精品解析：广西桂林市永福县2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷

广西桂林市永福县2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷 （考试用时：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束后，只需将答题卡交回即可． 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠3 B. x≠﹣3 C. x＞3 D. x＞﹣3 2. 下列属于命题的是（　　） A. 期中测试卷难吗？ B. 请你把书递过来 C. 今天下雨了 D. 连接A、B两点 3. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，11 C. 6，3，10 D. 4，4，8 4. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 5. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A. 150° B. 80° C. 50°或80° D. 70° 8. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 10. 在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的变形过程： 甲：原式 乙：原式 丙：原式 丁：原式 其中正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）． A. 150° B. 180° C. 210° D. 225° 12. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共12分） 13. 杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 ________． 14. 分式与的最简公分母是______． 15. 已知三角形的三边长分别为2、x、3，则x的取值范围是_______． 16. 若分式的值为，则__________． 17. 如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC =___． 18. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为______． 三、解答题(8大题，共72分） 19. 计算∶ （1） （2） 20. 解分式方程∶ 21. 先化简，再从中选出一适当的数代入求值． 22. 如图，工人师傅要检查三角形工件ABC的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺，他是这样操作的： ①分别在BA和CA上取 ②在BC上取 ③连接DE、FG，量出DE的长为a米，FG的长为b米． 若，则说明和是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？ 23. 如图：在正方形网格中，正方形的边长为1． （1）图中有一个，分别画出中边上的高及边上的中线． （2）画一个（要求各顶点在格点上），使的面积等于的面积的3倍（只能借助于网格）． （3）用尺规作图法作出线段的垂直平分线交于点，连接，求的周长． 24. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘2000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1100毫克所需的槐树叶的片数相同，求一片槐树叶一年的平均滞尘量． 25. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音．研究这三个数的倒数发现：，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数． （1）现有三个数：3，2，x，若要组成一组调和数，求的值． （2）若为一组调和数．求的值． 26. (1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． (2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？ (3)深入探究： Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西桂林市永福县2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷 （考试用时：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束后，只需将答题卡交回即可． 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠3 B. x≠﹣3 C. x＞3 D. x＞﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义时，分母不等于零解答即可． 【详解】当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义． 故选A． 2. 下列属于命题的是（　　） A. 期中测试卷难吗？ B. 请你把书递过来 C. 今天下雨了 D. 连接A、B两点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的定义．一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．根据命题的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、期中测试卷难吗？是疑问句，不是命题； B、是祈使句，不是命题； C、今天下雨了，对某件事情做出了判断，是命题； D、是祈使句，不是命题． 故选：C． 3. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，11 C. 6，3，10 D. 4，4，8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．分别比较两条较短边的和与最长边的大小，即可得到答案． 【详解】解：A、，能摆成三角形，符合题意； B、，不能摆成三角形的，不符合题意； C、，不能摆成三角形的，不符合题意； D、，不能摆成三角形的，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B 【详解】∵∠ACD=∠A+∠B ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120° ﹣40°=80°． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决此题的关键是要认真细致，不要算错． 5. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式（其中为整数）以及的确定方法． 要将用科学记数法表示，需确定和的值，根据科学记数法规则，要满足由原数绝对值与1的大小关系确定，然后得出结果． 【详解】解：对于，要使满足，则，此时小数点向右移动了4位，因为原数绝对值，所以，那么用科学记数法表示为米． 故选：B． 6. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判断，解题关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式．根据最简分式的定义，即可求出答案． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 7. 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A. 150° B. 80° C. 50°或80° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论． 【详解】解：①50°是底角，则顶角为：180°−50°×2＝80°； ②50°为顶角， ∴顶角的度数为50°或80°． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 8. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键在于最简公分母的确定．先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案． 【详解】解：分式方程， 方程两边同时乘以去分母得：， 故选：D． 9. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 10. 在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的变形过程： 甲：原式 乙：原式 丙：原式 丁：原式 其中正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的四则混合运算，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键．根据分式的加减乘除混合运算即可得到答案． 【详解】解： ， 观察四位同学的变形过程，丁同学的正确， 故选：D． 11. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）． A. 150° B. 180° C. 210° D. 225° 【答案】B 【解析】 【分析】根据SAS可证得≌，可得出，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解. 【详解】解：由题意得：，，， ≌， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出≌．. 12. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一次分钱的人数为人，根据题意列出即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：． 二、填空题（每题2分，共12分） 13. 杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 ________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】杜师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性来解决问题． 本题主要考查了“三角形具有稳定性”，能够利用这一知识来解释一些生活现象是解题的关键． 【详解】解：杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做就构成了三角形，利用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 14. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】求几个分式的最简公分母时，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母． 【详解】解：分式与的分母分别是，，其中系数的最小公倍数是6，字母的最高次幂的积是，因此最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母．求几个分式的最简公分母时，应注意将分母转化为最简式后再进行相乘． 15. 已知三角形的三边长分别为2、x、3，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系定理列不等式求解即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、x、3， 则，即， 故答案为：． 16. 若分式的值为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式的值为， ，且， ， 故答案为：． 17. 如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC =___． 【答案】15 【解析】 【详解】因为EF是AB的垂直平分线， 所以AF=BF, 因为BF=12，CF=3， 所以AF=BF=12, 所以AC =AF+FC=12+3=15． 故答案为15 18. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出进而发现规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 故答案是：． 三、解答题(8大题，共72分） 19. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂与负整数指数幂，再求和即可； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 20. 解分式方程∶ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．先去分母得到整式方程求解，再验根即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 分式方程的解为． 21. 先化简，再从中选出一适当的数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的四则运算法则是解题关键．对括号内通分计算，将除法化为乘法化简，再结合分式有意义的条件，将代入计算即可． 【详解】解： ， ，， ， 当时，原式． 22. 如图，工人师傅要检查三角形工件ABC的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺，他是这样操作的： ①分别在BA和CA上取 ②在BC上取 ③连接DE、FG，量出DE的长为a米，FG的长为b米． 若，则说明和是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？ 【答案】 这种做法合理， 理由：在和中， 因为，，． 所以． 所以． 【解析】 【分析】证明，即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 23. 如图：在正方形网格中，正方形的边长为1． （1）图中有一个，分别画出中边上的高及边上的中线． （2）画一个（要求各顶点在格点上），使的面积等于的面积的3倍（只能借助于网格）． （3）用尺规作图法作出线段的垂直平分线交于点，连接，求的周长． 【答案】（1） 解：如图，线段、即为所求作； （2） 如图，为所求作； （3） 解：如图，，即为所求作； 的周长为． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图即可； （2）由图形可知，则的面积等于9，延长至点，使得，即可得到； （3）根据垂直平分线的作法作出，得到，从而得出的周长，再利用勾股定理，求出和的长，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图形可知，， 的面积等于的面积的3倍， 的面积等于9， 是边上的高， 延长至点，使得， ， 【小问3详解】 解：如图， 垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长为． 【点睛】本题考查了三角形的高和中间，作图——格点作图、垂直平分线，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 24. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘2000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1100毫克所需的槐树叶的片数相同，求一片槐树叶一年的平均滞尘量． 【答案】一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克 【解析】 【分析】设一片槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶的一年的平均滞尘量为毫克，然后根据一年滞尘2000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1100毫克所需的槐树叶的片数相同列出方程求解即可． 【详解】解：设一片槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶的一年的平均滞尘量为毫克， 由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克， 答：一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够正确理解题意找到等量关系列出方程求解． 25. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音．研究这三个数的倒数发现：，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数． （1）现有三个数：3，2，x，若要组成一组调和数，求的值． （2）若为一组调和数．求的值． 【答案】（1）6或或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，理解已知中的调和数是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据题意分3种情况讨论，然后分别列出方程求解即可； （2）直接根据调和数的定义列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，x，3，2，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 当时，3，x，2，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 当时，3，2，x，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 综上所述，若要组成一组调和数，则x的值为6或或． 【小问2详解】 解：∵为一组调和数， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根； ∴的值是． 26. (1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． (2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？ (3)深入探究： Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 【答案】 （1）AF=BD．证明如下： ∵△ABC是等边三角形（已知）， ∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）． ∵△DCF是等边三角形， ∴DC=CF，∠DCF=60°． ∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF． 在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF， ∴△BCD≌△ACF（SAS）． ∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）． （2）AF＝BD仍然成立； （3）Ⅰ.AF+BF′=AB．证明如下： 由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF． 同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD． ∴AF+BF′=BD+AD=AB． Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′．证明如下： 在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC， ∴△BCF′≌△ACD（SAS）． ∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）． 又由（2）知，AF=BD， ∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD． （2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD． （3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的性质可得BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB． Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′． 【详解】解：（1）略 （2）AF=BD仍然成立． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠BCA=60°． ∵△DCF是等边三角形， ∴DC=CF，∠DCF=60°． ∴∠BCD=∠ACF． 在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF， ∴△BCD≌△ACF（SAS）． ∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）． （3）Ⅰ．略 Ⅱ．略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $