安徽省芜湖市镜湖区安徽师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学试题 第 1页 共 4页 考试时间:120 分钟 满分:150 分 1.已知 )1,5,1( a , )3,2,3( b ,则 ba ( ) A. )4,3,4( B. )4,3,4( C. )4,3,4( D. )4,3,4( 2.如图,空间四边形OABC中, aOA , bOB , cOC ,点M 在OA上,且 OAOM 3 2 ,点N 为 BC中点,则MN等于( ) A. cba 2 1 2 1 3 2 B. cba 2 1 2 1 2 1 C. cba 2 1 3 2 3 2 D. cba 2 1 3 2 3 2 3.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点 )5,2,1(P ,点 )5,2,1( Q ,则( ) A.点 P和点Q关于 x轴对称 B.点 P和点Q关于 y轴对称 C.点 P和点Q关于 z轴对称 D.点 P和点Q关于原点中心对称 4.已知直线 l的斜率的范围为 ]1,1[ ,则直线 l的倾斜角 的取值范围为( ) A. 450 或 180135 B. 13545 C. 13545 D. 450 或 180135 5.已知点 4, 2A , 4,2B , 2,2C ,则 ABC 外接圆的方程为( ) A. 5)3( 22 yx B. 20)3( 22 yx C. 5)3( 22 yx D. 20)3( 22 yx 6.与椭圆 2 29 4 36x y 有相同焦点,且短轴长为 2的椭圆的标准方程为( ) A. 1 34 22 yx B. 1 6 2 2 xy C. 1 6 2 2 yx D. 1 58 22 yx 7.已知 1F , 2F 是椭圆C的两个焦点,焦距为6.若 P为椭圆C上一点,且 21FPF 的周长为 16,则椭圆C的离心率为( ) 高二数学试题 第 2页 共 4页 A. 1 5 B. 4 5 C. 3 5 D. 21 5 8.已知 ),( 11 yxM , ),( 22 yxN 是圆 4)5()3(: 22 yxC 上的两个不同的点,若 22|| MN ,则 |||| 2211 yxyx 的取值范围为( ) A. ]20,12[ B. ]14,10[ C. ]16,8[ D. ]28,24[ 9.已知直线 0:1 aayxl 和直线 01)32(:2 yaaxl ,下列说法正确的是( ) A.直线 1l 始终过定点 )1,0( B.若 21 // ll ,则 1 a 或 3 a C.若 21 ll ,则 0 a 或 2 a D.当 0 a 时, 1l 不过第四象限 10.点 P在圆 1: 221 yxC 上,点Q在圆 02486: 22 2 yxyxC 上,则( ) A.两个圆的公切线有 2条 B. || PQ 的取值范围为 ]7,3[ C.两个圆上任意一点关于直线 034 yx 的对称点仍在该圆上 D.两个圆的公共弦所在直线的方程为 02586 yx 11.如图,在棱长为 2的正方体 1111 DCBAABCD 中, FE, 分别为 11,CCBB 的中点,G是线段 11CB 上的一个动点,则下列说法正确的是( ) A.直线 AG与平面 AEF 所成角的余弦值的取值范围为 15 10, 15 10 B.点G到平面 AEF 的距离为 5 52 C.点 1B 到 AF 所在直线的距离为 2 D.若线段 1AA 的中点为H ,则GH 一定平行于平面 AEF 12. 双纽线最早于 1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他所发现的曲线. 在平面直角坐标 系 xOy中,把到定点 )0,(1 aF , )0,(2 aF 的距离之积等于 2a ( 0 a )的点的轨迹 二､多选题:本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 称为双纽 线 . 已知曲线C为一条双纽线,曲线C上的点到定点 )0,2(1 F , )0,2(2F 的距离之积为 4,点 ),( 00 yxP 是曲线C上一点,则下列说法中正确的是( ) A.点 )0,22(D 在曲线C上 B. 21FPF 面积的最大值为 1 C.点Q在椭圆 1 26 22 yx 上,若 QFQF 21 ,则点Q也在曲线C上 D. || PO 的最大值为 22 安徽师范大学附属中学 2024-2025学年第一学期期中考查 高二数学试题 一､选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 13.直线 l过点 )1,1( 且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l的一般式方程为 . 14.已知圆 4: 221 yxC 与圆 )0()4()3(: 222 2 rryxC 相交,则 r的取值范围为 . 15. 加斯帕尔 蒙日是 18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究时发现:椭圆的任意两条互相垂 直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为 “蒙日圆 ” .已知椭圆 1 9 : 2 2 2 y a xC ,若直线 02534: yxl 上存在点 P,过P可作C的两条互相垂直的切线, 则椭圆离心率的取值范围是 . 16. 阅读材料:数轴上,方程 )0(0 ABAx 可以表示数轴上的点;平面直角坐标系 xOy中,方 程 0 CByAx ( BA, 不同时为0 )可以表示坐标平面内的直线;空间直角坐标系Oxyz中, 方程 0 DCzByAx ( CBA ,, 不同时为0 )可以表示坐标空间内的平面.过点 ),,( 000 zyxP 且一个法向量为 ),,( cban 的平面 的方程可表示为 0)()()( 000 zzcyybxxa . 阅读上面材料,解决下面问题:已知平面 的方程为 0753 zyx ,直线 l是两平面 072 zx 与 0122 zyx 的交线,则直线 l与平面 所成角的正弦值为 . 已知 ABC 的顶点 )1,6(A , AB边上的中线CM 所在直线方程 052 yx ,AC边上的高 BH 所在直线方程为 052 yx . (1)求顶点C的坐标; (2)求直线BC的斜率. 已知圆 M的方程为 0488 22 yyxx . (1)过点 )4,0( 的直线m截圆 M所得弦长为 54 ,求直线m的方程; (2)过直线 04: yxl 上任意一点 P向圆 M引切线,切点为Q,求 || PQ 的最小值. 如图,在四棱锥 ABCDP 中,底面 ABCD为菱形, PCD 是边长为 2的正三角形, 60 BCD ,平面 PCD 平面 ABCD . (1)求证: CDPB ; (2)求直线 PB与平面 APD所成角的正弦值. 已知直线 l与椭圆 1 36 22 yx 交于 BA, 两点,线段 AB的中点坐标为 ) 3 1, 3 2(M . (1)求直线 l的方程; (2)求 OAB 的面积. 如图,已知多面体 ABCDEF 的底面 ABCD为矩形,四边形BDEF 为平行四边形,平 面 FBC 平面 ABCD, 1 BCFCFB , 2 AB ,G是CF 的中点. (1)证明:BG∥平面 AEF ; (2)在棱CF (不包括端点)上是否存在点 P,使得平面 BDP与平面 BCF 的夹角为 60 ?若存在,求CP的长 度;若不存在,请说明理由. 三､填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 四､解答题:本题共 6 小题,共 66 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 8 分) 19.(本小题满分 12 分) 20.(本小题满分 12 分) 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 1: 2 2 2 2 b y a xE ( 0 ba , BA, 分别为椭圆的左顶点和上顶点, 2F 为右焦点.过 2F 的直线与椭圆交于MN , ||MN 的最小值为 2 ,且椭圆上的点到 2F 的最小距离为 12 . (1)求椭圆E的标准方程; (2)已知椭圆 E的右顶点为C, P是椭圆E上 的动点(不与顶点重合).若直线 AB与直 线CP交于点Q,直线 BP与 x轴交于点 N . 记直线QC的斜率为 k,直线QN的斜率为 1k ,求 1kk 的最小值. 22.(本小题满分 12 分) 高二数学试题 第 3页 共 4页 高二数学试题 第 4页 共 4页 ) 18.(本小题满分 10 分)安徽师范大学附属中学高二期中考试数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B D A B A 8.【详解】由题设知，圆C的圆心坐标C(-3,5),半径为2，因为MN=2√2，所以CM⊥CW。 设P为MN的中点，所以CP=√2，所以点P的轨迹方程为(x+3}+(-S}=2. 其轨迹是以C(-3,5)为圆心，半径为√反的圆.设点MN,p到直线x-y=0的距离分别为 d,4,d所以4=压-丛，4=压为，4=4+4， 2 2 所以k-小+k-为=2(d+d)=22a.因为点C到直线x-y=0的距离为上3-3=42， 2 所以42-√5≤d≤42+√2，即3√2≤d≤5√2， 所以12≤22d≤20.所以：-+：-为的取值范围为[2,20·故选：A. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 12 AC BC BCD ACD 12.【详解】对选项A,动点C(x,y),由题可得C的轨迹方程x+2+y]√[x-2+y]=4 把点D(2V2,0)代入上式，上式显然成立.所以点D(2√2,0)在曲线C上，故A正确： 对选项B,Sm号PFi∠RP明=2n∠FPR当PR⊥PE时，即当 PFPF=4 时，即当PF=6+√反或PE=V6-反时，PF⊥PE IPFP+PE=FE=16 此时，△PFE的面积取得最大值，即S,5=2sin∠FPE,≤2，故B错误： 答案第1页，共9页 对选项C,椭圆二+上=1上的焦点坐标恰好为F(-2,0)与E(2,0),则5@+59=26， 62 又F2LF0,所以Fe+B,g=16,故rdIrd= rO+Fel-(Eg+lFg） 所以点Q也在曲线C上，C正确： 对选项D,因为PO=P所+P丽)所以 Po=p+2所：P丽+pE)pm+2p丽PFcos∠RPE+p丽） 由余弦定理得165P=P丽-2P网P丽os∠FPR+P呵，于是有 P呵+P呵=16+2p丽P听cos∠FP5 因此4Po=p丽+2P丽P丽cos∠FPR+P=16+4P阿P丽cos∠FPF. 所以Po=4+P丽，P丽cos∠FPF=4+4cos∠FPF≤8，当且仅当，=士22，等号成立， 所以PO的最大值为2√2，故D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. x-y=0或x+y-2=0 14. 3<r<7 15. 16. 7 15,【详解】由题可知，点P在椭圆的蒙日圆上，又因为点P在直线上，所以，问题转化为 线和蒙日圆有公共点，由精圆方程。+上1可知蒙日圆半径为V厅+9，所以蒙日圆方 9 为x2+y2=a2+9,因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即25≤2+9，所以a2≥16，所以椭圆离心率2=1-9≥2 a216 所以互≤e<,故答案为： 4 答案第2页，共9页 16.【详解】平面a的方程为3x-5y+z-7=0,所以平面α的法向量可取m=(3,-5,1), 平面2x-z+7=0的法向量为ā=(2,0，-1)， 平面2x+2y-z+1=0的法向量为6=(2,2，-1)， 设两平面的交线/的方向向量为=(n9,r小，由：a=2p-r=0 c.b=2p+2g-r=0 所以可取c=(1,0,2).设直线1与平面α所成角的大小为0， 3+2 5√ 则sin0=-Icos(,.m=9+25+153557 ,故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 17.(8分)己知△ABC的顶点A(6,1),AB边上的中线CM所在直线方程2x-y-5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0. (1)求顶点C的坐标： (2)求直线BC的斜率. 【答案】04小2 41 【详解】①)高BH所在直线方程为x-2y-5=0,其斜率为分，故直线4C的斜率为-2。 则直线AC的方程为：y-1=-2(x-6),即y=-2x+13, 9 联立4C方程与中线CM所在直线方程2x-y-5=0,可得x=2y=4, 故点C的坐标为 4444444444。（4分) (2)设点B的坐标为(m,n),由点B在直线BH上可得m-2n-5=0: 的中点M的坐标为 m+6n+1 22 点M的坐标满足直线CM方程，即m+6-"↓-5=0： 2 7 故可得m=一 11 即点B坐标为 11 3 3-3 4+ 11 则直线BC的斜率为 3 46 .(8分) 97 41 2 答案第3页，共9页 18.(10分)已知圆M的方程为x2-8x+y2-8y-4=0. (1)过点(0，-4)的直线m截圆M所得弦长为4√5，求直线m的方程： (2)过直线：x+y+4=0上任意一点P向圆M引切线，切点为Q,求|PQ的最小值. 【答案】(1)3x-4y-16=0,或x=0:(2)6. 【详解】(1)圆M的标准方程为(x-4)2+(y-4)2=36. ①当斜率不存在时，直线m的方程为：x=0,直线m截圆M所得弦长为1=2√厂2-d2=4√5， 符合题意： ②当斜率存在时，设直线m:y=:-4, 圆心M到直线m的距离为d=k-44_4k-8 Vk2+1√k2+1 限据垂径定理可得、广一5小，之处子=16，解得-号 Vk2+1 .直线m的方程为3x-4y-16=0,或x=0… (5分) (2)圆心M(4,4),r=6.因为PQ与圆相切，所以1PQ=√PM2-r2=√PM2-36 当PM11,PM最小所以PMLm=4+4+4=6N5.所以 V12+12 |PO=V(62)}2-36=6..(10分) 19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PCD是边长为2的正 三角形，∠BCD=60°，平面PCD⊥平面ABCD (1)求证：PB⊥CD: (2)求直线PB与平面APD所成角的正弦值. 答案第4页，共9页 【答案】(1)证明见解析 20 5 【详解】(1)如图，取CD的中点O,连接OP,OB, 24 B 因为△PCD是边长为2的正三角形，所以OP⊥CD, 在菱形ABCD中，∠BCD=60°，则△BCD为等边三角形，所以OB⊥CD, 又OB∩OP=O,OB,OPC平面OPB,所以CD⊥平面OPB, 又PBC平面OPB,所以PB⊥CD:(6分) (2)由(1)得OP⊥CD,OB⊥CD, 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,OPC平面PCD, 所以OP⊥平面ABCD, 如图，以点O为原点，分别以OC,OB,OP为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 因0B=OP=5,则4(-2，√5,0)，P0,0,5),D-10,0)B(0,5,0) i.DP=x+√3z=0 设平面P4D的法向量为i=(x,y,z),则有 i-DA=-x+√5y=0 令x=√5，则y=1,z=-1,所以i=(5,1,-) 因为PB=(0,√5，-√3)，记直线PB与平面APD所成角为0，则 sin=cos PB,n>= PB.n 23 10 1PBm所6x55, 所以直线PB与平面APD所成角的正弦值为 5 (12分) 20.2分)已知直线1与精圆上+y +三1交于4B两点，线段AB的中点坐标为M(行，) 63 (1)求直线1的方程： 答案第5页，共9页 (2)求△OAB的面积. 【答案】(1)x+y-1=0:(2)S.a8 4 3 【详解】(1)设A(x,y),B(x,y), 由A,B是椭圆E上两点得， 63 += .63 两式相减得任+五任-)，+=少)=0，即（化+）+20+小-五=0， 6 3 因为线段侣的中点垒标为》所以+手+号》 4 所以上=山，即太山，所以直线B的方程为y了《- x-x 即x+y-1=0. .(6分) x2y2 2)由后片得，324-4=0，则5+场=手=号 4 x+y-1=0 所以=+E+-不=T停号8号 161685 点0到直线AB的距离4=上」巨 所以5am-h8kd=8554 2323 （12s分) 21,(12分)如图，己知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四 边形，平面FBC⊥平面ABCD,FB=FC=BC=1,AB=2,G是CF的中点. E B 答案第6页，共9页 (1)证明：BG∥平面AEF: (2)在棱CF(不包括端点)上是否存在点P,使得平面BDP与平面BCF的夹角为60°？ 若存在，求CP的长度：若不存在，请说明理由 【答案】()证明见解析(2)不存在 【详解】(1)如图，取BC中点H,取AD中点M, 因为△FBC为等边三角形，所以FH⊥BC,平面FBC⊥平面ABCD, 又FHc平面FBC,平面FBC∩平面ABCD=BC, 所以FH⊥平面ABCD,又底面ABCD为矩形，则HM⊥HB, 以H为坐标原点，HM,HB,HF分别为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系H-z 由题意可得，4兮小c0 可知BG= -29} BD=(2,-1,0),由四边形BDEF为平行四边形， 得一。一+压=+B-05 Γ22 设平面AEF的法向量方=(x,y,z), 2=0 2 则 取：=5，得y=1x=),则平面4BF的一个法向量厅 3 G5 22=0 故BG,n=0× 1+5xw5=0. 13 24 4 则BG⊥n.且BGa平面AEF,则BG∥平面AEF a设C:G,Ae0.设Pa,0因为c0.F0a9.所 又BD=(2,-1,0).设平面BDP法向量n=(x,八，z),则 答案第7页，共9页 n·BD=0 2x-y=0 即 h·BP=0 1z=0 2 所以平面BDP的-个法向量为%=L2,22- ).平面BCF的一个法向量为 V31 1 n2=(1,0,0).则C0s<n,n2> nn2 =c0s60°= m /5+ 4(2-2)2 32 化简得42-。-1.所以元无实数解，不存在这样的点P, 32 .（12分) 2立.2分)已知精置：号+茶=1(0>6>0。么8分别为精圆的左顶点和上顶点。 F,为右焦点.过F的直线与椭圆交于MN,MN|的最小值为√2，且椭圆上的点到F,的 最小距离为、√2-1. (1)求椭圆E的标准方程： (2)已知椭圆E的右顶点为C,P是椭圆E上的动点（不与顶点重合）.若直线AB与直 线CP交于点Q,直线BP与x轴交于点N.记直线QC的斜率为k,直线OW的斜率为k, 求k·k的最小值 【答案10号+y=1( 1 a=5 【详解】(1)由题意得 a ,又a2=b2+c2,解得 b=1 a-c=√2-1 c=1 二椭圆￡的标准方程为)+2=1 (5分) (2)因为A(-√2,0)，B(0,),C(N2,0).所以直线QC的方程为y=kx-√2) 答案第8页，共9页 直线AB的方程为y=万+ r= V2k+1 y=k(x-2) 由 解得 ② 2， 1 所以Q 2k+1 2k = 2k ⑤ 、 2 2 y=k(x-V2) 由 ,得(2k2+0x2-4V2k2x+4k2-2=0,由 2+2=1 △=(-42k22-4(2k2+I0(4k2-2)>0, 则2-63 2k2+1 所以25，则=6，-月- 2k2+1 2k2+1 2W2k2-V2-22k 2k2+12k2+1 因为B,P不重合，所以22-反+0，即k≠±5，又B0,. 2 -2V2k 所以ke= 2k2+1 -2k2-22k-1, 2W2k2-√2 2W2水2-√2 2k2+1 六直线即的方程为)-225x+ 2√2k2-√2 令y=0得x= 22k2-√2 .N 2W2k2-V2 k2+2√2k+1 2k2+2√2k+1 2k 、② k=k2张+122-2 2 4 k-52k2+22A+ 2 kk=k(分+ 24 2 4 当人=-5时，k:取得最小值为- 4 16 …(12分) 答案第9页，共9页