精品解析：陕西省榆林市第五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 某几何体如图水平放置，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若把方程化为的形式，则的值是（ ） A. 5 B. 2 C. D. 3. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的条数为（ ） A. 600条 B. 1000条 C. 1200条 D. 2200条 4. 如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ） A. 逐渐变短 B. 逐渐变长 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 5. 某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，为其对角线，点E为上一个动点，连接，，过D作交于F，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接．点G，H分别是的中点，连接．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____． 10. 如图，，连接交于点C，若，，．则k的值为__________． 11. 某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程____． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，点C是轴上的一点，若的面积为，则的值为________． 13. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和35个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，请估计盒子里白球的个数． 16. 如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在y轴右侧，以原点O为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）． （2）在（1）的条件下，求的面积． 18. 如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（米），他的影长米，已知小明的身高米，点E 在上，且，，求信号发射塔的高度． 19. 某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片． （1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________． （2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率． 20. 已知反比例函数． （1）若该函数图象在第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 21. 如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 22. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ （2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 23. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 24. 如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 25. 如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成． （1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽． （2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？ 26. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 某几何体如图水平放置，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，看的见的棱用实线，看不见的棱用虚线．据此可得答案． 【详解】解：左视图为． 故选：C 2. 若把方程化为的形式，则的值是（ ） A. 5 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解即可． 【详解】解：将配方得， ， 则， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 3. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的条数为（ ） A. 600条 B. 1000条 C. 1200条 D. 2200条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ） A. 逐渐变短 B. 逐渐变长 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处时，他在地上的影子逐渐变短； 故选：A． 5. 某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等可能事件的概率，画出树状图展示所有等可能的结果，是解题的关键．根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：将《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲分别用甲，乙，丙，丁表示， 根据题意画图如下： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》两首歌曲的有2种， 则恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率， 故选：C． 6. 如图，在正方形中，为其对角线，点E为上一个动点，连接，，过D作交于F，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，再由平角的定义证明，由正方形的性质得到，则可证明得到，，进而可证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，，故A、D结论正确，不符合题意； ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故C结论错误，符合题意； 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接．点G，H分别是的中点，连接．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是矩形， ，， ，分别是边，的中点，，， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， 点是的中点，是的中点， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD． ∴△AOB是直角三角形． ∴． ∴此菱形的周长为：5×4=20 故答案为：20． 10. 如图，，连接交于点C，若，，．则k的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明出，根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， 故答案为：4． 11. 某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程____． 【答案】 【解析】 【分析】利用总利润=每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设每件应降价x元， 依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，点C是轴上的一点，若的面积为，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正确理解反比例函数的几何意义是解答本题的关键，连结，，设与y轴相交于点D，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义，即可求得答案． 【详解】连结，，设与y轴相交于点D， 轴， ， ，， ， 解得， 故答案为：3． 13. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题． 【详解】∵△BCD∽△BAC， ∴=， 设AB=x， ∴22=x， ∵x＞0， ∴x=4， ∴AC=AD=4-1=3， ∵△BCD∽△BAC， ∴=＝， ∴CD=． 故答案为 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法求解． 【详解】解：， ， ， ，即， 或， 解得，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 15. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和35个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，请估计盒子里白球的个数． 【答案】15个 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得摸到白球的概率为，再根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设盒子里白球的个数为x个， ∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴估计盒子里白球的个数为15个． 16. 如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明． 【详解】略 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在y轴右侧，以原点O为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）． （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据以原点O为位似中心，与位似，且相似比为，结合，，，只需把各坐标分别乘以得得到位似坐标即，，，描点后依次连接画图即可． （2）先求得，根据，且相似比为，得，代入计算解答即可． 本题考查了位似作图，位似性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，以原点O为位似中心，与位似，且相似比为1：2，且，，， 故把各坐标分别乘以得得到位似坐标即，，，描点后依次连接画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得，，， 故， 由，且相似比为， 得， 故， 解得． 18. 如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（米），他的影长米，已知小明的身高米，点E 在上，且，，求信号发射塔的高度． 【答案】19.8米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，根据对应边成比例即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， ，即， ， 即信号发射塔的高度为19.8米． 19. 某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片． （1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________． （2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率． 【答案】（1）； （2）两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是． 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了概率公式，树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上， ∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示， 画树状图， 一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种， ∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是． 20. 已知反比例函数． （1）若该函数图象在第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 【小问2详解】 ∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 21. 如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴． 在和中，， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明出，得到，再结合平行得到即可求证． 【详解】略 22. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ （2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】（1）0.5米 （2）25度 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式为，再把代入求解即可； （2）把代入，求得，再作差即可求解． 【小问1详解】 解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为， 由图可得，当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米． 【小问2详解】 解：当时，， ∴（度）， 答：明明的眼镜度数下降了25度． 23. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，方程的根，熟练掌握定理是解题的关键． （1）求出，即可证明； （2）把代入得到关于m的一元二次方程，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：或． 24. 如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 25. 如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成． （1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽． （2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？ 【答案】（1）所围猪舍的长是，宽是；（2）所围猪舍的长是，宽是． 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． （1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可； （2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：（1）设与住房墙垂直的一边长为， 则与住房墙平行的一边长为， 根据题意，列方程得： ， 解得：，， 当时，与住房墙平行的一边长， 不符合题意，舍掉， 当时，与住房墙平行的一边长， 答：所围猪舍的长是，宽是； (2) 设与住房墙垂直的一边长为，则与住房墙平行的一边长为 根据题意，列方程得： ， 解得：，， 当时，与住房墙平行的一边长， 不符合题意，舍掉， 当时，与住房墙平行的一边长， 答：所围猪舍的长是，宽是． 26. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （2）分和分别讨论即可； （3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时，； 【小问2详解】 ∵，，， ∴当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $