精品解析：四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期11月学生学业发展指导（文化学科）测评数学试题

【考试时间：2024年11月5日14：15—16：15】 高中2024级学生学业发展指导（文化学科）测评 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页：答题卡共6页．满分150分，测试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，案超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义可求. 【详解】， 故选：C 2. 若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反例可判断ABC的正误，利用不等式的性质可判断D的正误. 【详解】取，则，，故AC错误； 取，则，故B错误； 对于D，由不等式的性质可得成立，故D正确； 故选：D. 3. 设函数，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件求出后可求. 【详解】， 故选：B 4. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求命题为真命题时的取值范围，再求其补集. 【详解】若命题为真命题，则，解得：或， 所以当命题为假命题时，得到取值范围是. 故选：A 5. 下列函数中，是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及幂函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，设，则， 故为上偶函数，而在为增函数， 故A正确； 对于B，设，则，故为上奇函数，故B错误； 对于C，在上为减函数，故C错误； 对于D，，该函数为反比例函数，为 上的奇函数， 故D错误； 故选：A. 6. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】讨论，和三种情况，讨论函数类型，即可判断函数的图象. 【详解】当时，，，为A的图象； 当时，为对勾函数，为B图象； 当时，，函数的零点是，函数的单调递增区间是和，为C图象； 不管为何值，都不可能是D的图象. 故选：D 7. 某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设，则， 因为，所以，解得，其中， 所以花园的面积为， 当且仅当即时等号成立， 故花园的面积的最大值为， 故选：B. 8. 已知函数，对任意，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，不等式转化为，结合函数的单调性，利用参变分离，转化为函数的最值问题，即可求解. 【详解】，在区间和都是增函数，且， 所以函数在上单调递增， 且， 所以不等式， 即，在恒成立， 即，恒成立，即，得或. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ） A. 定义域为 B. 函数在上的值域为 C. 在上单调递增 D. 函数的图象关于轴对称 【答案】AB 【解析】 【分析】根据反例可判断BC的正误，求出函数的定义域后可判断A的正误，判断函数的单调性求出函数的值域后可判断D的正误. 【详解】因为，故其定义域为，故A正确； 而，，故在上不是单调递增， 故C错误， 而，故函数的图象关于轴对称，故D错误； 又当时，因均为增函数，故在上为增函数， 故其值域为，故B正确. 故选：AB. 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“” C. “”的一个必要不充分条件是“” D. 集合中只有一个元素的充要条件是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于ACD，根据各选项中条件之间的推出关系可判断它们的条件关系，根据存在性命题的否定的结构形式可判断B的正误，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，由，而，成立，但不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“”的否定是“”，故B正确； 对于C，若，则，故成立， 若，成立，但， 故“”的一个必要不充分条件是“”，故C成立； 对于D，若，则， 集合中只有一个元素推不出， 但时，，该集合为单元素集合， 故集合中只有一个元素的充分不必要条件是， 故D错误， 故选：ABC. 11. 高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 方程在区间上有4个实数根 C. 函数在上单调递增 D. ，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据高斯函数的定义可得，故可判断A的正误，对于B，分段讨论后可判断其正误，对于C，利用反例可判断其正误，结合A的范围及高斯函数的定义可判断其正误. 【详解】对于A，因为表示不超过的最大整，故， 故，所以，， ，所以，故A正确； 对于B，当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，不是的解， 故方程在区间上有4个实数根，故B正确； 对于C，， 故在上不是单调递增，故C错误； 对于D，由A的分析可得，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于函数新定义题，应根据新定义研究函数的性质，必要时需分段讨论. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的形式，列不等式，即可求解. 【详解】函数的定义域需满足，解得：，且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质计算可求得的值. 【详解】因为，，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 又，所以，解得. 故答案为：. 14. 若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】把原方程的解转化为在上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围. 【详解】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有四个不同的实数根， 故在上有两个不同的正数解， 故，解得或. 故答案为：. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出结合，根据补集并集的定义可求. （2）根据条件关系可得集合的包含关系，从而得到关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围． 【小问1详解】 当时，，而， 故. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集， 故，故. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， . （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据单调性可得，再根据奇偶性可得，从而得到函数解析式； （2）根据单调性和奇偶性可得，解该不等式可得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为在上单调递增，故即， 而为整数，故， 因为幂函数的图象关于轴对称， 故为偶数，故，此时. 【小问2详解】 因为，故， 所以，所以或. 17. 已知，且． （1）若，求的最小值及此时相应的值； （2）若，求的最小值，并求出此时的值． 【答案】（1）的最小值为，此时. （2）的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式求得，故可求其的最小值及对应的的值； （2）利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值及对应的的值，从而可求原代数式的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 当或（舍），故，当且等号成立， 故的最小值为，此时. 【小问2详解】 因为， 故， 又，故， 当且仅当时等号成立， 而， 故的最小值为，此时. 18. 某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元． （1）求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； （2）当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】（1） （2）当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元. 【解析】 【分析】（1）由利润公式，结合与的函数关系式，分段写出函数解析式； （2）根据（1）的结果，分段求函数的最值，再比较即可求解. 【小问1详解】 本季度增加的利润， 当时，， 当时，， 所以该公司增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ， 当时，， 当，即时，等号成立， 当时，是减函数，当时，取得最大值16， 因为，所以当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元. 19. 定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）. （1）判断是否为“型函数”?并说明理由； （2）是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若函数是“型函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 不是“型函数”，理由如下： 函数，当时，，当时，， 当时，，不存在，使， 所以不是“型函数”； （2）存在，，理由如下： 首先函数的定义域为，则，得， 由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增， 所以只需对任意恒成立即可，所以； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数性质求出和的值域，再利用“型函数”定义判断即可. （2）先根据复合函数的定义域求得，再根据“型函数”的单调性列不等式求解即可. （3）按照和分类讨论，利用单调性求出对应的值域，根据“型函数”定义列不等式，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数是“型函数”， 当时，在上单调递增，， 而，要使存在且唯一，则有，解得：，所以， 当时，在单调递减，在单调递增，所以，而，要使存在且唯一，则有， 设，即，解得，解得： 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【考试时间：2024年11月5日14：15—16：15】 高中2024级学生学业发展指导（文化学科）测评 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页：答题卡共6页．满分150分，测试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，案超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 2 4. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 下列函数中，是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ） A. 定义域为 B. 函数在上的值域为 C. 在上单调递增 D. 函数的图象关于轴对称 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“” C. “”的一个必要不充分条件是“” D. 集合中只有一个元素的充要条件是 11. 高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 方程在区间上有4个实数根 C. 函数在上单调递增 D. ，都有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 13. 已知是定义在上的奇函数，若，则______． 14. 若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为______． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知，且． （1）若，求的最小值及此时相应的值； （2）若，求的最小值，并求出此时的值． 18. 某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元． （1）求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； （2）当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？ 19. 定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）. （1）判断是否为“型函数”?并说明理由； （2）是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若函数是“型函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $