精品解析：山东省青岛市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5 C. 5，11，16 D. 8，14，17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，能组成直角三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选B． 2. 如图，在数轴上对应的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，数轴上实数的特点，掌握无理数的估算方法，数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴在数轴上对应的点可能是，   故选：C ． 3. 如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查常量与变量，在一个变化的过程中，固定不变的量为常量，变化的量为变量，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，单价是固定不变的，金额随着油量的变化而变化； 故金额和油量为变量； 故选：D． 4. 若式子的运算结果是无理数，那么“□”中的运算符号不可以是（ ） A. + B. - C. × D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的混合运算，熟记无理数的定义，二次根式的运算法则是解题的关键．将符号代入式子分别计算，再根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是有理数，符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：B 5. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的求解，求一个数的立方根，根据算术平方根，立方根的定义进行求解判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 6. 如图是某雷达探测器在一次探测中发现的五个目标，若图中目标B的位置记为，则点D的位置记为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】解：∵中目标B的位置记为， ∴点D的位置记为； 故选A． 7. 已知一次函数（a，b是常数且）中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由表格数据可知：当时，； ∴方程的解是， 故选：B． 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．根据一次函数的性质可依次作判断． 【详解】解：、B．假设的图象过一、二、四象限，则，，的图象过一、三、四象限，故A选项符合题意，B选项不符合题意； C、D．假设的图象过一、三、四象限，则，，的图象过一、二、四象限，故C、D不符合题意． 故选：． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 的相反数是________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查实数和相反数的定义，理解定义是解题关键． 直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可得出答案． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了y轴上的点的特点，掌握y轴上的点的特点是解题的关键．根据y轴上的点的特点，横坐标为零，进行求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴ 故答案为：． 11. 若一次函数的图象经过点，，则______．（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，根据一次函数的图象经过点，，可得． 【详解】解：一次函数的图象经过点，，得， 解得， 所以． 故答案为：． 12. 若正数a满足，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：4． 13. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数的图象,正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为， 将代入得 解得， 故答案为：． 14. 如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； 如图，把上面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； 如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 15. 在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是______． 【答案】31 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 16. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将图①中的两个赵爽弦图中的八个直角三角形和两个正方形按图②方式摆放，围成正方形．记直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个结论：①，；②若，则；③；④，其中正确的结论有______．（只填写序号即可） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据，，即可判断说法①；根据，即可判断说法②；根据， ，即可判断说法③；根据，，即可判断说法④． 【详解】∵，， ∴，，故①错误． ∵， ∴． ∴． ∴，故②正确． ∵，， ∴，故③正确． ∵，， ∴，． ∴，故④正确． 综上所述，说法正确的为②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的减法即可； （2）结合平方差公式，根据二次根式混合运算的法则计算即可； （3）先计算二次根式的除法，再计算二次根式的减法即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减法即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 【小问4详解】 原式 18. 数学之美无处不在，利用某些有关联的直角三角形，我们可以画出如图所示的毕达哥拉斯螺旋线． 观察图形和式子，解答下列问题： ， ， ， ， …… （1）____，____（用含n的代数式表示）； （2）若在这组三角形中有一个三角形的面积是，则它是第_____个三角形； （3）求：的值． 【答案】（1）； （2）20 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、二次根式的性质、勾股定理、一元一次方程的应用等知识点，解题关键是根据题意找出规律． （1）根据题意勾股定理找出规律，然后根据规律进行解答即可； （2）根据（1）的结论列出方程，解方程求解即可； （3）由（1）可得，再此规律列出算式，最后根据有理数的加法法则进行简便计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， …… ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴它是第20个三角形． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 19. 如图，每个小正方形网格的边长均为．已知，两村庄的坐标分别是，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______； （3）一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和． 【答案】（1） 所作图形如图所示： （2） （3） 连接，线段与轴的交点即为点． 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和轴对称的性质： （1）根据平面直角坐标系的定义即可求得答案． （2）根据轴对称的性质可知，点的坐标为． （3）连接，线段与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：根据轴对称的性质可知，点的坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：． ∵点，点关于轴对称， ∴． ∴， 即此时汽车到，两村庄的距离和最短，． ∴此时汽车到，两村庄的距离和为． 20. 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度； （2）如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】（1）秋千的长度是 （2）此时踏板离地的垂直高度为 【解析】 【分析】（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； 【小问2详解】 解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得：或（舍去）， 即此时踏板离地的垂直高度为． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 21. 如图，直线是一次函数的图象，回答下面问题： （1）当时，______； （2）当x______时，； （3）直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为______； （4）写出m的一个值，使x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达． 【答案】（1） （2） （3）4 （4）可以为（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图形与性质，待定系数法求一次函数解析式，由函数图像求不等式，直线与坐标轴围成图形面积；熟练掌握相关性质是解题关键． （1）由图可知，函数经过两点，用待定系数法求函数解析式，再代入求值即可； （2）解不等式即可得出结果； （3）求出函数图像与坐标轴的交点，即可求出三角形面积； （4）当直线过时，求出m值，由题意可得出，从而得出结果． 【小问1详解】 解：由图可知，函数经过两点， 将点代入解析式， ，解得：， 直线是一次函数， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ， 当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：令时，， ， 直线与x轴的交点为， 直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为； 故答案为：4； 【小问4详解】 解：当直线过时，， ， 当x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达， 直线比倾斜程度变大， ， 可以为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． （1）请直接写出A点的坐标； （2）当时，求t的值； （3）若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 23. 【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）；（2）5 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． 激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 24. 某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； （2）点B的实际意义是什么？ （3）求y与x之间的关系式； （4）目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 【答案】（1） （2）当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； （3） （4）①， ②乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）计算当时，，即可得到前期投入的资金数量； （2）根据B的坐标含义可得B表示的实际意义； （3）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可， （4）①先分别求解两种方案下的函数解析式； ②令，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 【小问4详解】 解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元， ∴函数关系式为：， 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， ∴函数关系式为：， ②令，则， 解得：， ∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5 C. 5，11，16 D. 8，14，17 2. 如图，在数轴上对应的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 3. 如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 4. 若式子的运算结果是无理数，那么“□”中的运算符号不可以是（ ） A. + B. - C. × D. 5. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某雷达探测器在一次探测中发现的五个目标，若图中目标B的位置记为，则点D的位置记为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数（a，b是常数且）中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 的相反数是________． 10. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为______． 11. 若一次函数的图象经过点，，则______．（填“”或“”）． 12. 若正数a满足，则a的值是______． 13. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______． 14. 如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是______． 15. 在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是______． 16. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将图①中的两个赵爽弦图中的八个直角三角形和两个正方形按图②方式摆放，围成正方形．记直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个结论：①，；②若，则；③；④，其中正确的结论有______．（只填写序号即可） 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 18. 数学之美无处不在，利用某些有关联的直角三角形，我们可以画出如图所示的毕达哥拉斯螺旋线． 观察图形和式子，解答下列问题： ， ， ， ， …… （1）____，____（用含n的代数式表示）； （2）若在这组三角形中有一个三角形的面积是，则它是第_____个三角形； （3）求：的值． 19. 如图，每个小正方形网格的边长均为．已知，两村庄的坐标分别是，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______； （3）一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和． 20. 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度； （2）如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 21. 如图，直线是一次函数的图象，回答下面问题： （1）当时，______； （2）当x______时，； （3）直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为______； （4）写出m的一个值，使x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达． 22. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． （1）请直接写出A点的坐标； （2）当时，求t的值； （3）若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 23. 【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 24. 某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； （2）点B的实际意义是什么？ （3）求y与x之间的关系式； （4）目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $