专题08 将军饮马模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题08 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 79 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2023·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E关于直线的对称点，连接，的长度是绳子最短的长度．所经过的点C就是要选择的木杆． 【详解】如图，作E关于直线AG的对称点，连接，交于点C，连接，则点C所在的木杆c应优先选择． ∵点E与点关于对称，∴，∴， 由两点之间线段最短可知此时的值最小．故选C． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，通过作轴对称构造两点之间线段最短是解答本题的关键． 例2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，等边中，点是边的点，的平分线交边于点，，点是线段上的任意一点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据等边三角形的三线合一得到A点对称点是B点，过B作即可得到最小距离和点，即可得到答案； 【详解】解：∵是等边三角形的角平分线，∴点A关于对称点是B点，过B作交于一点即为P点，此时的值最小等于，，， ∵∴，∵，是等边三角形， ∴，，∴，∴，故答案为：；    【点睛】本题考查轴对称最短距离和问题及垂线段最短，解题的关键是根据轴对称找到最短距离点． 例3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接．∵，D是中点，∴于点D，    ∵，，∴，∴， ∵垂直平分，∴，∴， ∴，∴的最小值为6．故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 例4．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，中，，平分，如果点M，N分别为上的动点，求： (1)画出点N关于的对称点； (2)当点（随点M和N的运动）运动到何处时，取得最小值？并求出最小值． 【答案】(1)图见解析(2)的最小值是 【分析】本题考查了轴对称的性质以及垂线段最短等知识点，掌握相关结论即可． （1）以点为圆心，长为半径画圆，与的交点即为点； （2）作，当与E重合时，取得最小值，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：点即为所求， （2）解：作，当与E重合时，取得最小值 由轴对称可知：，∴． ∵∴即： ∴即的最小值是． 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、含度角的直角三角形等知识点，作点关于的对称点，连接，作交于点，当时，有最小值，据此即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则，∴， ∵点E别是上的动点，∴时，有最小值 ∵，∴故答案为： 例6．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，， 则，，，，是的中点，，， ，当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小，，为的中点，， 又，， ，的最小值为．故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·河北衡水·八年级期末）如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知，，，画出关于轴对称的图形△，并写出的坐标；（2）在轴上画出点，使最小；（3）在（1）的条件下，在轴上画出点，使最大． 【答案】（1）见解析；B1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连结，则△为所求， 点，关于y轴对称，横坐标符号改变B1（2，0）； （2）连结AC1，交y轴于点P，两用两点之交线段最短知AC1最短即可； （3）延长C1B1交y轴于M，利用两边之差小于第三边即可． 【详解】解：（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连结，则△为所求， 点，关于y轴对称，横坐标符号改变B1（2，0），如图；B1（2，0）； （2）连结AC1，交y轴于点P，两用两点之交线段最短知AC1最短， 则PA+PC=PA+PC1=AC1，则点P为所求，如图； （3）延长C1B1交y轴于M，利用两边之差小于第三边，最大=C1B1，如图． 【点睛】本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键． 例2．（2024·贵州黔东南·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=3， AC=4， BC=5， EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为_______________ 【答案】3 【分析】由三角形三边关系可知当点P在BA的延长线上时|PA-PB|的值最大． 【详解】解：如图所示，延长BA交直线EF于点P，此时|PA-PB|=AB=3最大，故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，确定P的位置是解题的关键． 例3．（2024·河南·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴， ∵点A与A′关于CD对称，∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 例4．（2023·重庆·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___． 【答案】10 【分析】如图，过点F作FH⊥EC于H.过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长． 【详解】解：如图，过点F作 FH⊥EC 于H． ∵△CFE的面积为8，即EC⋅FH=8，CE=8，∴FH=2， 过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长，过点C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ， ∴四边形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8， ∵AE=10，∴AK=AE−EK=10−4=6，∴AC'=， ∴|FA−FC|的最大值为10．故答案为10． 【点睛】本题考查轴对称−最短问题，三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2024八年级·湖北培优）如图，，角内有一点，在角的两边上有两点（均不同于点），则的周长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点P关于的对称点M、N，连接，由轴对称的性质得到，进而得到当四点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为的长，证明，利用勾股定理求出的长即可得到阿安． 【详解】解：作点P关于的对称点M、N，连接， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为的长， ∵，∴， ∴，∴的周长的最小值为2，故答案为：2． 例2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，的最小值是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．分别作点P关于的对称点D、C，连接，分别交于点M、N，由对称的性质得出，证出是等边三角形可得即可解答． 【详解】解：分别作点P关于的对称点D、C，连接，分别交于点M、N，连接，如图所示：      ∵点P关于的对称点为D，关于的对称点为C，∴； ，∴， ∵的最小值是，∴，即， ∴，即是等边三角形，∴，∴．故选A． 例3．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在凸四边形中，若，分别为边，上的动点，，，，，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由勾股定理得到，作关于的对称点为，作关于的对称点为，连接，交与，交于，连接，，则，，，，，得到，过作，解直角三角形得到，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接，∵，∴由勾股定理得，， 作关于的对称点为，作关于的对称点为，连接，交与，交于，连接，，则，，，，， ，∴， 过作，，，， ，， 的周长为， 当、、、四点共线时，的周长最小，为，即为，故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握知识点，之前推荐辅助线是解题的关键． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（23-24八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了线路最短的问题，轴对称性质以及勾股定理，如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则，，为最小值，再由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵，∴， ∴， ∴，即的最小值为10，故选：D． 例2．（2024八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质．作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则，则，当四点共线时，最小,具体见详解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作点关于的对称点，则，∴ 当四点共线时，最小，连接， ∵则, ∴∵, 过作垂直的延长线交于点，∴ 在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知， 则，∴ 即的最小值为．故答案为：． 例3．（23-24九年级下·上海·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图， ∵点关于轴的对称点，∴，， ∵A点关于直线的对称点，，∴，， ∴，此时，值最小，最小值， ∵，，∴．∴最小值为．故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，此时周长最小，由得，，，，根据、关于对称，进而得出，设，则，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，如图：    ，，，此时周长最小为， 由得，，，是等腰直角三角形， 、关于对称，，， 设，则 在中，即 解得：（负值舍去）即故选：B． 【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，、的位置． 2．（2024·湖南湘西·一模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；②作射线． 若C为上的一点，点A，D位于上，且，，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定取最小值时的情况． 作点D关于的对称点，连接交于点C，推出，当A、C、三点共线，且时，最短，根据，即可解答． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接交于点C， ∵点D和点关于对称，∴，∴， 当A、C、三点共线，且时，最短， ∵，，∴，∴最小值为2，故选：B． 3．（2024·安徽九年级一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（ ） A．6 B．6 C．3 D．3 【答案】D 【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，这样AP＋PQ转化为AP＋PE即可得出答案． 【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H， ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD， ∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ， ∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小， 在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°， ∴AH＝＝，∴AP＋PQ的最小为，故选：D． 【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到BD的另一侧． 4．（2024·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN 的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解． 【详解】解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则 ∵BD平分 ∠ABC ，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=， ∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为，即C点到线段AB某点的连线， ∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度， ∵△ABC 的面积为 10 ，∴，∴CE=5，故选B． 【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．　 5．（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 【答案】A 【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小． 【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小， ∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4， ∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 6．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，，且点的纵坐标为5，为线段上一动点，连接；则的最小值为（    ）    A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，轴对称的性质，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．作点B关于的对称点，连接交于点E，过点作轴于点D，过点C作轴于点F，利用等面积法得到，然后求出，设，则，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，作点B关于的对称点，连接交于点E，过点作轴于点D，过点C作轴于点F，∴    ∴当A，P，三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的纵坐标为5∴， ∴，即解得 ∵点B关于的对称点∴，∴∴设，则 ∵∴∴解得 ∴∴∴ ∴．∴的最小值为．故选：D． 7.（2024•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案． 【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°， ∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 8．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 【答案】50 【分析】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，可知此时最小，此时，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论． 【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴， ∵，∴， ∵，，∴ ， ∴ ．故答案为：50． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强． 9．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________． 【答案】2 【分析】先作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,可证∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, ∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,继而可得△OP′P″是等边三角形,即PP′=OP′=2． 【解析】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″, 由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R, △PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, 所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等边三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案为:2. 【点睛】本题主要考查轴对称和等边三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定. 10．（2024·江苏泰州·九年级专题练习）若点A（3，2），点B（－2，－1），在x轴上找一点P，使|PA－PB|最小，则点P坐标为________ 【答案】 【分析】根据题意可得，当PA=PB时，最小，利用勾股定理求得两点间的距离，然后解方程求解即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，当PA=PB时，最小， ∵点P在x轴上，设点P(a,0)，，， 当PA=PB时，解得：a=，∴点P（，0），故答案为：（，0）． 【点睛】考查两点间的距离公式，理解题意，找准等量关系求解是解题关键． 11．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______． 【答案】5 【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5． 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，B'P． 则，，，． ∵ ，∴，∴ 是等边三角形，∴， 在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5． ∴的最大值是5．故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键． 12．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 【答案】3 【分析】连接PC，则BP=CP，=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解． 【详解】解：连接PC， ∵在等边中，，P是的中线上的动点， ∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CP-PE， ∵在中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE， ∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到=CP-PE，是解题的关键． 13．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点P是射线上一点，点是点P分别关于的对称点．若则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、含30度角的直角三角形以及勾股定理，连接，可得，进而可推出是等边三角形．得，则当取得最小值时，有最小值．据此即可求解． 【详解】解：连接，由对称性可知， ∵，∴，∴是等边三角形．∴， 又∵，∴．则当取得最小值时，有最小值． 过点A作的垂线，垂足为M，∵，∴， ∴．∴故答案为： 14．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且，在y轴上取一点D，连接、、、，使得四边形的周长最小，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称求最短路径问题，坐标与图形的性质，勾股定理，将求四边形的周长最小值转化为求的最小值是解题关键．由题意，得出，进而得到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，当点在位置时，有最小值，最小值为的长，然后利用勾股定理求得，即可得到四边形周长的最小值． 【详解】解：由题意可知，轴，， ，，，，， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ，，， 当点在位置时，有最小值，最小值为的长， 在中，， 四边形的周长最小值为，故答案为：．    15．（2024·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． （1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，； （3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7 【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（SAS）即可；（2）根据DE∥BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出t即可； （3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则DP+PE=D'E，证明△CD′E为等边三角形，即可求D'E的值． 【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE， ∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC， ∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD与BE始终相等； （2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5； （3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC， 作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P， ∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°， ∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值为7． 【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段DP+PE=D'E，再由等边三角形的性质求解D'E的长是解题的关键． 17．（2024·重庆八中八年级期中）阅读理解. 材料一：平面内任意两点 ，间的距离公式为：，特别地，当两个点同时在轴或轴上，或者两点所在直线平行于轴或轴时，两点间的距离公式可化简为或； 材料二：如图1，点，在直线的两侧，在直线上找一点，使得的值最大．解题思路：如图2，作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，则点，之间的距离即为的最大值． 　　 请根据以上材料解决下列问题： （1）已知点，在平行于轴的直线上，点在一三象限的角平分线上，，求点的坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点，请在直线上找一点，使得最大，求出的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）或；（2）， 【分析】（1）点在一三象限的角平分线上，可得：解方程求解 得到的坐标，再画出符合题意的图形，分两种情况求解的坐标即可得到答案； （2）记 由直线是的对称轴，可得关于对称，连接 交直线于此时最大，再利用两点间的距离公式可得最大值，再求解的解析式，求与的交点的坐标即可． 【详解】解：（1） 点在一三象限的角平分线上， 如图，当在的上方时，轴， 当在的下方时，轴， 综上：或 （2）如图，记 由直线是的对称轴， 关于对称，连接 交直线于 连接 则 此时取最大值， 点， 即的最大值为： 设的解析式为： 解得： 的解析式为： ，解得： 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内一三象限，二四象限的角平分线上点的坐标特点，平行于坐标轴的两点之间的距离，轴对称的性质，两点间的距离公式，利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解函数的交点坐标，掌握以上知识是解题的关键． 18．（23-24八年级上·广东深圳·期末）我们学习了平移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题． 如图1，在平面直角坐标系中，，，． (1)【图案设计】作出关于轴的对称图形，并标注出点，，； (2)【拓展应用】如图1，点是轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值为____________． (3)【实际应用】如图2，某地有一块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问的周长最少约多少米？（保留整数）（，） 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点D、E、F的位置，再顺次连接D、E、F即可；（2）作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于P，点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可得到答案；（3）如图所示，作点关于、的对称点、，连接， 由轴对称的性质可得，，，，，，可推出当四点共线时，有最小值，即此时的周长，证明，求出最小周长为． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于P，点P即为所求， 由轴对称的性质可得，则， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为， ∵，∴，又∵，∴，∴的最小值为； （3）解：如图所示，作点关于、的对称点、，连接， 由轴对称的性质可得，，，，，，∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长， ，， 最小周长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 4 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 6 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 7 9 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2023·福建厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，等边中，点是边的点，的平分线交边于点，，点是线段上的任意一点，连接，则的最小值为 ．    例3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 例4．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，中，，平分，如果点M，N分别为上的动点，求： (1)画出点N关于的对称点； (2)当点（随点M和N的运动）运动到何处时，取得最小值？并求出最小值． 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    例6．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·河北衡水·八年级期末）如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知，，，画出关于轴对称的图形△，并写出的坐标；（2）在轴上画出点，使最小；（3）在（1）的条件下，在轴上画出点，使最大． 例2．（2024·贵州黔东南·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=3， AC=4， BC=5， EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为_______________ 例3．（2024·河南·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 例4．（2023·重庆·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2024八年级·湖北培优）如图，，角内有一点，在角的两边上有两点（均不同于点），则的周长的最小值为 ． 例2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，的最小值是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例3．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在凸四边形中，若，分别为边，上的动点，，，，，则的周长的最小值为 ． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（23-24八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 例2．（2024八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 例3．（23-24九年级下·上海·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·湖南湘西·一模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；②作射线． 若C为上的一点，点A，D位于上，且，，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（2024·安徽九年级一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（ ） A．6 B．6 C．3 D．3 4．（2024·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 6．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，，且点的纵坐标为5，为线段上一动点，连接；则的最小值为（    ）    A． B． C．16 D． 7.（2024•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 8．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 9．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________． 10．（2024·江苏泰州·九年级专题练习）若点A（3，2），点B（－2，－1），在x轴上找一点P，使|PA－PB|最小，则点P坐标为________ 11．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______． 12．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 13．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点P是射线上一点，点是点P分别关于的对称点．若则线段长的最小值为 ． 14．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且，在y轴上取一点D，连接、、、，使得四边形的周长最小，则周长的最小值为 ．    15．（2024·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． （1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，； （3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 17．（2024·重庆八中八年级期中）阅读理解. 材料一：平面内任意两点 ，间的距离公式为：，特别地，当两个点同时在轴或轴上，或者两点所在直线平行于轴或轴时，两点间的距离公式可化简为或； 材料二：如图1，点，在直线的两侧，在直线上找一点，使得的值最大．解题思路：如图2，作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，则点，之间的距离即为的最大值． 　　 请根据以上材料解决下列问题： （1）已知点，在平行于轴的直线上，点在一三象限的角平分线上，，求点的坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点，请在直线上找一点，使得最大，求出的最大值及此时点的坐标． 18．（23-24八年级上·广东深圳·期末）我们学习了平移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题． 如图1，在平面直角坐标系中，，，． (1)【图案设计】作出关于轴的对称图形，并标注出点，，； (2)【拓展应用】如图1，点是轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值为____________． (3)【实际应用】如图2，某地有一块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问的周长最少约多少米？（保留整数）（，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$