3.2.2双曲线的简单几何性质【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质 【考点梳理】 · 考点一：双曲线的简单几何性质 · 考点二：等轴双曲线 · 考点三：双曲线的渐近线问题 · 考点四：双曲线的的离心率问题 · 考点五：双曲线的齐次式问题 · 考点六：双曲线的中点弦问题 · 考点七：双曲线的弦长、焦点弦问题 · 考点八：双曲线中的定值、定点问题 【知识梳理】 知识点一：双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点二：等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 知识点三:直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 知识点四：弦长公式 |P1P2|＝· 重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质 1．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．的实轴长为4 B．的焦距为10 C．的离心率 D．的渐近线方程为 3．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 题型三：等轴双曲线 4．中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 题型三：双曲线的渐近线问题 7．已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 8．已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 题型四：双曲线的的离心率问题 10．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 题型五：双曲线的齐次式问题 13．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 14．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 15．设，分别是双曲线：的左､右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 题型六：双曲线的中点弦问题 16．过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 18．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 题型七：双曲线的弦长、焦点弦问题 19．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 20．已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 题型八：双曲线中的定值、定点问题 22．已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 23．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 24．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点 (1)求双曲线方程； (2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 【高分达标】 一、单选题 25．已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 26．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 27．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 28．已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 29．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 30．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 31．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 32．已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 33．已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 34．已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 35．设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若，则的面积等于 C．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D．以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 三、填空题 36．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 37．已知双曲线的左、右焦点分别为且在轴上，且双曲线上存在一点使得，若轴，则该双曲线的离心率为 ． 38．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为 ． 39．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ． 四、解答题 40．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 41．已知平面内两个定点，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，试证明直线过定点，并求出这个定点坐标． 42．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 43．已知是双曲线的一条渐近线，点在上. (1)求的方程. (2)已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2双曲线的简单几何性质 【考点梳理】 · 考点一：双曲线的简单几何性质 · 考点二：等轴双曲线 · 考点三：双曲线的渐近线问题 · 考点四：双曲线的的离心率问题 · 考点五：双曲线的齐次式问题 · 考点六：双曲线的中点弦问题 · 考点七：双曲线的弦长、焦点弦问题 · 考点八：双曲线中的定值、定点问题 【知识梳理】 知识点一：双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点二：等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 知识点三:直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 知识点四：弦长公式 |P1P2|＝· 重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质 1．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误； 虚轴长，故C错误； 离心率，故D正确. 故选：D. 2．已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．的实轴长为4 B．的焦距为10 C．的离心率 D．的渐近线方程为 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的焦距 【分析】根据双曲线，求得,再逐项判断. 【详解】解：因为双曲线，所以, 则，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，的渐近线方程为，故D错误， 故选：B 3．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的顶点坐标、求双曲线的焦点坐标 【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可 【详解】因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A. 题型三：等轴双曲线 4．中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据a、b、c求双曲线的标准方程、等轴双曲线 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【详解】解：令 ，得， 又双曲线焦点在x轴上， 等轴双曲线的一个焦点为， 即， ∴， 故等轴双曲线的方程为. 故选：A. 5．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、等轴双曲线 【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将代入即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点代入得，解得. 所以双曲线的标准方程为. 故选:C. 6．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、等轴双曲线 【分析】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中且即可求解. 【详解】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上， 故令得，即. 又因为且，所以， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 题型三：双曲线的渐近线问题 7．已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】先确定四边形为矩形，然后点，求出其到两个渐近线的距离，相乘计算即可得答案. 【详解】双曲线C：，即，为等轴双曲线，渐近线的夹角为， 则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为. 故选：B.    8．已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况，结合公式求出答案. 【详解】实轴长， 若双曲线焦点在x轴上，则双曲线方程为， 若双曲线焦点在y轴上，则双曲线方程为. 故选：C． 9．点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】先求出双曲线的方程，进而求出双曲线的渐近线方程，即可求出两点的坐标，即可求出的面积. 【详解】设双曲线为：， 因为，解得：， 所以双曲线为：，则双曲线的渐近线为：， 所以，解得：，则， 所以为等腰直角三角形， 所以的面积为. 故选：B. 题型四：双曲线的的离心率问题 10．过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据向量关系得出渐近线得倾斜角，再根据渐近线斜率及关系进而得出离心率. 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. 由 ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴, 连接 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 所以. 故选：A. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，可得，由双曲线定义得到，结合勾股定理可求出，在中，可得，即可求出离心率. 【详解】如图，，， 所以， 由双曲线的定义知， 又，则在中，， 在中，， 即，可得. 故选：A 12．直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意求出直线的方程，分别与两条渐近线方程联立求出两点的纵坐标，再由可求出的关系，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】由题意得直线为，双曲线的渐近线方程为， 由，得，即， 由，得，即， 因为，所以， 所以，化简得， 所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 题型五：双曲线的齐次式问题 13．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆与双曲线的性质结合离心率关系计算关系即可. 【详解】由题意可知， 又，所以， 易知双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为. 故选：A 14．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解. 【详解】因为在双曲线中，因为， 所以， 则，    在中，，， 所以，即，所以， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 15．设，分别是双曲线：的左､右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】先根据题意求出，进而根据得，根据，可解得. 【详解】 如图，双曲线的一个渐近线方程为， 故直线的方程为：，联立可得， ， 由得， 即得，得（负值舍去）. 故选：B. 题型六：双曲线的中点弦问题 16．过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设点，代入双曲线方程后做差，整理，可得关系，再利用消去即可求得离心率. 【详解】设点， 则有，两式做差后整理得， 由已知， ，又， ， 得 故选：B 17．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】根据韦达定理求参数、由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率 【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得 则， 则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率 故选：D 18．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设，，，则， 两式相减得，所以. 因为，，所以. 因为，， 所以，，故. 故选：C 题型七：双曲线的弦长、焦点弦问题 19．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 20．已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】双曲线中的参数及范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）根据渐近线方程得到，求出双曲线方程，写出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）由，得到或，表达出，根据对称轴为得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 21．在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据韦达定理求参数、求双曲线中的弦长、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程. 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 题型八：双曲线中的定值、定点问题 22．已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值3，理由见解析 【知识点】双曲线中的定值问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据双曲线的关系求解； （2）利用斜率公式以及点在双曲线上求解. 【详解】（1）由题可得，，解得， 所以双曲线方程为. （2）是定值3，理由如下， 设， 则. 23．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，2 【知识点】双曲线中的定值问题、求共焦点的双曲线方程 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得方程；（2）设直线，联立方程由可得，根据题意求的坐标，即可求的面积，化简整理即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则， 则双曲线的方程为. （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则，消得：， 则，可得：① 设与轴交点为， 则， ∵双曲线两条渐近线方程为：， 联立，解得，即， 同理可得：， 则（定值）. 24．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点 (1)求双曲线方程； (2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是定值，定值为. 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题可设双曲线方程为，进而即得； （2）利用直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法表示出直线MT和直线NT的斜率乘积，结合条件即得. 【详解】（1）由题意，可设双曲线方程为， 又双曲线过点， 所以，即， 故双曲线方程为； （2）由题知，设直线MN的方程为，且， 则由，得 ， 故  ， 故直线MT和直线NT的斜率乘积即可表示为： ， 即， 故直线MT和直线NT的斜率乘积为定值且该定值为. 【高分达标】 一、单选题 25．已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设曲线方程，带入点坐标得到等量关系，由渐近线方程的公式即可得到结论. 【详解】设双曲线：，点和在曲线上， ∴，两式相减可得，即. ∴渐近线方程为：， 故选：B. 26．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据条件得到圆的圆心和半径，进而得到，利用双曲线的渐近线和圆相切，得到，整理得到，再结合，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径，所以， 又双曲线的两条渐近线为，即， 由题知，整理得到，又，得到， 所以，，得到双曲线的方程为. 故选：B. 27．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】先判断斜率为0不符合题意，再设直线方程为，联立双曲线方程，由结合韦达定理列出方程，求解即可. 【详解】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意； 当直线的斜率不为零时，设直线的方程为， 联立，得， 设，由得， 而，即，解得，即． 故选：D 28．已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由离心率得，利用双曲线定义可得，由勾股定理逆定理可知为直角三角形进而得面积. 【详解】由题意可知，所以， 由双曲线定义可得，则， 则， 所以为直角三角形， 所以． 故选：B. 29．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，则，，再根据双曲线的定义求出，从而求出离心率. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 又， 所以双曲线的离心率. 故选：A 30．已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】解：设，，可得，， 两式相减可得， 点是弦的中点，且直线：， 可得，，， 即有，即， 双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故选：B． 31．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据几何关系转化为关于的齐次方程，再转化为关于离心率的方程，即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线的通径长为，如图所示， 则，若，所以，所以， 由于，所以，解得，因为，所以． 故选：C 二、多选题 32．已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】BD 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线方程可得、，即可得，即可得双曲线的渐近线方程、实轴长、焦距与离心率. 【详解】因为，，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确； 因为，所以双曲线的焦距为， 离心率为，故C错误，D正确． 故选：BD. 33．已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【答案】AB 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的性质计算分析选项即可. 【详解】由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A正确； 离心率为，故B正确； 令，即其渐近线方程为，故C错误； 不妨设，则其到渐近线的距离为，故D错误. 故选：AB 34．已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 【答案】AC 【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】由题意求出，即可求出双曲线方程，可得焦点坐标，判断AB；代入验证可判断C；求出直线所过定点，结合举特值，即可判断D. 【详解】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为，离心率，所以， 所以，所以双曲线C的方程为，所以C的焦点坐标为，A正确． 双曲线C的渐近线方程为，B错误． 因为，所以点在双曲线C上，C正确． 直线即，恒过点，即双曲线的右顶点， 当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误． 故选：AC 35．设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若，则的面积等于 C．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D．以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 【答案】BCD 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D. 【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误； ，故选项B正确； 把点坐标代入的方程得： ，选项C正确； 如图，两圆的圆心距是的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 36．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，无实数解， 综上所述：符合题意的取值为， 故答案为：. 37．已知双曲线的左、右焦点分别为且在轴上，且双曲线上存在一点使得，若轴，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】根据给定条件，求出，再利用双曲线定义，结合已知求解即得. 【详解】设双曲线的方程为，，由轴，得直线， 于是，解得，，， 而，因此，整理得， 而，则， 所以该双曲线离心率. 故答案为：    38．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为 ． 【答案】/ 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据焦点坐标可分别求得，，再由可得，可求出离心率. 【详解】易知右焦点坐标为， 将代入，得，则， 将代入渐近线方程得，则， 由于，故， 即，即， 则，解得． 故答案为： 39．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设过的直线与相切于点，过点作于，由相似可得，再结合双曲线定义和余弦定理可得，运算得解. 【详解】设过的直线与相切于点，过点作于， 易知，由相似比得， 所以，又，所以， 又点在上，所以，则， 在中，由余弦定理得，， 结合，代入化简得， 所以，即， 故渐近线方程为． 故答案为：．    四、解答题 40．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 41．已知平面内两个定点，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，试证明直线过定点，并求出这个定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 【知识点】直线过定点问题、求平面轨迹方程 【分析】（1）设出点坐标，根据条件建立方程，再化简求解即可. （2）联立方程组并利用韦达定理表示出，，再结合给定条件得到之间的关系，进而求出定点即可. 【详解】（1）设，由题意得， 化简得到，所以曲线C的轨迹方程为． （2）因为直线和的斜率之积为，所以直线的斜率存在, 设，，， 由，消得到， 则，，， 而， ， 化简整理得到，得到或， 当时，，直线过定点与重合，不合题意， 当时，，直线过定点，所以直线过定点． 42．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【知识点】根据韦达定理求参数、双曲线中的定值问题、求平面轨迹方程 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    43．已知是双曲线的一条渐近线，点在上. (1)求的方程. (2)已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 【答案】(1). (2)（i）证明见解析；（ii）. 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）由题可得，解该方程组即可得解. （2）（i）设，联立得，则由韦达定理结合中点坐标公式可求出的中点坐标，接着由的中点在直线上即可求解得证. （ii）由（i）结合弦长公式以及点到直线距离公式依次求出和的中点到直线的距离，再由即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以的方程为. （2）（i）证明：设， 由得， 由题意得， 设中点的坐标为，则 所以. 因为的中点在直线上，所以，即， 因为，所以，故的斜率为定值. （ii）由（i）得的方程为， 且， 又点到的距离， 所以， 解得，所以的方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$