专题16 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题16 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 2 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 21 47 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．（23-24八年级上·广西贵港·期中）如图，点在等边三角形的内部，，，，垂足分别为，，，若，且，则的边长为 ． 例2．（23-24山西八年级上期末）已知，在等边三角形中，为边上的高. 操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由； 拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 例3．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、的边上的高为．回答以下问题： (1)如图（1）若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明．    模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，是等腰三角形，点O 是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为4，面积为10，则的值为（        ） A．10 B．8 C．7 D．5 例2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，若，，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 例3．（23-24八年级上·河北承德·期末）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答． (1)甲同学提出：___________度； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，则有，请写出的直接依据：___________； (4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F，H，则有．请你为丁同学说明理由． 例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长． 例5．（2023·江西·二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②长方形；③正方形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________． ②如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由． 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 2．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．    4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点于点．若，则 ． 5．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点．则 ． 6．（2024·重庆九龙坡·二模）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点． 求证：．    证明：如图，连接．，，， ，，． ，①______，即． ②______，，③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 7．（2024八年级·广东·培优）如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为 ． 8．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      9．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F．若，求的长．    10．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 11．（23-24七年级下·重庆·课后作业）如图,已知在△ABC中,AB=AC=4,P是BC边上任一点,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足.若△ABC的面积为6,问:PD+PE的值能否确定?若能确定,值是多少?请说明理由. 12．（23-24上海八年级上期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F．(1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明； (2)在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(不必证明)； (3)如图②，过点C作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明． 13．（23-24绵阳八年级上期中）如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高． (1)当点在的什么位置时，？并证明．(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明． 14．（23-24八年级上·河南新乡·期中）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探：（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如下图． 在中，，D是的中点，，，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是．并且展示了他们的证法如下： 证明：如上图，∵，；∴； ∵；∴（依据1）；∵D是的中点；∴； 在和中，∴（依据2）；∴． 请写出依据1和依据2的内容：依据1：_____．依据2：______． （2）类比探究：奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在下图中，若，分别为和的中线，那么仍然成立； ②在下图中，若，分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． 15．（23-24九年级上·山西运城·期中）阅读与理解:如图1，在等边三角形中，点是上一点，于点，于点，于点，则有． 证明：作于点，则． ，，，． ．四边形是矩形． ，，．，． 是等边三角形，．．…… (1)请按照上面的证明思路，完成该结论证明的剩余部分； (2)如图2，将矩形沿着折叠，使点与点重合，点落在处，点为折痕上一点，过点作于，于．若，，求的长为___________． (3)如图3，点是上一点，，于点，于点，，则的长为___________． 16．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（23-24八年级上·广西南宁·期末）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、(1)如图1，若点是的中点时，求证： (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 18．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）阅读与思考 (1)【特例呈现】如图1所示，数学活动课上，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．请利用图2证明这个命题． 已知：如图2，在等腰中，，点为中点，于点，于点． 求证：． (2)【一般探索】在动手操作探究过程中，小明又发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形外部一点，满足点到等腰三角形的两顶点的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图3所示．请补全已知，并证明． 已知：在等腰中，，于点，于点， ．求证：．    (3)【问题拓展】 小明继续探究：利用已有学习经验，尝试改变条件和结论位置，提出猜想：对于平面上的一点，若满足点到一个三角形的两顶点的距离相等，且点到边所在直线的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．小明认为这个猜想一定成立，但他的同学小强认为这个猜想不一定成立，你同意谁的想法？若同意小明的想法，请画图并说明理由；若同意小强的想法，请画出反例． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由. 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析. 【分析】(1)根据三角形的面积公式计算即可证明.(2)由题意可得∠BAD=∠CAD=30°,利用30°直角三角形所对的边是斜边的一半,即可得出,即可推出.(3) 连接, 由题意得:,利用三角形的面积公式即可证. 【详解】（1）. 根据三角形的面积公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD即: ∵△ABC是等边三角形,即:AB=AC=BC,∴. （2） 理由如下：∵为等边三角形∴ ∵为边上的高∴ 又∵，，∴∴ （3） 理由如下：如图，连接， ∵为等边三角形，∴ ∵为边上的高，∴ ∵，，，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形的综合知识,关键在于灵活利用面积公式. 例3．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、的边上的高为．回答以下问题： (1)如图（1）若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明．    【答案】(1)，证明见解析(2)(3) 【分析】（1）连接，由是等边三角形可得，由，，，可得，即可得到答案； （2）连接、、，由是等边三角形可得，由，，，，可得，即可得到答案；（3）连接、、，由是等边三角形可得，由，，，，可得，即得到答案． 【详解】（1）解：，证明：如图，连接， ，  ， 是等边三角形，，，，， ，，， ，，； （2）解：如图，连接、、，是等边三角形，， ，，，， ，，，， ，，， ，； （3）解：如图，连接、、，     ， 是等边三角形，，，，，， ，，，， ，，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、与三角形的高有关的面积的计算，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，是等腰三角形，点O 是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为4，面积为10，则的值为（        ） A．10 B．8 C．7 D．5 【答案】D 【分析】如图所示，连接，根据三角形面积公式得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等腰三角形，点O 是底边上任意一点，分别与两边垂直， ∴，， ∵，∴， ∴，∴，故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形面积，熟知三角形面积公式是解题的关键． 例2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，若，，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，先由折叠判断出BE＝BF，进而利用等面积法得出PG+PH＝EQ，再求出BF，最后利用折叠的性质，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP， ∵四边形ABCD是长方形，∴ADBC，∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF， ∵PG⊥BE、PH⊥BC，∴S△BEF＝S△BEP+S△BFP＝BE•PG+BF•PH＝BF（PG+PH）， 又∵S△BEF＝BF•EQ，∴BF（PG+PH）＝BF•EQ，∴PG+PH＝EQ， ∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝∠A＝∠ABC＝90°，AB＝DC， ∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝10． ∵折叠，∴F＝CF＝6，∠＝∠C＝90°，DC＝B，∵CD=8，∴AB＝DC＝B＝8， ∵∠A＝∠ABC＝90°，EQ⊥BC，∴四边形ABQE是长方形， ∴EQ＝AB＝8，∴PG+PH＝EQ＝8．故选：B． 【点睛】主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定，解本题的关键是利用等面积法判断出PG+PH＝EQ． 例3．（23-24八年级上·河北承德·期末）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答． (1)甲同学提出：___________度； (2)乙同学提出：的面积为：___________； (3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，则有，请写出的直接依据：___________； (4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F，H，则有．请你为丁同学说明理由． 【答案】(1)(2)25(3)角平分线的性质(4)见解析 【分析】（1）利用等边对等角，进行计算即可；（2）过点作，交于点，根据所对的直角边，是斜边的一半，求出的长，再利用面积公式进行计算即可； （3）利用等腰三角形三线合一，以及角平分线的性质，作答即可；（4）利用等积法，进行证明即可． 