精品解析：内蒙古包头市青山区十校联考2024-2025学年九年级上学期期中质量监测数学试题

2024-2025学年度第一学期期中质量监测（十校联考） 初三年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（ ） A. 平行投影 B. 既是平行投影又是中心投影 C. 中心投影 D. 无法确定 2. 如果，，，是成比例线段，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染了个人，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B. 关于的方程有两个不相等实根，则的取值范围且 C. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴 D. 对角线相等的矩形是正方形 8. 已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（ ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 10. 如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6分，每小题3分，共18分） 11. 在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共200个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则盒子中黑球有_____个． 12. 在一个仓库里堆积若干个大小相同的小正方体货箱，由此搭成的一个几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的货箱个数是______个． 13. 如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为________米（结果保留根号）． 14. 设，是一元二次方程的两个根，则___________． 15. 如图，在矩形中，E为中点且，求______． 16. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为________． 二、解答题（共6小题，52分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号） 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________： （2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有___人： （3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 19. 在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 20. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉样物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． （1）若商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3． （1）求AD的长； （2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 22. 在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． （1）如图①，求证：； （2）如图①，当时，若，求正方形的边长； （3）如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求证：点为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量监测（十校联考） 初三年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（ ） A. 平行投影 B. 既是平行投影又是中心投影 C. 中心投影 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影的定义，把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影；熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义即可解答． 【详解】解：因为太阳光可认为是平行光线，则日晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：A． 2. 如果，，，是成比例线段，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段列出比例式即可求解，掌握比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∴，即， ∴， 故选：． 3. 某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画树状图，共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种，再由概率公式求解即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种 ∴他们两人选取的主题不同的概率是， 故选：． 4. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染了个人，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染了个人，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每轮每人传染了个人，依题意得， ， 故选：B． 6. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B. 关于的方程有两个不相等实根，则的取值范围且 C. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴 D. 对角线相等的矩形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识点，理解并熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形中位线的性质可判断选项A；根据一元二次方程的定义和根的判别式可判断选项B；根据正方形的性质以及轴对称图形的概念可判断选项C；根据正方形的判定方法即可判断选项D． 【详解】解：A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，故原说法错误，故不符合题意； B. 关于的方程有两个不相等实根， 则有，解得且， 即的取值范围且，该说法正确，符合题意； C. 正方形有4条对称轴，故原说法错误，不符合题意； D. 对角线相互垂直的矩形是正方形，故原说法错误，故不符合题意． 故选：B． 8. 已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（ ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 当时，，则方程有一个根是1；可判断①的正误；由方程的两根为和2，可得，即，可判断②的正误；由c是方程的一个根，可得，即，由，可得，则，可判断③的正误． 【详解】解：当时，， ∴方程有一个根是1；正确，故①符合要求； ∵方程的两根为和2， ∴，即，正确，故②符合要求； ∵c是方程的一个根， ∴，即， ∵， ∴， ∴，正确，故③符合要求； 故选：D． 9. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 10. 如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可； 【详解】解：由图②得：当时，在减小， 当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再运动到， 或应从出发沿运动到，再运动到， 设应从出发沿运动到，再运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴当在处时，，即， ∴， 当在处时，，即， 当位于处时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键. 二、填空题（共6分，每小题3分，共18分） 11. 在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共200个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则盒子中黑球有_____个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意得出摸到白球的概率为0.2，再计算出白球的个数，用减去白球的个数即可得解． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2， ∴摸到白球的概率为0.2， ∴白球的个数为个， ∴则盒子中黑球有（个）， 故答案为：． 12. 在一个仓库里堆积若干个大小相同的小正方体货箱，由此搭成的一个几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的货箱个数是______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题意在考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：综合三视图可知长方体的个数为： ∴这个几何体的底层应该有个小正方体，第二层应该有个小正方体，共有（个）， ∴搭成这个几何体的货箱个数是8个． 故答案为：8． 13. 如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为________米（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，利用黄金比的定义即可求出答案． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金比的倒数，即， 已知窗户的长为2米，则窗户宽为长乘以黄金比得倒数，即（米）． 故答案为：． 14. 设，是一元二次方程的两个根，则___________． 【答案】2024 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的意义，根据，是一元二次方程的两个根，可得，即，再将转化成即可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，且， ∴， ∴ ． 故答案为：2024． 15. 如图，在矩形中，E为中点且，求______． 【答案】102 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和相似三角形，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，是解决此题的关键. 证明，结合，即可得结论. 【详解】设矩形的边． ∵， ∴． 为中点， ∴． ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，符合题意． ∴． 故答案为：102． 16. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为________． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据相似三角形的性质，分和，两种情况得出结论即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵，，点D的运动速度为，动点E的运动速度为， ∴， 当时，，即：，解得； 当时，，即：，解得； 故答案为：秒或秒． 二、解答题（共6小题，52分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将常数项移至方程的另一边，然后用直接开平方法求解即可； （2）将原式化为，然后在方程左边进行因式分解，即可求解； 解题的关键是掌握解一元二次方程的常用方法：直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，根据情况灵活选用适当的方法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ∴，． 18. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号） 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有________人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为________： （2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有___人： （3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】（1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占的百分比，即可得出答案； （2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有：（人）， 扇统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人）， （人） ∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人， 故答案为：； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种， ∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为， 答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． 19. 在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图）．如图，点为左眼，点为右眼，点为右手大拇指，点为敌人的位置，点为敌人正左侧方的某一个参照物（），目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右．若的估测长度为米，那么的大致距离为多少米． 【答案】400米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，利用平行关系判定相似三角形，再结合相似三角形的对应边成比例是解题关键．由可证得，进而通过相似三角形的比例关系建立等式，求解的长度． 【详解】解：厘米米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：的大致距离为米． 20. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉样物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个． （1）若商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）元； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得： ， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3． （1）求AD的长； （2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 【答案】（1）6；（2）8． 【解析】 【分析】试题分析：（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题； （2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题； 【详解】试题解析：（1）∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠CAB=30°，在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，∴AD=2CD=6． （2）∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠EAD=∠ADF=∠DAF，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°，∴DE=，∴四边形AEDF的周长为． 考点：菱形的判定与性质；平行线的性质；含30度角的直角三角形． 22. 在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． （1）如图①，求证：； （2）如图①，当时，若，求正方形的边长； （3）如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求证：点为线段的中点． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵沿折叠，得到， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； 证明：如图， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为线段的中点． 【解析】 【分析】（1）根据正方形和平行线的性质得，根据等角的余角推出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质得，继而得到，，得到，得，，根据勾股定理得，再代入，可得结论； （3）证明得，，根据，推出，，继而得到，再根据，可得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $