专题12 将军饮马模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题12 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 79 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2023·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E关于直线的对称点，连接，的长度是绳子最短的长度．所经过的点C就是要选择的木杆． 【详解】如图，作E关于直线AG的对称点，连接，交于点C，连接，则点C所在的木杆c应优先选择． ∵点E与点关于对称，∴，∴， 由两点之间线段最短可知此时的值最小．故选C． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，通过作轴对称构造两点之间线段最短是解答本题的关键． 例2．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形，点是边的中点，∴，， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线，∴点关于直线的对称点为点，∴的长为的最小值， ∴的周长最短，故答案为：． 例3．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（    ） A．9 B．15 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质；连接．求出的最小值可得结论． 【详解】如图，连接， 垂直平分线段，， 当P和E重合时，的值最小，最小值为， ，的最小值为9， 的周长的最小值为，故选：B 例4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题，作于，交于，连接，，根据等边三角形的判定与性质可得，点关于的对称点为点，从而得出当、、在同一直线上且时，的值最小，为，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，交于，连接，，    在中，，，是等边三角形， ，，，， 点关于的对称点为点，，， 当、、在同一直线上且时，的值最小，为， 的最小值是，故选：B． 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、含度角的直角三角形等知识点，作点关于的对称点，连接，作交于点，当时，有最小值，据此即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则，∴， ∵点E别是上的动点，∴时，有最小值 ∵，∴故答案为： 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·广东·八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，，都在格点上．画出关于直线对称的；在直线上找一点，使的值最大，在图形上画出点的位置，并直接写出的最大值． 【答案】见解析；图见解析， 取到最大值 【分析】（1）利用网格特点，分别画出A、B、C关于直线的对称点A1、B1、C1即可；（2）由于PA=PA1，则|PB-PA|=|PB-PA1|，而|PB-PA1|≤A1B，当点P、A1、B共线时取等号，从而得到|PB-PA|的最大值． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点即为所求.在中，，即，，三点共线时，取到最大值. 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的， 例2．（2023.山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 【解答】B 【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵＝BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC， ∴PA－PB＝PC－PB，在△PBC中PC－PB＜BC 当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B. 例3．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______． 【答案】5 【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5． 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，B'P． 则，，，． ∵ ，∴，∴ 是等边三角形，∴， 在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5． ∴的最大值是5．故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键． 例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ． 【答案】123° 【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB， ∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°， 又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2024七年级下·广东·专题练习）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，，周长， 此时周长最小，，，， ，，是等边三角形，，，故选：D． 例2．（2024·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°． 【答案】80 【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN． 【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小， ∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1， ∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°， ∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键． 例3．（2024·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM． ∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN， ∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF， ∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD， ∵CD⊥AB，∴•AB•CD=•AB•AC，∴CD===2.4， ∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得． 【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称， ∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴， ∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°， ∵轴，B、关于AG对称，∴,， ∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M， ∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴， ∴，同理可得,即．故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键． 例3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3；故答案为：3 例3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两个动点的三线段和的最小值，勾股定理，对称的性质；分别作出两个定点关于定直线的对称点，根据三点共线时，和最小计算即可． 【详解】解：作M关于的对称点，作N关于的对称点，如图所示： 连接，其长度即为的最小值． 根据轴对称的定义可知：， 1．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在等边三角形中，于，点分别为上的两个定点，且，在上有一动点使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，轴对称求最短路径问题，学会利用轴对称解决最短问题是解题关键．由等边三角形的性质，得出，，，作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时有最小值，最小值为的长，证明是等边三角形，得到，即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，，， ，，， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时有最小值， ，，，即的最小值为的长， ，， ，，， 又，是等边三角形，，即的最小值为，故选：D．    2．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图所示，在边长为4的正三角形中，分别为的中点，点P是上一个动点，连接，则的周长的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查对等边三角形的性质，轴对称-最短路线问题，三角形中位线定理等知识点的理解和掌握，能求出的最小值是解此题的关键． 连接交于，根据等边三角形的性质证明、关于对称，得到周长最小，求出即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 要使的周长最小，而一定，只要使最短即可，连接交于， ∵等边、、分别为、、的中点， ∴是中位线，∴，∴， ∴、关于对称，∴，∴， 当三点共线，即和重合时，此时最小，即的周长最小，， 最小值是：．故选：C． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，已知，平分，，在上找一点M，在上找一点N，则的最小值是（   ）    A．40 B．32 C．24 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了根据轴对称求最短距离，含的直角三角形，垂线段最短等知识点．作点C关于的对称点，连接，，故，可得当，M，N在同一直线上且时，有最小值，且等于线段的长，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点，连接，，则，    ∴， 当，M，N在同一直线上且时，有最小值，且等于线段的长， 又∵∴， ∴中， ，∴的最小值等于20，故选：D． 4．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点C为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．4 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，      ∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴， ∴，解得， ∵的周长，又是定值，∴当最小时，的周长最小， ∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，∴， ∴当A、G、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∴的周长最短．故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 5．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】过 作 于点 ，交 于点 ， 过 点 作 于 ，则 即为 的最小值，再根据三角形的面积公式求出 的长，即为 的最小值； 【详解】过 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 ，如图：    ∵ 平分 于点 于 ，∴， ∴ 是 最小值，此时 与 重合， 与 重合， ∵三角形 的面积为 ，∴，∴， 即 的最小值为 6 ；故选：D 【点睛】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解 的长度即为 最小值 6.（2023·重庆·八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（　　） A．7 B．6 C．9 D．10 解：如图所示，连接BM， ∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM， 当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长， 又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D． 7．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得，则，即最小值是线段的长，从而可得答案． 【详解】解：，是的中线，∴，即是的垂直平分线， ∴，∴，即最小值是线段的长，故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键． 8．（2024·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AP，根据线段垂直垂直平分线的性质可知PA=PC，．由，即得出，由此可知当A、P、D在同一直线上时，最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为的平分线，即．最后根据三角形外角性质即得出，由此即可判断． 【详解】如图，连接AP， ∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，∴PA=PC，． ∵,∴． 由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时，最小，即为的长，∴此时最小． ∵D是边BC的中点，AB=AC，∴AD为的平分线，∴． ∵，即，∴．故选C 【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A、P、D在同一直线上时最小是解题关键． 9．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，点E和点D分别在和边上，，，连接，点F和点G分别是线段和上的两个动点，，的面积是6，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形三边关系，垂线段最短，过点D作垂足为N，作垂足为M，先证明，得到，再利用角平分线性质可求，在上取，通过证明，证明，过C作，垂足为K，利用三角形面积即可得出结果． 【详解】解：如图，过点D作垂足为N，作垂足为M，， ，，，， ，，平分，， 在上取，，，， ，，过C作，垂足为K， ，，由垂线段最短可知，即， 则当C、F、H三点共线，且，最小，最小值是3，故答案为：3． 10．（2023·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ___． 【答案】5 【分析】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，由题意可知△OCD是等边三角形，则CD＝5即为所求． 【详解】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，∴CM＝MP，NP＝DN， ∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，∴当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小， ∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OP， ∵P（5，0），∴OP＝5，∴CD＝5，∴△PMN的周长最小值为5，故答案为：5． 【点睛】本题考查了图形的对称、等边三角形的判定与性质、两点间线段最短等知识，作点P分别关于OA、OB的对称点是关键，把求三角形周长的最小值转化为两点间线段的长度． 11（2023·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______． 【答案】30°##30度 【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分，从而可求出． 【详解】如图连接BP． 　 ∵为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BP=CP， ∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE，∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小， ∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图． 又∵点E为中点，AD为高，为等边三角形，∴P点即为等边角平分线的交点， ∴CP平分，∴．故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键． 12．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，点是边的中点，连结，，若点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，点是边的中点，垂直平分，． 过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ，．故答案为：． 13．（2024·湖北·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°##60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 14．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE的最大值是 　 　． 解：如图，连接PC， ∵△ABC是等边三角形，AD是中线，∴AD⊥BC，∴PC＝PB， ∵E是AC边的中点，AB＝6，∴EC＝3，在△PCE中，CP﹣PE＜EC，∴CP﹣PE＜3， ∴当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，BP﹣PE的最大值是3．故答案为：3． 15．（2023·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________． 【答案】10 【分析】连接CA1交BC1于点E，C、A1关于直线BC1对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝10． 【详解】解：连接CA1交BC1于点E，过点B作直线l⊥AB，如图， ∵△ABC是等边三角形，∴是等边三角形，AB=A1B=5 ∵A、B、三点在一条直线上，∴ △ABC与△A1BC1关于直线l对称， ∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，∴∠CBC1＝60°，∴∠C1BA1＝∠C1BC， ∵BA1＝BC，∴BD⊥CA1，CD＝DA1，∴C、A1关于直线BC1对称， ∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝10，故答案为：10． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型． 16．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　 　°． 【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N． ∵A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，∴AM＝A'M，AN＝A″N， 此时△AMN的周长最小值等于A'A″的长， ∵BA＝BA′，NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD， ∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）， ∵∠BAD＝130°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°， ∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．故答案为：100． 17．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值． 【答案】周长的最小值为8 【分析】作P关于OA、OB的对称点，连结、，即可快速找到解题思路. 【详解】如图，作P关于OA、OB的对称点，连结、，交OA、OB于M、N，此时周长最小，根据轴对称性质可知，，，且，，，，为等边三角形，即周长的最小值为8. 【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答 18．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明；(2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值；(3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 【答案】(1)见解析(2)(3)当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析 【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明； （2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明； （3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明． 【详解】（1）解：证明：如图1中， 四边形是平行四边形，，， 翻折得到，，，， ，，； （2）连接交于点O，连接，点F与D关于对称，， 当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为； （3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上． 理由：与互相平分，，，， ，，即， 翻折得到，，点D、C、F在同一条直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 79 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2023·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一个动点，则周长的最小值为 ． 例3．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（    ） A．9 B．15 C．24 D．27 例4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·广东·八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，，都在格点上．画出关于直线对称的；在直线上找一点，使的值最大，在图形上画出点的位置，并直接写出的最大值． 例2．（2023.山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 例3．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______． 例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2024七年级下·广东·专题练习）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 例2．（2024·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°． 例3．（2024·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 例3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是 ． 1．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在等边三角形中，于，点分别为上的两个定点，且，在上有一动点使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图所示，在边长为4的正三角形中，分别为的中点，点P是上一个动点，连接，则的周长的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，已知，平分，，在上找一点M，在上找一点N，则的最小值是（   ）    A．40 B．32 C．24 D．20 4．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点C为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．4 B．9 C．11 D．13 5．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 6.（2023·重庆·八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（　　） A．7 B．6 C．9 D．10 7．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2024·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（       ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，点E和点D分别在和边上，，，连接，点F和点G分别是线段和上的两个动点，，的面积是6，则的最小值是 ． 10．（2023·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ___． 11（2023·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______． 12．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，点是边的中点，连结，，若点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 13．（2024·湖北·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 14．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE的最大值是 　 　． 15．（2023·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________． 16．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　 　°． 17．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值． 18．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明；(2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值；(3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$