精品解析：上海市民办南模中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

2024学年第一学期上海民办南模中学初中课程 初三年级 数学学科 期中考试试卷 （时间100分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 2. 下列函数中，二次函数是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，，，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 如果为单位向量，那么 B. 如果，那么 C. 如果都是单位向量，那么 D. 如果，那么 5. 在中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ） A. 与 相似 B. 与 相似 C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 若，且，则______． 8. 计算：______________． 9. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______． 10. 已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是_____． 11. 已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是_____． 12. 已知在 中， ， 点 是 的重心， 那么点 到斜边 的距离是____________． 13. 已知抛物线与轴交于点,过点作轴的平行线交抛物线于点,若,则点坐标为______． 14. 飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为________千米．（用的式子表示） 15. 小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度______． 16. 如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____． 17. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，，那么MN的长是_____． 18. 如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． （1）用表示； （2）求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 21. 已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的表达式及点M的坐标； （2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由． 22. 为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）． （1）求限速道路AB的长（精确到1米）； （2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 23. 已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足． （1）求证： （2）求证： 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； （3）点在直线上，若，求点的坐标． 25. 已知，如图1，在四边形中，，，． 　　 （1）当时（如图2），求的长； （2）连接，交边于点， ①设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期上海民办南模中学初中课程 初三年级 数学学科 期中考试试卷 （时间100分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 2. 下列函数中，二次函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】中，未知数的次数为1次，故A不是二次函数，不符合题意； ，满足二次函数的定义，故B是二次函数，符合题意； ，未知数的次数为1次，故C不是二次函数，不符合题意； ，分母中有未知数，故D不是二次函数，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．掌握二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．”是解题关键． 3. 在中，，，，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可． 【详解】根据勾股定理可得：， 则；；；； 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 如果为单位向量，那么 B. 如果，那么 C. 如果都是单位向量，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】向量有方向，大小，加减运算，根据相关的概念和运算方法即可求解． 【详解】解：选项，如果为单位向量，且与的方向相同，那么，故不符合题意； 选项，如果，大小相同，方向相反，那么，故符合题意； 选项，如果都是单位向量，那么，方向不确定，故不符合题意； 选项，如果，那么，模相等，方向不确定，故不符题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查向量的基本知识，掌握向量的大小，方向，模的基础知识是解题的关键． 5. 在中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可． 【详解】如图： ∵DE∥AC，AE：EB=3：2， ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键． 6. 如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ） A. 与 相似 B. 与 相似 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外角的性质可得，结合已知条件即可证明，从而判断A，进而可得，根据是中点，代换，进而根据两边成比例夹角相等可证，进而判断B，C，对于D选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：， 又 故A选项正确 为的中点 又 故B、C选项正确 若 则 根据现有条件无法判断，故 故D选项不正确 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 若，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由等式，两边同时除以，可得，进而根据分式的性质求解即可 【详解】，且， 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的性质，等式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 8. 计算：______________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键． 9. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案． 