精品解析：山东省青岛市崂山区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共23题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共13小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴它的常数项是， 故选：A． 2. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 2.9枚 B. 3枚 C. 7枚 D. 7.1枚 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．先求出摸到白棋的频率为，即为概率，根据白棋个数=棋子的总数×摸到的白棋的概率，棋子的总数减去白棋的个数即为黑棋的个数． 【详解】解：∵不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子， ∴摸到白棋的频率为，即为概率， ∴盒子中黑色棋子为（枚）， ∴盒子中黑色棋子可能有（枚）， 故答案为：B． 3. 某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（ ） A. 800元 B. 400元 C. 100元 D. 50元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质等知识点，由相似图形的性质可知，两个相似矩形的面积比等于相似比的平方，即，然后由每平方米所需农资成本不变即可得解，熟练掌握相似图形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形相似比是， ∴两个相似矩形的面积比等于相似比的平方，即， ∵每平方米所需农资成本不变，“田园风光”的农资成本为200元， ∴“耘梦园”的农资成本为元， 故选：A． 4. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 5. 黄金分割在文艺复兴时期被视为金子般的比例，比值约等于．有研究发现，成人的理想体重与身高的关系是：体重（）身高．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据体重（）身高，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无法确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，根据判别式与方程的根的个数之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选B． 7. 如图，在菱形中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，设交于点，根据菱形的性质，得到，根据，得到，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 9. 某学校开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现打算从名（名男生和名女生）候选人中随机选取人担任本次活动的主持人，则选中的人恰好都是女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了利用概率公式计算概率．首先计算出从名同学中选取主持人可能出现的所有情况的数量，然后再计算出选取的人恰好都是女生的情况的数量，然后利用概率公式计算恰好都是女生的概率． 【详解】解：第一次从个人中随机选取一个人，共有种情况， 第二次从剩下的人中随机选取一个人，共有种情况， 第三次再从剩下的人中随机选取一个人，共有种情况， 一共有种情况， 第一次就选取到女生的情况有种， 第二次又选取到女生的情况有， 第三次又选取到女生的情况有， 三次都选取到女生的情况有种情况， 选中的人恰好都是女生的概率是． 故选：C． 10. 如图，把矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，，，是的中点，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意证明，进而得出，勾股定理求得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵矩形和矩形 ∴， 又，，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ 在中，， 在中，， 在中，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，证明是解题的关键 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中华人民共和国75周年华诞到来之际，某学校开展了“我心绘版图 美丽白纸坊”手绘地图活动．小明绘制了一张比例尺为的青岛城区交通游览图，栈桥的图上长度约为，则栈桥的实际长度约为______m． 【答案】440 【解析】 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺等于图上距离与实际距离的比，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设栈桥的实际长度为， 则：， ∴， ； 故答案为：440 12. 在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度（）和运动员起跳后的运动时间（）之间满足关系：，则当时，即． 根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据表格可得当时，的解在和之间，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，即． 根据表格可得的解在和之间， ∴可判断运动员完成动作的时间最多不超过， 故答案为：． 13. 为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法是解题关键． 列表表示出所有等可能的情况和甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 ∴共有12种等可能的情况，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况有6种， ∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为． 故答案为：． 14. 如图，在中，对角线与相交于点O，是等边三角形．若，则的面积=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，得到，根据矩形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，进而可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴的面积为． 故答案为：． 15. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，垂足为，连接，过点作，交轴于点．若四边形的面积为2，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点在线段上（不与点，重合），设点，得出，，证明四边形为平行四边形，根据四边形的面积为2，得出，解方程即可． 【详解】解：把代入， 解得：， ∴， ∵点在线段上（不与点，重合）， ∴设点， 根据题意得：，， ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形的面积为2， ∴， 即， 解得：，， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，平行四边形的判定和性质，正确设出点P的坐标，进而表示出的长，进一步根据矩形的面积公式建立一元二次方程是解题关键． 16. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，在直线上依次取点，，…，使，，，…，，分别过点，，…作的垂线，交x轴于点，，…，依次连接，，…．若的面积为1，则的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，根据三角形面积计算公式得到，则． 【详解】解：∵，，…， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的因式分解法和求根公式法是解答关键． （1）先移项，再提取公因式变为两个因式的积的形式，解方程求解； （2）先移项，用因式分解法解方程； （3）用因式分解法解方程求解； （4）去括号，移项变形为，求出方程的判别式，判别根的情况，再用求根公式求解． 【小问1详解】 解：将移项得 ， 整理得 或， 解得，． 【小问2详解】 解：将移项得 ， 整理得， 或， 解得，． 【小问3详解】 解：将变形为 ， 或， 解得，． 【小问4详解】 解：将变形为 ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18. “回文”是指正读反读都能读通的句子，是古今中外都有的一种修辞手法和文字游戏．例如“处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺”等．在数学中，如果一个正整数从左往右读与从右往左读都一样，那我们称之为回文数，例如11，22，121…都是回文数． 将牌面数字分别为0，1，2，3四张纸牌（除牌面数字外，其余均相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机抽取一张．将小明、小红抽取的数字分别作为一个四位数（该四位数的千位数字和个位数字均为2）的百位和十位数字．请用列表或画树状图的方法求组成的四位数是回文数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可。 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中组成的四位数是回文数的有00，11，22，33，4种情况， ∴. 19. 对于几何图形，我们通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，并且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系进行探究．观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等是我们常用的探究方法． 【定义】 如图①，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线，线段就是它的一条对角线． 【性质】 请结合图①，写出筝形具有的性质．（任意写出2条你认为正确的即可） 例如：∵四边形是筝形 ∴， 性质1：______； 性质2：______． 【判定】 下列条件能够判定四边形是筝形的有______．（将所有正确的序号填在横线上） ①且；②；③且；④． 【应用】 如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内部找一点，连接，，使折线恰好将筝形的面积分为相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 [性质] 性质1：∵四边形是筝形 ∴ 性质2：∵四边形是筝形 ∴且； [判定] ①③； [应用]如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】[性质]根据定义结合图形，从边，角，对角线分析即可得出结论； [判定]根据筝形定义分析即可求解； [应用]利用三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形即可作出图形． 【详解】解：[性质]性质1：略 性质2：略 [判定] 解：①根据筝形定义可得且；故①正确 ②和④不能判定四边形是筝形 ③且；理由如下： 如图，设与交于点， ，， 点、均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，即且； 故答案为：①③． [应用] 作出的中点，连接、，折线将筝形面积等分． 理由： ∴ 在中， 为边中点， ， ， 同理：， ， ， 即四边形的面积四边形的面积， 折线将筝形面积等分． 【点睛】本题考查了“筝形”的判定与性质，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、作垂线；熟练掌握“筝形”的定义，正确地作出图形是解题的关键． 20. 如图，在中，，D为中点，连接，取的中点E，过点D作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）已知______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 选择①，四边形是菱形，理由如下： 由（1）知，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，D为中点，， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； 选择②，四边形是菱形，理由如下： 由（1）知，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，斜边上的中线，菱形的判定： （1）证明，即可得出结论； （2）选择①，由（1）易得四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到为等边三角形，得到，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论；选择②，平行结合角平分线，推出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【答案】（1）该款车销量的月平均增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为7万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款车销量的月平均增长率为，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款车销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设下调后每辆车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵为了扩大销量， ， 答：下调后每辆汽车的售价为7万元． 22. 如图，点为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点，，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵等腰直角三角形和等腰直角三角形， ∴， ∴， 勾股定理得：， ∴，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据等腰直角三角形的性质，得到，，角的和差关系推出，即可得出结论； （2）相似三角形的对应角相等，结合8字型图，推出，平角的定义，求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： （1）当t为何值时，为等腰三角形？ （2）当时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t值，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t为2时，为等腰三角形 （2）当t为时， （3）当或时，与相似 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识， （1）由菱形的性质和确定为等腰三角形时，Q点必须在O点左侧，进而即可得出t值； （2）由勾股定理得出长，再由得出，进而即可求出t值； （3）分当时，和当时，两种情况讨论即可得出t值； 熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵在菱形中，对角线，， ∴，， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为，运动时间为， ∴， ∴为等腰三角形时，Q点必须在O点左侧，如图所示， ， ∴， ∵速度为， ∴， ∴当t为2时，为等腰三角形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为，运动时间为， ∴， ∴， ∵，如图所示， ∴，即， ∴（舍去）或， 因此，当t为时，； 【小问3详解】 存在t的值，使与相似，理由如下， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴当与相似时，与是对应边， ∴当时，，如图， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 当时，，如图， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当或时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共23题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共13小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 2.9枚 B. 3枚 C. 7枚 D. 7.1枚 3. 某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（ ） A. 800元 B. 400元 C. 100元 D. 50元 4. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 黄金分割在文艺复兴时期被视为金子般的比例，比值约等于．有研究发现，成人的理想体重与身高的关系是：体重（）身高．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无法确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 7. 如图，在菱形中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 某学校开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现打算从名（名男生和名女生）候选人中随机选取人担任本次活动的主持人，则选中的人恰好都是女生的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，，，是的中点，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中华人民共和国75周年华诞到来之际，某学校开展了“我心绘版图 美丽白纸坊”手绘地图活动．小明绘制了一张比例尺为的青岛城区交通游览图，栈桥的图上长度约为，则栈桥的实际长度约为______m． 12. 在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度（）和运动员起跳后的运动时间（）之间满足关系：，则当时，即． 根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过______．（精确到） 13. 为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为___________． 14. 如图，在中，对角线与相交于点O，是等边三角形．若，则的面积=______． 15. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，垂足为，连接，过点作，交轴于点．若四边形的面积为2，则点的坐标为________． 16. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，在直线上依次取点，，…，使，，，…，，分别过点，，…作的垂线，交x轴于点，，…，依次连接，，…．若的面积为1，则的面积______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. “回文”是指正读反读都能读通的句子，是古今中外都有的一种修辞手法和文字游戏．例如“处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺”等．在数学中，如果一个正整数从左往右读与从右往左读都一样，那我们称之为回文数，例如11，22，121…都是回文数． 将牌面数字分别为0，1，2，3四张纸牌（除牌面数字外，其余均相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机抽取一张．将小明、小红抽取的数字分别作为一个四位数（该四位数的千位数字和个位数字均为2）的百位和十位数字．请用列表或画树状图的方法求组成的四位数是回文数的概率． 19. 对于几何图形，我们通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，并且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系进行探究．观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等是我们常用的探究方法． 【定义】 如图①，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线，线段就是它的一条对角线． 【性质】 请结合图①，写出筝形具有的性质．（任意写出2条你认为正确的即可） 例如：∵四边形是筝形 ∴， 性质1：______； 性质2：______． 【判定】 下列条件能够判定四边形是筝形的有______．（将所有正确的序号填在横线上） ①且；②；③且；④． 【应用】 如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内部找一点，连接，，使折线恰好将筝形的面积分为相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在中，，D为中点，连接，取的中点E，过点D作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）已知______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 21. 面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 22. 如图，点为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点，，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： （1）当t为何值时，为等腰三角形？ （2）当时，求t的值； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t值，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $