 由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0， 即解得－4<a≤4． 故答案为：（－4，4] 63． 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再结合对数函数的性质计算可得. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以在上单调递减，又，则， 所以时，时，时， 所以不等式等价于或， 即或， 即或， 解得或，即不等式的解集为. 【巩固练习1】“”是“函数在上单调递增”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增， 所以时恒成立且在上单调递增， 所以，则是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 【巩固练习2】若函数在区间上为减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由复合函数单调性可得， 函数在区间上为严格减函数，且， 则，解之得. 【巩固练习3】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在单调递减上单调递减， 根据复合函数的单调性可得在区间上单调递增， 当时，在单调递增，需满足， 当满足题意， 当时，在单调递增，则在区间上单调递增 又需满足真数，则最小值，即， 综上． 故选：C． 【巩固练习4】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在区间上单调递增，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递增， 所以，则或，解得，所以的取值范围为. 【题型11】解对数不等式 解对数不等式时，首先确定对数的定义域，然后利用对数函数的单调性去掉对数，转化为代数不等式求解。注意验证解是否符合原不等式定义域，最后写出解集。 【热考题型1】解对数型不等式 64． 设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．， 【答案】C 【解析】由，得：，因为，所以，取交集得：． 所以的取值范围是，故选：C. 65． 若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】，，解得或. 【巩固练习1】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】因为，所以，而，则，于是 . 【巩固练习2】不等式的解集是 . 【答案】 【详解】易知， 由可得； 又函数在为单调递减， 所以可得，解得. 【巩固练习3】若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可. 【详解】当时，所以， 所以，即，则， 即，解得， 所以函数的定义域为. 【热考题型2】结合函数性质解不等式 66． 已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 67． 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一 : 由得， 则，解得或. 方法二 :根据题意，函数，其定义域为， 有，即函数为偶函数， 设，则， 在区间上，为增函数且，在区间上为增函数， 则在上为增函数， ， 解得或，故选：D． 68． 设函数为偶函数． (1)求k的值； (2)写出函数的单调性（不需证明），并解不等式． 【答案】(1)1 (2)单调性见解析，不等式解集为 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式. 【详解】（1）∵为定义在R上的偶函数， ∴，即， 故，即， 解得； （2）在上单调递减，在上单调递增， 理由如下：， 设 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，， 故， 所以在单调递增， 由复合函数同增异减可得，在单调递增， 又在R上为偶函数，故在上单调递减， ， ∴， 解得或， ∴不等式解集为. 69． 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，是偶函数，且在区间上单调递减， 由得， 所以，所以或， 所以或， 所以的取值范围是. 70． 已知函数，的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果. 【详解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故. 【巩固练习1】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，转化为的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，令， 令，可得， 要使得函数的值域为， 则的值域能取遍一切正实数， 当时，则满足，解得； 当时，可得，符合题意； 当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 【巩固练习2】已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据奇偶函数的定义证明为偶函数，易知当时函数单调递增，利用定义法证明函数在上单调递增，则函数在上单调递增，利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解. 【详解】，定义域关于原点对称， 则，所以函数为偶函数； 当时，函数单调递增， 设，则，， 所以， 又，所以， 则函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 由，得，解得， 所以实数a的取值范围为. 【巩固练习3】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【详解】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 【巩固练习4】已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】或. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减， 所以在上递增， 因为是定义在上的偶函数， 所以由，得， 所以， 所以或， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 【巩固练习5】已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由解析式得，即关于对称，再应用定义求证上单调性，结合对称性及不等式有，即可求解集. 【详解】由，则， 所以关于对称， 当，令，则 ，而， 所以，即在上递增， 根据对称性知：在上递减， 由，则，即， 所以，即，可得， 故不等式解集为. 【巩固练习6】函数是定义在上的偶函数，，当时，． (1)函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，，则， 所以当时，， 所以的解析式为. （2）因为函数是定义在R上的偶函数，所以，因为． 所以可将等价于， 因为时，． 此函数在上是单调递增， 所以，或， 即或，解得或， 综上所述，不等式的解集为或. 【题型12】对数函数模型的实际应用 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 71． 某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 【答案】D 【分析】由图象首先得，进一步由指对互换、换底公式以及对数运算性质即可得解. 【详解】由题意时，，时，，解得， 令， 解得， 对比选项可知污染物减少至少需要的时间约为44小时. 72． 一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）.那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要（   ）年 A．23 B．22 C．21 D．20 【答案】A 【分析】设经过年后的一万只兔子有只,依题可得，令，求解即可. 【详解】设经过年后的一万只兔子有只， 根据倍增期为21个月，可得， 令,则，两边取以10为底的对数得， ，则，故大约需要23年， 故选：A. 73． 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（    ）(取: ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可. 【详解】的物体经过后的温度为， 的物体经过后的温度为， 由题可得，， 即，解得，所以要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过 74． 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20⁓79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取)（   ） A．7小时 B．6小时 C．5小时 D．4小时 【答案】B 【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】设需要休息小时，依题意，， ，两边取以为底的对数得， 所以， 所以至少需要小时. 75． 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”，实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划在2024年全年投入芯片制造研发资金60亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过100亿元的年份是 . （参考数据：，，） 【答案】2030 【分析】根据题意列不等式，即可根据对数的性质求解. 【详解】依题意，设还需要年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元， 则，故， 所以，又， 所以还需要6年，即2030年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元， 故答案为：2030. 76． 中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】13.3 【分析】根据题意列出等式，可得，根据条件列出方程，解出即可. 【详解】由题意得，， 即，则. 设大约需要再放置能达到最佳饮用口感， 则，即， 则，所以， 解得. 77． “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为，在根据题意列出不等式解出即可． 【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为； 过滤第两次污染物的含量减少，则为； 过滤第三次污染物的含量减少，则为； 过滤第n次污染物的含量减少，则为； 要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即， 两边取以10为底的对数可得，即， 所以，因为，所以， 所以，又，所以，故排放前需要过滤的次数至少为次． 【巩固练习1】（华南师大附中高一期末）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．） 【答案】 【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果. 【详解】假设需要块这样的玻璃，则，， ， 至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的. 【巩固练习2】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式：求得．其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是，则约等于　　（参考数据： A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55 【解答】解：由题意可得，， ， ，即， ． 故选：． 【巩固练习3】2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（，，） 【答案】2037 【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可. 【详解】 由题意，列方程得： .∴， ∴ 【巩固练习4】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．已知，则下列各数中与最接近的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：围棋状态空间复杂度的上限约为， 可观测宇宙中普通物质的原子总数约为． ，， 根据对数性质有， ， ， 【巩固练习5】当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据： A．3000 B．3100 C．3200 D．3300 【解答】解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的， 依题意，有，， 设距今约年，碳14衰减为原来的， 结合参考数据：，可得． 故选：． 【巩固练习6】当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据： A．3300 B．3200 C．3100 D．3000 【解答】解：设该遗址距今约年，衰减率为， 则有，则， 故， 由题意可得，， 则， 故， 所以， 则该遗址距今约3100年． 故选：． 【巩固练习7】为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少．那么此人在开车前至少要休息　　（参考数据：， A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时 【解答】解：设经过小时，血液中的酒精含量为， 则， 由，得， 则， 因为，所以， 所以开车前至少要休息4.2小时， 故选：． 【巩固练习8】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需要的时间为　　（参考数据： A．约1.8天 B．约2.6天 C．约3.5天 D．约6.9天 【解答】解：把，代入， 可得，解得， 所以， 设感染病例数增加1倍需要的时间为， 因为感染病例增加1倍，感染病例数变为原来的2倍， 所以，则， 两边取对数可得，解得， 所以在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需要的时间约为1.8天，则判断错误的有．故选：A． 【题型13】反函数对称性质的运用 指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数 反函数是高中数学中并不太重视的一个知识点，从大的角度讲，反函数是对称这个大家族中的一员。对称是高考考察的热点及难点之一，线的对称本质上是点的对称，利用点与点之间的对称关系去理解线与线之间的对称关系，是学好这一块内容的最佳途径，参考题中的信息，先要找到互为反函数，且互为反函数关于y =x 对称。可以求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题。 78． 若实数a满足ex＋x－2＝0，实数b满足lnx＋x－2＝0，则a＋b＝______ [解析]同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y＝x对称,可知x＝a是函数y＝ex和y＝－x＋2交点的橫坐标，同理x＝b是函数y＝lnx与y＝－x＋2交点的横坐标，且y＝－x＋2与y＝x垂直，作出图像 ，所以x＝a,x＝b关于x＝1对称，所以a＋b＝2 79． 若满足＝满足＝＝（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】C 解法1：反函数对称性 将＝5， 分别变为＝－x＋ 令＝＝＝ 因为与关于 y＝x 对称， 所以关于 y＝x－1 对称， 从而它们与的交点也关于 y＝x－1 对称， 易求出与 y＝x－1 的交点为 所以 解法2：同构式 第一步对式子变形 ： ① ② 第二步：继续变形得到同结构t＋2t 代入②式可得 第三步：构造方程、函数模型 令t＋2t＝，可知和是方程的2个根； 令h（x）＝t＋2t，显然h（x）为增函数，所以＝ 把②式代入可得＝，得x1＋x2＝ 故选：C． 80． 设方程和方程的根分别为，设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，由得， 所以令，这3个函数图象情况如下图所示： 设交于点，交于点， 由于的图象关于直线对称， 而的交点为，所以， 注意到函数的对称轴为直线，即， 且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程， 从而. 81． 设a、b分别是方程与的根，则 ． 【答案】 【分析】根据函数与互为反函数，图象关于对称，联立与，即可根据对称求解. 【详解】由可得，由可得， 所以是与的交点横坐标， 是与的交点横坐标， 由于函数与互为反函数，图象关于对称， 联立与可得， 故， 故答案为： 82． 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 【巩固练习1】已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数和的图象以及直线的图象，如图， 由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，， 结合图象可知，A错误； 由题意知，也即， 由于函数和互为反函数， 二者图象关于直线对称，而为和的图象与直线的交点， 故关于对称，故，B错误； 由，故，C错误； 因为，故， 结合，即得，D正确 【巩固练习2】已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，， 得，，， 则为函数与交点横坐标， 为函数与交点横坐标， 为函数与交点横坐标， 在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示，    由图可知， 【巩固练习3】已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【解析】由已知条件可知，，， 令，，， 如图所示， 曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称， 设曲线分别与曲线，交于点， ， 则点，关于直线对称， 而点关于直线对称的点为，即为点， 则，即. 【题型14】等高线问题 等值线问题 等值线本是地理学中的名词， 借用到数学中来便有其特殊的含义．对于函数f(x)， 若存在互不相等的实数a，b，c， 使f(a)＝f(b)＝f(c)＝t， 则称直线为函数的等高线． 解决等高线问题时， 要注意函数本身的整体性， 遵循分段处理的原则， 首先画出分段函数的图象， 充分利用形的直观性与数的精确性， 挖掘函数的性质， 如对称性、不变性(如定和、定积)等， 从而有效地、快速地解决问题． 这类问题由四种常见题型． 1、求等高线对应的交点横坐标之和：利用函数的对称性 2、求等高线对应的交点横坐标之积：结合对数运算 3、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域：注意极端位置、特殊位置 4、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围 83． 已知函数有三个零点，则=（ ） A. B.8 C.15 D.16 【答案】B 【解析】，，由题可知与有3个交点，如图 则仅有一个根，解得或（舍）， 设，则，，故选B 84． 已知函数若存在实数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】画出的图象如图所示， 一方面，由及，，可得； 另一方面，及，，所以，有，且，故．故答案为． 85． 已知函数，若存在互不相等的实数，，，满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】画出函数图象，数形结合，得到，，结合基本不等式求出最小值. 【详解】画出的图象如下： 由对称性可得到，且，即， 故，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 86． 已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图象可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 87． （多选）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证. 【详解】画出函数图象，如图，    因为，且，. 所以.且即. 对A，因为，所以，故A正确； 对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；     对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，, 因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确； 对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则. 因为函数在上单调递减，所以，故D正确. 故选：ABD 88． （多选）已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 89． （多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可. 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 【巩固练习1】已知函数，存在实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴， ，∵，∴ ∴，即，∴∴的取值范围是， 【巩固练习2】已知函数，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】画出的图象如图： ∵，且， ∴且，， ∴，即，∴，， 由图象得在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 【巩固练习3】已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为直线与函数图象的三个交点，结合函数图象分析求解. 【详解】设， 由图象可知，当时， 直线与函数图象的三个交点 的横坐标分别为， 二次函数的图象关于直线对称，则， 由于，即，得， 解得． 因此的取值范围是． 【巩固练习4】已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若，将问题转化为曲线与直线的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得，，，结合对勾函数的性质求范围即可． 【详解】令，则或，令，则或， 由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为． 作出的草图如下， 令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标， 由图知：，且， 则， 由对勾函数可知在上递减，故， 故. 【巩固练习5】已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 【答案】 【分析】画出的大致图象，根据对称性以及对数运算等知识求得正确答案. 【详解】画出的大致图象如下图所示， 当时，，对称轴为， 所以. 当时，， 由，得， ， . 故答案为：    【巩固练习6】（多选）已知函数，若有四个不同的解且，则有    （    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC选项，再通过判断B选项， 最后结合单调性判断D选项. 【详解】由题意，当时，：当0<时，：当时，， 作出函数f(x)的图象，如图所示， 易知f(x)与直线有四个交点，分别为（-2，1），（0，1），（，1），（4，1），因为有 四个不同的解且，所以故C错误； 且A正确；，又， 所以，即，B正确； 所以，且， 构造函数，且， 可知g(x)在（1，4]上单调递减，且， 所以的最小值为—．D正确． 【题型15】对数函数的综合问题 90． 已知函数为偶函数． (1)求k的值； (2)设函数，若，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数为上的偶函数可得，即可得解； （2）由（1）得，令，则，则要使，恒成立，只需要函数的值域是不等式的解集的子集即可，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数为偶函数， 所以， 即， 所以，解得， 经检验，符合题意， 所以； （2）由（1）得， 则， 令，则， 令，解得， 要使，恒成立， 只需要函数的值域是的子集即可， 当时，因为，所以， 则，解得， 当时，则， 则，解得， 综上所述，a的取值范围为． 91． 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)设，对，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）方程组法去求解与的解析式即可解决； （2）对，使得，即为函数的值域为为函数的值域的子集，讨论解之. 【详解】（1）由题意   ①， 所以  ， 函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数， 所以 所以   ②， 由①②解得，； （2）， 由，则 ， 所以的值域为， ，      ， 设，根据知为增函数，若，则， 则， 若，则在上单调递增， 则，即， 因为对，使得， 则，所以，解得， 所以； 若， 则，即， 则，解得，所以， 综上所述，若对，使得，则. 92． 已知函数（k为常数，），且是偶函数. （1）求k的值； （2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由偶函数的性质即可求出； （2）令，题目等价于只有一解，讨论，两种情况讨论求解. 【详解】（1）因为，是偶函数， 因为， 即， ∴； （2）若方程只有一个解， 即只有一个解， 整理得：， 令得， 令， 因为，所以与同号， ①当时，，则， 方程在区间上只有一个解， 因为图像是开口向上的， 且，，， 所以当时方程在区间上只有一个解； ②当时，，则， 方程在区间上只有一个解， 因为方程对应的二次函数图像是开口向下的， 且，， 则解得， 所以当时，方程在区间上只有一个解； 综上：当或时，方程只有一个实根. 【巩固练习1】设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，不等式即，所以， 解得或，所以不等式的解集为. （2）由复合函数的单调性知在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立，所以， 而， 令，因为，所以，所以， 由对勾函数单调性知在上单调递增， 所以，所以. 【巩固练习2】已知函数是偶函数. (1)求的值; (2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是偶函数， 所以， 即， ， ， ， ， ， ， ， 所以，即. （2）， 因为对任意的 ，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【巩固练习3】已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可； （2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可. 【详解】（1）函数是偶函数， 故， 即，，故. （2），故， 若函数与的图象有且只有一个交点， 即在上只有一个解，故， 即，即， 设 故只有一个解，即， 当时，，则，不符合，故舍去； 当时，函数的对称轴为， 故在单调递减，且，故方程在无解； 当时，函数的对称轴为，且，， 故方程 在上有唯一解，符合题意， 综上所述，的取值范围是. 【巩固练习4】已知函数 (1)当时，解关于x的方程 (2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式； (3)在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，， 即，整理得， 即，得或（舍去） ； （2）因为函数是定义在R上的奇函数， 则且， ，解得， 即， 证明：， 故是定义在R上的奇函数， （3）在(2)的前提下， 整理得， 代入得， 即恒成立，， 又， 当且仅当，即时等号成立， 即实数的最大值为. 31 / 93 学科网（北京）股份有限公司 $$