北京市东直门中学2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷 (无答案)

北京市东直门中学2024-2025学年度第一学期期中考试 初三数学2024.11 命题人：王彦杰 审题人：马辰腾 考试时间：120分钟 总分100分 班级___________姓名___________学号___________ 一、选择题（每题2分，共16分） 1.随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2.若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. B.-3 C.3 D.15 3.抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 5.已知点，都在二次函数图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D.无法确定 6.如图，的内接四边形中，，那么是（ ） A. B. C. D. 7.如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ） A.3 B.23 C. D.6 8.我们将满足等式的每组，的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形.下面三个结论中， ①“心形”图形是轴对称图形；②“心形”图形所围成的面积一定大于2： ③“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于.其中正确结论有（ ）. A.① B.①② C.①③ D.①②③ 二、填空题（每题2分，共16分） 9.已知的半径为2，点到圆心距离是4，则点在______（填“内”、“上”或“外”）. 10.请写出一个开口向下，经过点的二次函数解析式__________________ 11.二次函数的图象可以由函数向______平移______个单位得到. 12.如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的度数为______. 13.如图，在中，若，，，则的长为______cm. 14.如图，，是的切线，切点分别是点和，是的直径.若，，则的长为______. 15.下列关于抛物线的四个说法中正确的是______.（填写正确的序号） ①抛物线的开口方向向下；②抛物线与轴交点的坐标为； ③当时，抛物线的对称轴在轴右侧；④对于任意的实数，抛物线与轴总有两个交点. 16.已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点的半径为2，点为上一动点，点为的中点，则的最大值为______. 三、解答题（共68分：17题至22题，每题5分；23题至26题，每题6分；27、28题每题7分） 17.解方程：. 18.如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于原点中心对称，则的坐标为__________； （2）画出绕原点顺时针旋转的； （3）外接圆圆心的坐标为___________. 19.圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度. 20.下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程. 已知：如图1，及圆上一点. 求作：直线，使得为的切线，为切点. 作法： ①连接并延长到点，如图2； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线. 直线就是所求作的直线. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明.（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接. 点在上， 是的直径. .（ ① ） 是的半径， 是的切线.（ ② ） 21.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最大整数，求此时方程的根. 22.在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长）， 用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则. （1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当多长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 23.已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … -3 -2 -1 0 1 … … 0 -3 -4 -3 0 … （1）求这个二次函数的表达式： （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是_______. 24.如图，是的直径，直线经过上的点，于点，交于，平分. （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长. 25.广场修建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为米，距地面的高度为米，测量得到如表数值： 米 0 1 2 3 4 4.4 米 2.5 3.3 3.3 2.5 0.9 0 小庆根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小庆的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； （2）结合函数图象，出水口距地面的高度为________米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为________米； （3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要________（填“升高”或“降低”）________米（结果保留小数点后一位） 26.在平面直角坐标系中，已知抛物线. （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）： （2）点，在抛物线上，其中，. ①若的最小值是，求的值； ②若对于，，都有，求的取值范围. 27.已知：中，，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于. （1）喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系.于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系.你认为小捷的猜想是______（填“>”，“=”或“<”）； （2）当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2， ①在补全的图2中找出与相等的角______________ ②在图2中探索（1）中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由； （3）如图3，当在边的反向延长线上时，直接写出，，的数量关系（用等式表示）. 28.对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：点是图形上任意一点，若存在点，使得是直角，则称点是图形的“直角点”. （1）已知点，在点，，中，是点的“直角点”； （2）已知点，，若点是线段的“直角点”，求点的横坐标的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知点，，以线段为边在轴上方作正方形.若正方形上的所有点均为线段的“直角点”，直接写出的取值范围， 学科网（北京）股份有限公司 $$