专题强化06：圆锥曲线方程与几何性质（小题）【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

专题强化06：圆锥曲线方程与几何性质（小题） 【题型归纳】 · 题型一：圆锥曲线的定义及其应用 · 题型二：圆锥曲线标准方程问题 · 题型四：圆锥曲线的几何性质问题 · 题型四：椭圆、双曲线的范围问题 · 题型五：抛物线的最值问题 · 题型六：圆锥曲线的实际应用 · 题型七：圆锥曲线离心率问题 · 题型八：圆锥曲线综合问题 【题型探究】 题型一：圆锥曲线的定义及其应用 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（23-24高二下·广东深圳·期末） 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 题型二：圆锥曲线标准方程问题 4．（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 5．（23-24高二上·宁夏银川·期末）双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则: （1）双曲线的标准方程为 ； （2）的面积为 . 6．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ． 题型四：圆锥曲线的几何性质问题 7．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则 . 8．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 9．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知双曲线是等轴双曲线，则的右焦点坐标为 ；的焦点到其渐近线的距离是 . 题型四：椭圆、双曲线的范围问题 10．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 11．（22-23高二上·重庆·期末）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 . 12．（21-22高二上·天津和平·期中）若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为 . 题型五：抛物线的最值问题 13．（22-23高二上·黑龙江·期中）已知直线：，抛物线上一动点到直线的距离为，则的最小值是 ． 14．（19-20高二上·山东淄博·期末）已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为 ，P到直线l距离的最小值为 ． 15．（21-22高二上·湖南长沙·期中）已知抛物线方程为，直线l的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则的最小值为 ． 题型六：圆锥曲线的实际应用 16．（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·河南南阳·期中）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（    ）    A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m 18．（2023·辽宁锦州·模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（    ）    A． B． C． D． 题型七：圆锥曲线离心率问题 19．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 题型八：圆锥曲线综合问题 22．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【专题强化】 一、单选题 25．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 26．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 27．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 28．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·福建南平·期末）已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线左支上一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 31．（23-24高二上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D．. 32．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 34．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 35．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，，则是两条直线 C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 36．（23-24高二下·海南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 37．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 38．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 39．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离为2 B．以为圆心，为半径的圆与相切 C．直线斜率的最大值为2 D．若，则的面积为2 40．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 41．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 三、填空题 42．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 43．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为 . 44．（23-24高二下·安徽安庆·期末）双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为 . 45．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 46．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 47．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知，是双曲线C：的左右焦点，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线与双曲线C交于点，且均在第一象限，若，则双曲线C的离心率是 ． 48．（23-24高二上·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化06：圆锥曲线方程与几何性质（小题） 【题型归纳】 · 题型一：圆锥曲线的定义及其应用 · 题型二：圆锥曲线标准方程问题 · 题型四：圆锥曲线的几何性质问题 · 题型四：椭圆、双曲线的范围问题 · 题型五：抛物线的最值问题 · 题型六：圆锥曲线的实际应用 · 题型七：圆锥曲线离心率问题 · 题型八：圆锥曲线综合问题 【题型探究】 题型一：圆锥曲线的定义及其应用 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得：，，再利用，，的关系求解方程即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设圆的半径为， 由于圆内切于圆，所以； 由于圆内切于圆，所以； 由于， 所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆. 则，，所以，； 所以动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：A 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】连接交双曲线的渐近线于点，结合已知探讨的性质，进而求出面积. 【详解】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点）， 而分别为的中点，则，，且， 由双曲线的一条渐近线为，得，则， 所以的面积为. 故选：D    3．（23-24高二下·广东深圳·期末） 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】首先把问题转化为和到轴的距离之和的最小值，再根据抛物线的定义最小，根据数形结合得出结论. 【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离， 所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小， 根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为. 故选：D   题型二：圆锥曲线标准方程问题 4．（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 5．（23-24高二上·宁夏银川·期末）双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则: （1）双曲线的标准方程为 ； （2）的面积为 . 【答案】 【分析】（1）根据抛物线方程可求得焦点坐标，由到其双曲线的渐近线的距离可求得b，再由双曲线中的关系即可求得双曲线方程； （2）在中运用余弦定理及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点， 又到渐近线的距离为，即，所以， 则双曲线的标准方程为. （2）设点P为双曲线E右支上一点，，则，， 在中，，，解得， 所以，， ， 故答案为：（1），（2）.    6．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线定义化斜为直，转化已知条件到中，建立关于的方程求解即可. 【详解】 抛物线，则焦点，准线. 过点作准线，垂足为，作轴，垂足为，准线与轴交点为. 由抛物线定义可知，又， 在中，， 则有，得，解得， 故所求抛物线的方程为. 故答案为：. 题型四：圆锥曲线的几何性质问题 7．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则 . 【答案】2 【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点即可求解. 【详解】由知椭圆焦点在轴上，，故椭圆的焦点为，所以，解得. 故答案为：2. 8．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合圆的性质可得点到渐近线的距离为1，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径，由，得， 则点到直线的距离为1，双曲线E：的渐近线为， 于是，解得，所以E的焦距为. 故答案为：    9．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知双曲线是等轴双曲线，则的右焦点坐标为 ；的焦点到其渐近线的距离是 . 【答案】 1 【分析】根据等轴双曲线的概念求得，即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果． 【详解】双曲线是等轴双曲线，则，， ，则，则则的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离， 故答案为：，1． 题型四：椭圆、双曲线的范围问题 10．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围求的范围即可. 【详解】椭圆，则，，所以， 设，，则， 所以， 又， 所以当时，，当时，， 即的取值范围是. 故答案为：. 11．（22-23高二上·重庆·期末）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合点P在双曲线上，可得，利用双曲线的x的范围可推出，再结合，即得答案. 【详解】设双曲线上的点满足，即 ， 即， 又， ，即， ，且，， 则，， 又，实数b的取值范围是， 故答案为：. 12．（21-22高二上·天津和平·期中）若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据双曲线的焦点和双曲线方程解得，设出点，代入曲线方程，求得横纵坐标关系，再根据题意坐标表示，，代入后利用二次函数的性质求其最小值，则可求得的取值范围. 【详解】解：由题意得： 是已知双曲线的左焦点 ，即 双曲线方程为 设点，则有，解得 ，， 根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增 当时，取得最小值， 故答案为： 题型五：抛物线的最值问题 13．（22-23高二上·黑龙江·期中）已知直线：，抛物线上一动点到直线的距离为，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】先求得抛物线的准线，过点作直线的垂线，交直线于点，过点作准线的分别交准线，轴于点，再结合图象，以及抛物线的定义，即可求解． 【详解】抛物线， 抛物线的准线为，焦点， 过点作直线的垂线交于点，如图所示： 由抛物线的定义可知，， 则， 当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值， ． 故答案为：． 14．（19-20高二上·山东淄博·期末）已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为 ，P到直线l距离的最小值为 ． 【答案】 1 /0.75 【分析】将P到y轴距离转化为P到准线的距离减1，再由抛物线的定义转化为，再由点到直线的距离求解即可；先求出平行于直线l且与抛物线相切的直线方程，再由两平行线间的距离求解即可. 【详解】 设抛物线C：上的点P到直线的距离为，到准线的距离为，到y轴的距离为， 由抛物线方程可得：焦点F的坐标为，准线方程为，则，， 因此，因为的最小值是焦点F到直线的距离，即， 所以的最小值为； 设平行于直线l且与抛物线C：相切的直线方程为， 由，得，因为直线与抛物线C：相切， 所以，解得，因此该切线的方程为， 所以两平行线间的距离为，即P到直线l距离的最小值为． 故答案为：1；. 15．（21-22高二上·湖南长沙·期中）已知抛物线方程为，直线l的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设抛物线的焦点为，则，过作直线的垂线，垂足为，过作直线直线的垂线，为垂足，线段与抛物线的交点为，当三点共线，即与重合，与重合时，取得最小值，求得这个最小值即可得结论． 【详解】设抛物线的焦点为，则， 过作直线的垂线，垂足为，过作直线直线的垂线，为垂足，线段与抛物线的交点为，如图， ， 由图形可知，当三点共线，即与重合，与重合时，取得最小值， 所以的最小值是． 故答案为： 题型六：圆锥曲线的实际应用 16．（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为，所以. 又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为. 由题意可知，代入双曲线方程，得， 所以该塔筒的高为. 故选:C. 17．（24-25高二上·河南南阳·期中）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（    ）    A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，进而求得正确答案. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意可知，抛物线过点， 所以， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为. 故选：A    18．（2023·辽宁锦州·模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，可得点坐标及抛物线的标准方程，设代入抛物线方程求出后可得答案. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    依题意可得，设抛物线的标准方程为， 则，解得，所以抛物线的标准方程为， 可设，代入抛物线方程，可得， 所以该杯盏的高度为cm. 故选：C. 题型七：圆锥曲线离心率问题 19．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义， 可求得的长，根据三角形的几何性质，即可求得答案， 【详解】由椭圆的定义可得，又， 所以， 在椭圆中，， 所以，即， 又，所以， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：B 20．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，分别用表示，，在根据勾股定理可求得与关系，可求出值，在中根据余弦定理可求解. 【详解】设，，则， 根据双曲线性质可知，所以 ， ，又因 所以为直角三角形，可得， 所以可得， 解之可得或（舍）， 可求出， 在中根据余弦定理 ， 解之可得，所以. 故选：C 21．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可. 【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且， 运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道， 即，解得，故离心率为：. 故选：C. 题型八：圆锥曲线综合问题 22．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 23．（23-24高二下·江西九江·期末）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取为的中点，为右焦点，根据得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】取为的中点，为右焦点， ， ，， 在上的投影为，， ，，， ， ，. 故选：C 24．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，连接、，根据对称性可得四边形为矩形，从而得到，即可表示出点坐标，代入方程，求出，即可得解. 【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、， 又，则四边形为矩形， 所以，则， 所以，即，即，又，解得， 所以. 故选：D 【专题强化】 一、单选题 25．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 26．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值. 【详解】已知抛物线上有一点，则，即． 又，故在抛物线的外部， 则， 因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．    由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值， 则的最小值为． 故选：B 27．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率. 【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则， 阳光照射方向与地面的夹角为60°，即， 则， ， 在中，，即， 即，解得，而，故, . 故选：B. 28．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B．   . 29．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出左焦点到渐近线的距离并得出直线的方程，联立直线和双曲线方程解得点横坐标，可知轴，即可求出的大小为. 【详解】如下图所示： 不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离； 又，于是，可得,故离心率， 因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得， 又，则，所以直线的方程为， 联立双曲线方程整理可得； 易知是该方程的一个实数根，另一根即为； 所以，可得， 于是轴，又因为 所以． 故选：B 30．（23-24高二上·福建南平·期末）已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线左支上一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 直线垂直平分线段，即与关于直线对称，直线的斜率与直线斜率乘积为-1，且中点坐标在直线上，解出点坐标，将点坐标代入双曲线方程，得出，关系，从而得出离心率的值 【详解】设，，若直线垂直平分线段， 则与关于直线对称， 则有，且 ∴， 可得，即 把的坐标代入双曲线方程中得： ， ∴，∴，∴. 故选：B. 31．（23-24高二上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】A选项，根据离心率的定义得到；B选项，先得到，从而得到，得到B正确；C选项，根据和得到；D选项，根据基本不等式得到，得到D错误. 【详解】A选项，由题意得，，故，A正确； B选项，双曲线的一条渐近线方程为，故， 故，故，B正确； C选项，由A知，故，故，C正确； D选项，因为，，， 所以， 又，且，由基本不等式得，故， 所以，D错误. 故选：D 32．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的齐次式，解之即可求得C的离心率. 【详解】由，，可得， 又由，可得，故， 由得， 整理得，即， 解之得或（舍）. 故选：A 33．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断. 【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得， 且，，则焦距为常数，故①正确； 对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确. 对于③，若，则曲线为，则， 若曲线上存在点，使， 则点在以为直径的圆上，即， 由，解得或， 所以有4个符合条件的点，故③正确, 所以正确的命题有3个. 故选：D 二、多选题 34．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【分析】对于A，直接写出符合描述的椭圆方程，对比即可判断；对于B，由离心率公式即可判断；对于C，直接根据斜率公式验算即可；对于D，根据对称性，只需任取一个焦点和一条渐近线，结合点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 35．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，，则是两条直线 C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AB 【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解． 【详解】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确； 对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确； 对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误； 对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误； 故选：AB． 36．（23-24高二下·海南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断C，D. 【详解】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得， 由于，故，即， 化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则， 故，得， 故，代入，得， 所以，则， 得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系问题，解答的难点在于计算，并且基本都是有关字母参数的运算，计算量大，很容易出错. 37．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 38．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 【答案】BC 【分析】根据双曲线定义结合周长可得，，即可由直角三角形求解面积，判断A，根据双曲线上的点到焦点的距离的范围，结合双曲线定义即可求解B，根据渐近线斜率即可求解C，利用向量的坐标运算即可求解D. 【详解】可得， 由于点在的右支上，故， 对于A，若的周长为24，则， 进而，，故， 故的面积为，A错误， 对于B，由于，当在右顶点时等号取到， 故，故B正确， 对于C，由于双曲线一三象限的渐近线方程为， 故， 又当在右顶点时，，故，C正确， 对于D，设，， 则， 则， 解得或，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，将问题化为，从而得解. 39．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离为2 B．以为圆心，为半径的圆与相切 C．直线斜率的最大值为2 D．若，则的面积为2 【答案】ABD 【分析】A选项，求出焦点坐标和准线方程，得到答案；B选项，由抛物线焦半径公式可得B正确；C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线，联立抛物线方程，根据根的判别式得到方程，求出直线斜率的最大值；D选项，设，根据焦半径公式得到方程，求出，求出三角形面积. 【详解】A选项，易知，准线，所以到直线的距离为2，A选项正确； B选项，由抛物线的定义，点到准线的距离等于，所以以为圆心，为半径的圆与相切，B选项正确； C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线， 与抛物线联立可得：，令得：， 所以直线斜率的最大值为1，C选项错误； D选项，，设，则，解得， 所以的面积为，D选项正确. 故选：ABD． 40．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断C；设，结合数量积的坐标运算分析求解. 【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为， 又点满足，则， 整理得，解得或（舍去）， 即抛物线， 所以准线方程为，焦点为，故A错误； 对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知， 则周长 ， 当且仅当、、三点共线时取等号， 所以周长的最小值为，故B正确； 对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点， 即，解得，即， 则， 所以四边形不是平行四边形，故C错误； 对于选项D：设，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：BD 41．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 【答案】BCD 【分析】由双曲线的定义和条件，易得结论；设，则，计算直线与直线的斜率之积，其到两条渐近线的距离之积，判断选项A、D；利用双曲线的定义和性质可判断选项B、C. 【详解】 如图，， 设，则， 又，故A错误； 由双曲线的焦点弦的性质，可得过焦点垂直于轴的弦的长度最小， 即的最小值为，故B正确； 由双曲线的定义得， 所以， 故的周长为， 故C项正确； 由双曲线的渐近线方程为， 可得点P到两条渐近线的距离之积为 ，D正确. 故选：BCD 三、填空题 42．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得. 【详解】由题意可知，得，所以， 所以椭圆方程为， 椭圆的右焦点为，当时，，得， 所以. 故答案为： 43．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为 . 【答案】/1.5 【分析】由双曲线离心率公式结合基本不等式即可求解. 【详解】，， 由题意得， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 44．（23-24高二下·安徽安庆·期末）双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题意可得四边形为矩形，在直角三角形中，利用勾股定理列方程化简可求出离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c，可得， 即有四边形为矩形，由双曲线的定义可得， 在直角三角形中，， 即有，可得， 即. 故答案为： 45．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设，则，利用勾股定理得到 ，则得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可. 【详解】依题意，设，则， 因为点在以为直径的圆上，则， 在Rt中，，则， 故或(舍去)，所以， 则，故， 所以在中，， 整理得，则，则，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程， 46．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 【答案】/0.5 【分析】设，由和，得，，再由且椭圆C的离心率为，解出，可计算. 【详解】如图，记，， 因为，则，， 由椭圆的定义可得， 所以，则， 又且，有或， 解得或，又点在第一象限，所以， 得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：注意综合运用椭圆的有关定义和性质、、三角形的正弦定理、余弦定理、内角和定理，以及三角形的面积公式等等. 47．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知，是双曲线C：的左右焦点，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线与双曲线C交于点，且均在第一象限，若，则双曲线C的离心率是 ． 【答案】或 【分析】易得，再根据双曲线的定义结合，求出，求出，再在中，利用余弦定理构造的齐次式，即可得解. 【详解】因为均在第一象限， 所以垂足在渐近线上，， 则， 由题意可得，所以， 又因，所以，即， 所以，所以， 故， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， ， 即， 整理得， 即，解得或， 当时，离心率， 当时，离心率， 所以双曲线C的离心率是或. 故答案为：或. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 48．（23-24高二上·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意首先得，进一步由点差法得，由同理思想即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$