【详解】（1）解：∵，，∴；故答案为：； （2）解：过点作，交于点，则：， ∵，，∴， ∴；故答案为：； （3）解：连接，法一：∵，点D为边的中点，∴平分， ∵，，∴（角平分线上的性质）；故答案为：角平分线的性质； 法二：∵，点D为边的中点，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴（全等三角形的性质）； 综上：可以用角平分线的性质，也可以用全等三角形的性质，得到； 故答案为：角平分线的性质或全等三角形的性质； （4）证明：连接， ∵，，，∴， ∵，，∴， 即：，∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，含的直角三角形，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形等边对等角，三线合一，是解题的关键． 例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长． （3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长． 【答案】证明见解析 【分析】（1）首先过点作，垂足为点；连接，根据列出等式，，然后根据，即可得证； （2）首先过点作，垂足为点；连接，根据，得出，然后根据，即可得证； （3）根据，得出关系式，然后根据为等边三角形，得出，即可得证. 【详解】（1）过点作，垂足为点；连接． ∵，∴． 又∵，∴，为定长．即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长． （2）过点作，垂足为点；连接． ∵，∴． 又∵，∴，为定长． 即等腰三角形底边的延长线上的任意一点，到两腰的距高之差等于定长． （3）∵，∴． 又∵为等边三角形，∴．∴，为定长． 即等边三角形内一点到三边距离之和为定长． 【点睛】此题主要考查利用面积构建等式，结合等腰三角形和等边三角形的性质，即可解题. 例5．（2023·江西·二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②长方形；③正方形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________． ②如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1)②④(2)①或或；②见解析(3)不会发生变化，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形、长方形、正方形、等腰梯形的性质即可解答； （2）①分当和、时三种情况求解； ②由得，根据对角线平分，得，故，即证得四边形为等邻角四边形； （3）过C作于H，过P作于G，由，，得四边形是矩形，得，可证明，得，即有，从而说明在点P的运动过程中，的值总等于C到的距离，不会变化． 【详解】（1）解：①平行四边形的邻角互补，不是等邻角四边形； ②长方形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形； ③正方形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形；④等腰梯形的两个底角相等，是等邻角四边形． 综上，②④是等邻角四边形．故答案为：②④； （2）解：①当时，四边形为“等邻角四边形”， ∵，∴； 当时，四边形为“等邻角四边形”， 当时，四边形为“等邻角四边形”， ；故答案为：或或； ②∵，∴， ∵对角线平分，∴， ∴，∴四边形为等邻角四边形； （3）解：在点P的运动过程中，的值不会发生变化，理由如下： 过C作于H，过P作于G，如图： ∵，，∴， ∴四边形是矩形，∴，，即，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴（）， ∴，∴， 即在点P的运动过程中，的值总等于C到AB的距离，是定值． 【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别计算和的面积，再根据等腰三角形的面积直接可求出的值． 【详解】解：连接，由题可知：，，    ，， ，，，，故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分割法求面积，再利用等面积转化是解决问本题的关键． 2．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AO，根据三角形的面积公式即可得到ABOE＋ACOF＝15，根据等腰三角形的性质即可求得OE＋OF的值． 【详解】解：连接AO，如图， ∵AB＝AC＝6，∴S△ABC＝S△ABO＋S△AOC＝ABOE＋ACOF＝15， ∵AB＝AC，∴AB（OE＋OF）＝15，∴OE＋OF＝5．故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】由等腰三角形的性质得，由，得，根据证明得，，求出的长，进而可求出的面积． 【详解】解：∵点D是等腰的底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的“三线合一”，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点于点．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形的相关计算． 设，则，根据等边三角形的性质得出，进而得出，进而得出．，再根据进而求得结果． 【详解】解：设，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：9． 5．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点．则 ． 【答案】/7厘米 【分析】连接、、，根据、、的面积和等于的面积，由等边三角形的三边相等，即可得出结论． 【详解】解：连接、、，作边上的高，如图所示： ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积的计算方法；通过作辅助线，根据三角形面积相等得出结论是常用的方法． 6．（2024·重庆九龙坡·二模）学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点． 求证：．    证明：如图，连接． ，，， ，，． ， ①______， 即． ②______， ， ③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 【答案】，①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高 【分析】本题主要考查了做已知线段的垂线，以及利用等面积法证明过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段这两条垂线段长度的和等于一腰上的高．根据作垂线的方法先做出的垂线，再按照所给的证明方法一步步证明即可． 【详解】作图如下：    证明：如图，连接． ，，， ，，． ， ①， 即． ②， ， ③． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 故答案为：①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 7．（2024八年级·广东·培优）如图所示，已知，分别是与的平分线，点D是的中点，若点D到两边的距离均为6，则点D到边的距离为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，先根据等边对等角得到，则由角平分线的定义得到，证明，得到，则；由角平分线的判定定理得到平分，则由三线合一定理得到，则，如图所示，过点E作，垂足分别为N、M，由角平分线的性质得到，证明，得到，则，由平行线的性质得到，即点D到边的距离为12． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D到两边的距离均为6， ∴平分， ∴， ∴， 如图所示，过点E作，垂足分别为N、M， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D到边的距离为12， 故答案为：12． 8．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    9．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F．若，求的长．    【答案】 【分析】根据，结合已知条件，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，   于点E，于点F， ， ，， ． 【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 10．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 【答案】(1)，理由见解答 (2)（1）中关系还成立，理由见解答 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在解决一题多变的时候，基本思路是相同的，注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用． （1）如图，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解， 理由：如图1，连接， ∵于于于， ∵， 又∵ ∴， ∵ ∴； （2）（1）中关系还成立， 理由：连接， ， 又， 11．（23-24七年级下·重庆·课后作业）如图,已知在△ABC中,AB=AC=4,P是BC边上任一点,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足.若△ABC的面积为6,问:PD+PE的值能否确定?若能确定,值是多少?请说明理由. 【答案】PD+PE的值能确定,且PD+PE=3 【详解】试题分析：可连接AP，由图得，S△ABC=S△ABP+S△ACP，代入数值，求解即可． 试题解析：解：PD+PE的值能确定，且PD+PE=3．理由如下： 如图，连接AP． 由图可得S△ABC=S△ABP+S△ACP． 因为PD⊥AB，PE⊥AC，AB=AC=4，△ABC的面积为6， 所以6=×4×PD+×4×PE=2（PD+PE）． 所以PD+PE=3． 点睛：本题考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 12．（23-24上海八年级上期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F． (1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明； (2)在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(不必证明)； (3)如图②，过点C作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明． 【答案】(1)当点D在BC的中点时，DE=DF；证明见解析 (2)有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD(3)CG=DE+DF，证明见解析 【分析】（1）因为当△BED和△CFD全等时，DE=DF，所以当点D在BC中点时，可利用AAS判定△BED和△CFD全等，利用全等三角形的性质可得DE=DF；（2）在（1）的结论下：DE=DF，BD=CD， 利用SSS可判定△ADB≌△ADC；利用HL可判定△AED≌△AFD，利用AAS可判定△BED≌△CFD，所以有3对全等三角形；（3）连接AD，根据三角形的面积公式即可求证． 【详解】（1）解：当点D在BC的中点上时，DE=DF；理由如下： ∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°， ∵在△BED和CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF． （2）解： 根据解析（1）可得：△BED≌△CFD；∵△BED≌△CFD，∴DE=DF， ∵在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴△AED≌△AFD（HL）； ∵在△ABD和△ACD中，∴△ADB≌△ADC（SSS）； 综上分析可知，有3对全等三角形，分别为：△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD． （3）解：CG=DE+DF；理由如下：连接AD如图所示： ∵，∴， ∵AB=AC，∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 13．（23-24绵阳八年级上期中）如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高． (1)当点在的什么位置时，？并证明．(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明． 【答案】(1)当D点在BC的中点位置时，，证明见解析(2)，证明见解析 (3)（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是： 【分析】（1）根据中点的性质可得，根据等边对等角可得，进而即可；（2）连接，根据可得，根据可得结论；（3）同（2）的方法求解即可 【详解】（1）当BD=CD时，DE=DF. 理由：∵是的中点.∴，又，∴，，， ∴，∴，∴ （2）.连接， ，即，∵，∴ （3）连接，同理可得 即 ∵，∴ 故（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的高，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 14．（23-24八年级上·河南新乡·期中）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探： （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如下图． 在中，，D是的中点，，，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是．并且展示了他们的证法如下： 证明：如上图， ∵，； ∴； ∵； ∴（依据1）； ∵D是的中点； ∴； 在和中， ∴（依据2）； ∴． 请写出依据1和依据2的内容： 依据1：_____． 依据2：______． （2）类比探究： 奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在下图中，若，分别为和的中线，那么仍然成立； ②在下图中，若，分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． 【答案】 （1）依据1：等腰三角形的两个底角相等或等边对等角，依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（答案不唯一） （2）选择①，证明见解析（选择②，证明见解析） 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定依据识别，跟根据等腰三角形的性质，及全等三角形的判定依据直接可以得到所填内容． （2）本题主要考查全全等三角形行的判定和性质，直接依据腰上的中线可直接找到，再根据等边对等角和底边中线的性质，直接可以判定两三角形全等． 【详解】解：（1）依据1：等腰三角形的两个底角相等或等边对等角， 依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等或角角边或， 故答案为：等边对等角（答案不唯一），两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（答案不唯一）． 类比探究： （2）选择①证明： ∵，是和的中线， ∴，， ∵， ∴，， 又∵D是的中点， ∴， 在与中， ； ∴， ∴； 选择②证明： ∵，D是的中点， ∴，，， ∴， 又∵，分别是和的平分线， ∴， 在与中， ； ∴， ∴． 15．（23-24九年级上·山西运城·期中）阅读与理解 如图1，在等边三角形中，点是上一点，于点，于点，于点，则有． 证明：作于点，则． ，，， ． ． 四边形是矩形． ，，． ，． 是等边三角形， ． ． …… (1)请按照上面的证明思路，完成该结论证明的剩余部分； (2)如图2，将矩形沿着折叠，使点与点重合，点落在处，点为折痕上一点，过点作于，于．若，，求的长为___________． (3)如图3，点是上一点，，于点，于点，，则的长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，可得，进而得到 （2）利用折叠前后的变化特征，在中，由勾股定理可得：，进而可得： （3）延长，相交于点，过点B作，交于点G，利用面积相等，可得，进而可得的长度 【详解】（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）∵将矩形沿着折叠，使点与点重合，点落在处， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴等腰三角形中，边上的高为， ∴ （3）延长，相交于点，过点B作，交的延长线于点G， ∵， ∴为等腰三角形， ∴，连接， ∵， 又∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了折叠问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决问题的关键是对相关知识点的熟练应用 16．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为定值， 【分析】（1）利用证得，则由“全等三角形的对应边相等”可得，由角平分线的判定定理可得结论； （2）由等积法可求解即可． 【详解】证明：（1）∵为的中点，∴． 又∵，，∴ ∴在与中，， ∴，∴， 又∵，，∴是的角平分线； （2）如图②，连接， ∵，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 17．（23-24八年级上·广西南宁·期末）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、(1)如图1，若点是的中点时，求证： (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）根据，即可得证；（2）根据，即可得出结论； （3）根据得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵，点是的中点，、 ∴即，∴， （2）解：，理由如下，如图所示，连接， ∵， 、，为腰上的高， ∴∴∴， （3）解：如图所示，过点作于点， ∵， 、，，∴ ∴∴ 若，则． 【点睛】本题考查了三角形高的计算，含30度角的直角三角形的性质，等面积法是解题的关键． 18．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）阅读与思考 (1)【特例呈现】如图1所示，数学活动课上，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．请利用图2证明这个命题． 已知：如图2，在等腰中，，点为中点，于点，于点． 求证：． (2)【一般探索】在动手操作探究过程中，小明又发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形外部一点，满足点到等腰三角形的两顶点的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图3所示．请补全已知，并证明． 已知：在等腰中，，于点，于点， ．求证：．    (3)【问题拓展】 小明继续探究：利用已有学习经验，尝试改变条件和结论位置，提出猜想：对于平面上的一点，若满足点到一个三角形的两顶点的距离相等，且点到边所在直线的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．小明认为这个猜想一定成立，但他的同学小强认为这个猜想不一定成立，你同意谁的想法？若同意小明的想法，请画图并说明理由；若同意小强的想法，请画出反例． 【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3)见解析 【分析】（1）根据角平分的性质或证明即可求解； （2）运用垂直平分线的性质或全等三角形的判定和性质即可求解； （3）运用直角三角形的斜边直角边的判定方法进行证明即可． 【详解】（1）证明方法一：如图所示，连接，    点为中点，，，为的角分线， ，，； 方法二：，， ，，点为中点，， 在和中，，，． （2） 证明：方法一：如图所示，连接，         当时，，，∴， ∴，点在的垂直平分线上， ，，，故答案为：，证明方法如上； 方法二：由（1）得，， 当时，， ，，， 在和中，，， ∴，故答案为：，证明方法如上． （3）解：同意小强的想法，证明如下， 如图所示，点是外的一点，，于点，延长线于点，且， ∴在中，，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∵，，∴，则， ∴，即不是等腰三角形，∴小强的想法是对的，即同意小强的想法． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$