【详解】∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴对应高线的比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 10. 已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是_____． 【答案】2﹣2## 【解析】 【分析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可． 【详解】解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP， ∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP， ∴AP＝AB＝×4＝2﹣2， 故答案为：2﹣2． 【点睛】本题考查了黄金分割点，牢记黄金分割比是解题的关键． 11. 已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性即可得． 【详解】二次函数的图象在直线的左侧部分是下降的， 即在直线的左侧部分，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键． 12. 已知在 中， ， 点 是 的重心， 那么点 到斜边 的距离是____________． 【答案】 【解析】 【分析】过C点作CE⊥AB于E，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用面积法求出CE=，接着根据G是△ABC的重心得到DG=CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度． 【详解】解：过C点作CE⊥AB于E，如图， ∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴， ∵， ∴， ∵G是△ABC的重心， ∴DG=CG， ∴DG=CD， ∵CE⊥AB，GH⊥AB， ∴GH∥CE， ∴△DHG∽△DEC， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 13. 已知抛物线与轴交于点,过点作轴的平行线交抛物线于点,若,则点坐标为______． 【答案】（-2，-2） 【解析】 【分析】根据表达式求出A点坐标再根据AB平行于x轴，AB=2可得B点坐标为（2，-2）、（-2，-2），再根据ab＞0得，所以B点坐标为（-2，-2）． 【详解】解：∵， ∵当x=0时，y=-2， ∴A点坐标（0，-2）， 又∵AB=2，直线AB平行x轴 ∴B点坐标为（2，-2）、（-2，-2）， ∵ab＞0， ∴，抛物线对称轴在y轴左侧， ∴B点坐标为（-2，-2）． 【点睛】本题主要考查二次函数与y轴得交点，二次函数对称轴和两点之间的距离，熟练掌握二次函数基本性质是解决本题的关键． 14. 飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为________千米．（用的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边长即可． 【详解】如图所示，飞机在点处，为水平线，则 ，解得 故答案为： 【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是知道俯角是哪个角，然后利用正弦值求解． 15. 小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得水平距离，再利用坡度的知识即可求解． 【详解】解：如图，根据题意知：AB=13米，BC=5米， ∴AC=12(米)， ∴该自动扶梯的坡度， ∴该自动扶梯的坡度为5：12=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡度的定义是解题的关键． 16. 如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示： ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，， ∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2， ∴BC＝2，AC＝4， ∴CM＝＝＝4， ∵正方形DEFG内接于△ABC， ∴GF＝EF＝MN，GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴，即， 解得：EF＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，，那么MN的长是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据折叠的性质得DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，再根据平行线的性质和等量代换得到∠B＝∠BMD，则DB＝DM，接着利用比例的性质得到FM＝DM，然后证明△FMN∽△FDE，从而利用相似比可计算出MN的长． 【详解】解：∵△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合， ∴DA＝DF，∠ADE＝∠FDE， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠FDE＝∠BMD， ∴∠B＝∠BMD， ∴DB＝DM， ∵＝ ， ∴＝2， ∴＝2， ∴FM＝DM， ∵MN∥DE， ∴△FMN∽△FDE， ∴＝＝ ， ∴MN＝DE＝×8＝4． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，图形的折叠，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，图形的折叠性质是解题的关键． 18. 如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转得出∠=75°，在△中，过点B作BM⊥于M,设,由勾股定理计算出BD的长，由此解答即可． 【详解】解：由题意知，AC∥BB1，°，∠C=60°， ∴=75° ∵∠∠ABC=45° ∴∠=30°，则∠=75° 在△中，过点B作BM⊥于M,设 在Rt△BMB1中，∠=30° ∴BM=， ∴ 则BD= ∵= 【点睛】本题考查了旋转知识平行线的性质和勾股定理等知识，掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角三角函数混合运算，二次根式的混合运算；正确化简各数是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解： ． 20. 如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． （1）用表示； （2）求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1）， （2） 如图，在方向上的分向量分别为： 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，向量的线性组合，以及分向量在平行四边形中的画法，熟练掌握向量的基本应用是解题的关键，初中的向量问题只在上海地区出现，其他地方在高中才会学到，需要注意． （1）利用向量的表示方法，表示出，再由即可求出，利用相似三角形的性质，求出，即可求出； （2）利用画平行四边形即可作出分向量． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 略 21. 已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的表达式及点M的坐标； （2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由． 【答案】（1）y=x2+2x+2，顶点M（﹣1，1） （2）等腰直角三角形； 理由：∵抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O， ∴设新抛物线的解析式为y=（x+1）2+1-m， 把（0，0）代入得，0=1+1-m， ∴m=2， ∴顶点N为（-1，-1）， ∵M（-1，1）， ∴OM2=（-1）2+12=2，ON2=（-1）2+（-1）2=2，MN2=22=4， ∴OM=ON，OM2+ON2=MN2， ∴△MON是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式求得顶点M的坐标； （2）设新抛物线的解析式为y=（x+1）2+1-m，把（0，0）代入求得m的值，即可根据平移的原则得到顶点N的坐标，根据勾股定理求得OM2=ON2=2，MN2=4，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴是直线x=﹣1． ∴，解得， ∴抛物线的表达式为y=x2+2x+2， ∵y=x2+2x+2=（x+1）2+1， ∴顶点M（﹣1，1）； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得顶点M、和顶点N的坐标是解题的关键． 22. 为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）． （1）求限速道路AB的长（精确到1米）； （2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 【答案】（1）1507米 （2）∵1分20秒=小时， ∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h， ∴该车超速． 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案； （2）求出该汽车的速度，即可得出结论． 【小问1详解】 根据题意，得∠CAB=37°，CD=220米，∠DAB=30°，∠DBA=45°， 如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F， ∵CD∥AB， ∴四边形CDFE是矩形， ∴CE=DF，CD=EF， ∵∠DBA=45°， ∴DF=BF， 设DF=BF=CE=x米， 在Rt△ADF中，∠DAF=30°，DF=x米， ∴AF=DF÷tan30°=DF=x（米）， ∴AE=AF-EF=（x-220）米， 在Rt△AEC中，∠CAE=37°， ∵CE=AE•tan37°， ∴x=（x-220）×0.75， 解得x=60（3+4）=（180+240）米， ∴AE=x-220=（320+240）米， FB=x=（180+240）（米）， ∴AB=AE+EF+FB =320+240+220+180+240 =780+420 ≈1507（米）， 答：限速道路AB的长约为1507米； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握三角函数定义是解题的关键． 23. 已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足． （1）求证： （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵DFBC， ∴ ， ∴， ∵AB⋅AF=DF⋅BC， ∴， ∴， ∵∠AFE=∠DFA， ∴△AEF∽△DAF， ∴∠AEF=∠DAF； （2） 证明：∵ABCD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵DFBC，ABCD， ∴四边形DFBC是平行四边形， ∴DF=BC， ∴， ∵DFBC， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据DFBC，得，由AB⋅AF=DF⋅BC，得，∠AFE=∠DFA，可证△AEF∽△DAF，即可得答案； （2）根据ABCD，得，由，得，再证四边形DFBC是平行四边形，得，最后根据DFBC，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，做题的关键是相似三角形性质的灵活运用． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； （3）点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，进一步即可求出抛物线的对称轴； （2）求出直线的解析式，进而求出C点坐标，设平移后的顶点坐标为，则有平移后的解析式为，把点C坐标代入求出解题即可； （3）分点E在点D的上方时和点E在点D的下方两种情况解题，过E作于点F，利用正切求出与的关系进行解题． 【小问1详解】 解：把点和点代入得： ， 解得， ∴ 对称轴为直线， 【小问2详解】 设直线的解析式为,代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴C点坐标为， 设平移后的顶点坐标为， 则解析式为， 把代入得：或（舍）， ∴， 【小问3详解】 ∵, ∴， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 当点E在点D的上方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在点D的下方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角函数，待定系数法求解析式，平移，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 25. 已知，如图1，在四边形中，，，． 　　 （1）当时（如图2），求的长； （2）连接，交边于点， ①设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）； （2）的长为或． 【解析】 【分析】（1）在中，解直角三角形得，，再证即可得解； （2）①先求得，，根据， 可得定义域，证明可得关于的函数解析式；②分两类讨论求解，当时，作于点Q，作于点P，证得解，当时，作垂直直线于点N， 证得解． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴； 【小问2详解】 解：①如图2，作于点N， ∵，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②∵， ∴， ∴， 当时，作于点Q，作于点P，如下图，易知四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴； 当时，作垂直直线于点N，如下图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∵⊥， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， 综上的长为或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、矩形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $