专题13 等腰三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题13 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 5 10 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 例2．（2023·辽宁盘锦·八年级校考月考）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（　　） A．26或28 B．26 C．28 D． 例3．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为，一边长为，则其它两边长是（    ） A．， B．， C．，或， D．， 例4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（2023春·四川达州·七年级校考期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 例2．（24-25八年级上·广东·期中）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2024·吉林长春·八年级校考期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 例2．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 例3．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为 ． 例4．（2023·安徽阜阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点，，则.请在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为 . 例5．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．(1)用含的代数式表示线段的长；(2)连结，当时，求的值；(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．    1．（2023春·四川成都·七年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（　　） A． B． C．或 D．以上都不是 3.（2023·浙江·八年级课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 5．（2024·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（       ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．（2023·北京九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（    ）    A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4 8．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是 ． 9．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ． 10．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）等腰三角形的一角为，则其顶角的大小是 ． 11．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角是 ． 12．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若，则该等腰三角形的顶角为 度． 13．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如果等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为和9两部分，那么这个等腰三角形的腰和底的长分别是 ． 14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有____个． 15．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是 ． 16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个． 17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段和射线有公共端点． 求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹） 18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点． （1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数． （3）等边三角形的巧妙点的个数有（       ） A．2个        B．6个 C．10个        D．12个 19．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；(3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．    (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 5 10 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再运用三角形的内角和定理即可求解，注意分类讨论． 【详解】解：∵，∴， 当顶角为，即，则， 当底角为，即，∴的度数为或，故选：D． 例2．（2023·辽宁盘锦·八年级校考月考）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（　　） A．26或28 B．26 C．28 D． 【答案】A 【分析】分8是底边和腰长两种情况讨论求解． 【详解】解：若8是底边，则三角形的另两边分别为10、10，能组成三角形，周长， 8是腰长，则三角形的另两边分别为8、10，能组成三角形，周长． 综上所述，它的周长m的取值为26或28．故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论． 例3．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为，一边长为，则其它两边长是（    ） A．， B．， C．，或， D．， 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质和构成三角形的条件即可得． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，一边长为， ∴①当底边长为时，其它两边长是， ②当腰长为时，其它两边长是或，，此时三边不能构成三角形， 综上，其它两边长是，，故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件，解题的关键是掌握这些知识点． 例4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．根据等腰三角形的定义，分、两种情况，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意，当即时，的三边长分别为5，5，6，满足，能构成等腰三角形； 当即时，的三边长分别为5，6，6，满足，能构成等腰三角形， 综上，当为等腰三角形时，a的值为4或5，故选：C． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（2023春·四川达州·七年级校考期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】或/或 【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1，为高，，， ，； 当在外部时，如图2，为高，，， ，，而，， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．故答案为：或．    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 例2．（24-25八年级上·广东·期中）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ． 【答案】6或8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，然后分别列方程求解即可． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y，由题意知，周长的两部分为9和12， 则或，解得：或； 经检验，都符合三角形的三边关系．所以等腰三角形的腰长为6或8．故答案为：6或8． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2024·吉林长春·八年级校考期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质解题． 【详解】解：如图：网格中满足条件的点C的个数为6个，故选：B． 【点睛】本题考查网格作图—等腰三角形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 例2．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，，∴，如图： ， 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个，故选：B． 例3．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【答案】或 【分析】画出图形，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：分两种情况讨论：①如图，，       ∴，∴； ②如图，，∴， ∵，，∴， ∴；综述：等腰三角形的顶角的度数为或. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，恰当分类并画出图形是解题的关键. 例4．（2023·安徽阜阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点，，则.请在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为 . 【答案】、或 【分析】分两种情况求解：①AB=AC，②AB=BC． 【详解】解：①当AB=AC时，∵AO⊥BC,∴OC=BO=3，∴C（-3，0）; ②当AB=BC=5时， 若点C在B点左侧，CO=BC-BO=2， 此时点C的坐标为（-2，0）; 若点C在B点右侧， CO=BO+BC=8，此时点C的坐标为（8,0）.综上所述，满足条件的点C有3个. 故答案为：、或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质以及分类讨论，做题时需注意两点，一是注意点C必须位于x轴上，二是注意不能漏解，应分AB=AC与AB=BC两种情况分别解答，难度适中． 例5．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长；(2)连结，当时，求的值；(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．    【答案】(1)(2)或(3)或． 【分析】（1）根据题意分情况讨论，列出代数式，即可求解； （2）根据题意，以及含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解；（3）依题意，得出为等腰三角形，分点从点运动到点以及从点返回，两种情况分析，即可求解． 【详解】（1）解：∵，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．∴， 当时，；当时， 综上所述， （2）解：如图所示，当在线段上时， ∵是等边三角形，∴，， 当时，∴∴解得：       当在的延长线上时，∵，∴ ∴∴∴解得： （3）解：如图所示，当时，在上运动时，       ∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形，∴， ∵，．∴点在上运动的时间为：，在上运动的时间为， 当点从点运动到点的过程中，，∴解得：； 当，即点在的延长线上时，此时点从D运动回点C 当点从点返回时，，；∴解得：； 综上所述，当为等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（2023春·四川成都·七年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】分是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、，因为,故不能组成三角形； ②是底边长时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是．故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 2．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（　　） A． B． C．或 D．以上都不是 【答案】D 【分析】等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论． 【详解】∵等腰三角形的一个外角等于，∴等腰三角形的一个内角为， ①当为顶角时，其他两角都为、， ②当为底角时，其他两角为、，所以等腰三角形的底角可以是，也可以是．故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错． 3.（2023·浙江·八年级课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：若为等腰三角形则有和三种情况， ①当时，则有，故； ②当时，则； ③当时，则，综上可知：不可能为；故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：如图： 在中，，，， 当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形；当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有8个．故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定． 5．（2024·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（       ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可． 【详解】解：如图， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）． ③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8； ∴符合条件的点有8个．故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏． 6．（2023·北京九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论． 【详解】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示： ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴， ∵，∴是等边三角形， ∴点重合，∴符合条件的点P有2个；故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（    ）    A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解． 【详解】解：当时，，， 当时，则，，三条线段，，不能构成三角形， 当时，则，，三条线段，，不能构成三角形，故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 8．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是，则底角的度数是 ． 【答案】或 【分析】根据题意分等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况，分别根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，，∴， ∴∴三角形的底角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵，，∴， ∵，∴∴ ∴三角形的顶角为，故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 9．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ． 【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3) 【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时，作CP⊥y轴于P点，则∠CPB=∠BOA=90°， ∵∠ABC=90°，∴∠PBC+∠OBA=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠OBA=∠PCB， 在△OBA和△PCB中，∴OB=PC，OA=PB， 由题意，OB=4，OA=2，∴PC=4，PB=2，∴OP=2+4=6，∴此时，C点坐标为(4，6)； ②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时， 作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°，同①理，可证得△BOA≌△AQC， ∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，∴OQ=2+4=6，∴此时，C点坐标为(6，2)； ③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时， 作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°， 同①理，可证得△BMC≌△CNA，∴AN=MC，CN=BM， 则，即：，解得：，∴ON=2+1=3， ∴此时，C点坐标为(3，3)； 综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)；故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3) ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质求解是解题关键． 10．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）等腰三角形的一角为，则其顶角的大小是 ． 【答案】或 【分析】等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意讨论即可． 【详解】解：分两种情况：当的角是底角时，，则顶角度数为； 当的角是顶角时，则顶角为；故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 11．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角是 ． 【答案】或 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解． 【详解】解：①当高在三角形内部时，如图： ∵，∴，∵，∴， ∴； ②当高在三角形外部时，如图： ∵，∴，∵，∴， ∴． ∴综上所述，底角是或．故答案是：或． 【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键． 12．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若，则该等腰三角形的顶角为 度． 【答案】90 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵，∴设顶角，则底角，∴， ∴，∴该等腰三角形的顶角为，故答案为：90． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 13．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如果等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为和9两部分，那么这个等腰三角形的腰和底的长分别是 ． 【答案】，或， 【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为和9两部分得到底和要的差是，再根据周长列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为和9两部分， ∴腰与底的差为：， ①当底边比腰长时，设腰为，则底为，由题意可得， ，解得：，， ②当腰比底边长时，设腰为，则底为，由题意可得， ，解得：，， 故答案为：，或，． 【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论． 14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有____个． 【答案】4． 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA为底，可能OA为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）； ②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点； ③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 15．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是 ． 【答案】或 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到. 然后对中的边进行讨论，然后在中，利用三角形内角和定理即可求得的度数. 【详解】∵是的中垂线,∴，∴， ∵,∴，设,则，    ①当时,则在中，根据三角形内角和定理可得：, 解得: ,则； ②当时,, 而, 故此时不成立； ③当时, 在中，根据三角形内角和定理得到： ，解得: ，即的度数为或，答案为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确对 的边进行讨论是解题的关键. 16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个． 【答案】7 【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°． ①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时， ③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时， ⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时； ⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段和射线有公共端点． 求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可． 【详解】如图所示，点、、即为所求． 【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意是等腰三角形的三种情况，避免漏答案． 18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点． （1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数． （3）等边三角形的巧妙点的个数有（       ） A．2个        B．6个 C．10个        D．12个 【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂直平分线，交点P即为所求； （2）分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出∠BPC的度数即可得答案； （3）根据（2）中作图方法画出图形，即可得答案． 【详解】（1）点P为所求， （2）如图：分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P5，图中P1、P2、P3、P4、P5、P6即为所求，共6个， ∵∠BAC=80°，AB=AC，P1P6是BC的垂直平分线， ∴∠ABC=∠ACB=50°，∠BP1A=∠CP1A，∠BAP5=∠BAC=40°， ∵AP1=AB，∴∠P1BA=∠BP1A，∴∠BAP5=2∠P1BA=40° ∴∠P1BA=20°，∴∠BP1C=2∠P1BA=40°， ∵AP2=AC，BP2=BC，∴∠AP2C=∠ACP2，∠BP2C=∠BCP2， ∴∠AP2C+∠BP2C=∠ACP2+∠BCP2，∴∠BP2A=∠BCA=50°， ∴∠ABP2=∠ABC=50°，∴∠P2BC=100°， ∴∠BP2C=（180°-∠P2BC）=40°，同理可得：∠BP3C=40°， ∵∠BAP5=40°，AP5=BP5，∴∠ABP5=∠BAP5=40° ∵∠ABP5=∠BAP5=40°，∴∠P5BC=∠ABC-∠ABP5=10°， ∵BP5=CP5，∴∠BPC=180°-2∠P5BC=160°， ∵AC=AP4，∠CAP4=40°，∴∠APC=70°，∴∠BPC=2∠APC=140°， ∵AC=CP6，∴∠AP6C=∠CAP6=40°，∴∠BP6C=2∠AP6C=80°． 综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°． （3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键． 19．（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；(3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论．（1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，，， ，； 当，时，， ，； 当时，，， ，； 当，时，，， ，， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．    (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形． 【答案】(1)6(2)2(3)存在，此时M、N运动的时间为8秒(4)或或或9秒 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于，所以只要，就是等边三角形；（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N在、、上运动的三种情况，再分别就是和，列方程求解可得． 【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合， 则，解得：，即当点M、N运动6秒后，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，如图1，，， ，， ∵，当时，是等边三角形，∴，解得， ∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形； （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2，假设是等腰三角形， ∴，∴，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， 在和中，∵，，， ∴（AAS），∴，∴，解得，符合题意， 所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以为底边的等腰三角形； （4）解：当点N在上运动时，如图3， ，， ，， 若，∵，，∴，∵，∴，即，解得； 如图4，若，由得，解得； 当点N在上运动时，点M也在上，此时A、M、N不能构成三角形； 当点N在上运动时，如图5， 当点N位于中点处时，由是等边三角形知，即是直角三角形， 则，解得；如图6， 当点M位于中点处时，由是等边直角三角形知，即是直角三角形，则； 综上，当，，，9时，可得到直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$