第6章 圆 单元整体构建-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

单元整体构建 易错题专练 众相提醒]求两弦的距离时，常需分类讨论 【温馨提示】 1.如图，一下水道管道横截面为圆形，直径为260cm,下 涉及两弦且弦的位置未确 雨前水面宽为100cm,一场大雨过后，水面宽为 定时，常需分两种情况：(1) 240cm,则水位上升了 两弦位于圆心的同侧：(2) cm. 第1题图 两弦位于圆心的异侧 众相提醒2一条弦对应的圆周角的度数有两种，且和为180° 【温馨提示】 2.在半径为2的⊙0中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数 当已知一条弦和其对应的 为 圆心角，求其对应的圆周角 众相提醒了由距离判断直线与圆的位置关系时，这个距离必须是圆 时，需分类讨论：(1)圆周角 顶点在弦所对的优孤上： 心到直线的垂线段的长 (2)圆周角顶，点在弦所对的 3.已知⊙0的半径为2，直线1上有一点P满足P0=2,则直线1与⊙0 劣孤上 的位置关系是 ( 【温馨提示】 A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 在利用距离判断直线与圆 【变式】设⊙0的半径是6，点0到直线1的距离为d,⊙0与直线1有 的位置关系时，一定要找准 公共点，则d的取值范围是 圆心到直线的距离，即圈心 到直线的垂线段的长， 众相提醒4相切且未说明具体位置时，要对切线的位置考虑全面 【温馨提示】 4.已知⊙0的半径为3cm,B为⊙0外一点，OB交⊙0于点A,AB=OA, 若圆或直线进行旋转或平 动点P从点A出发，以Tcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一 移运动，判断直线与圆相切 周回到点A时立即停止.当点P运动的时间为 s时，BP与 时，需从切线的不同位置进 ⊙0相切 行讨论 【解法点拨】若BP与⊙O相切，则∠OPB=90°，而点P位置不确定，则 应该就点P在OB的两侧分情况讨论，分别计算出此时，点P的运动路 径（孤长），再结合速度求出时间， 众相提醒5求阴影部分的面积时，防止重复加或少减重叠面积 【温馨提示】 5.如图，扇形0OBA的圆心角∠AOB=120°，将扇形OBA沿A0方向平移 利用“和差法”和“容斥原 得到扇形O'B'A',此时点A'与点O重合，A'B经过点B,若OA=23, 理”求阴影部分面积时，要 则阴影部分的面积为 理清图中重叠部分面积，防 止重复加或少减重叠部分 面积. 04'0 第5题图 132 众相原创赋能中考云南数学 题一单元 圆的综合探究 如图1，四边形ACBD内接于⊙O,AB为直径，CD (5)求E的值： 交AB于点E,连接CO,DO.已知AB=4,AD= AE BD,∠ABC=30°. B D 图1 (1)∠ADC= ,∠A0C= (2)AC= BC AC的长 为 (6)如图2，分别过D,B两点作⊙0的切线交于 (3)求CD的长和△COD的面积； 点H,连接OH. D 图2 ①求DH的长； (4)求阴影部分的面积： ②求证：四边形ADH0是平行四边形. 第六章圆133 (7)如图3，AM是∠CB的平分线，CF1AB,垂(8)如图4，Q是BC的中点，P是直径AB上的动 足为F,交AM于点N,CG∥AM交BA的延长线 点，求CP+QP的最小值 于点G. D 图3 图4 ①求证：CG是⊙O的切线： ②求CN的长. 134众相原创赋能中考云南数学小专题培优11阴影面积计算的方法 ∴DH=OB,DH∥OB,DH∥OA. 1B23C4.C5126.27.D82m-4 :OA=OB.∴.DH=OA. 四边形ADH0是平行四边形. 9.12m-93 (7)①证明：如解图2，连接CM, 4 10.D11.B12.A13.A14.10m ,AB为⊙0的直径，∠ACB=90°. 15.D16.D ∠ABC=30°∴.∠AMC=∠ABC=30°，∠CAB=60° 单元整体构建 :AM是∠CAB的平分线，∠C4M=之∠CAB=30, 易错题专练 1.70或1702.30或150°3.D【变式】0≤d≤6 .∠CAM=∠CMA÷AC=C1OC⊥AM. 4.1或55.2m+35 CG∥AM,∴OC⊥CG 一题一单元圆的综合探究 ,0C是⊙0的半径，∴CG是⊙0的切线. （1)30°6022252号 (3)解：AD=BD,AB为⊙O的直径， ∴.△ADB是等腰直角三角形， ∠ABD=45,AD=BD-号AB=22∠ACD=45 如解图1，过点A作AM⊥CD于点M, D 解图2 则△AMC为等腰直角三角形AM=CM=二AC=2 2 ②解：，∠A0C=60°，CF⊥0A,0C=2, 在RL△AMD中，∠ADC=30°， .OF-0C1.CF-.AF-0A-OF-1 .MD=AD·cs30°=6，.CD=CM+MD=万+6 0C⊥CG,.∠G=90°-∠A0C=30°， 过点O作ON⊥CD于点N, ∴.0G=20C=4..GF=0G-0F=3. 由垂径定理，得CN=0N=D=2子6 2 /0器-器芳宁 0N=0c-Cm=6-2 2 CN=CF-NF-25 F=3 31 am=2D.0N=x(2+,6)x62=1 (8)解：如解图3，过点Q作QQ'上AB交⊙0于点Q',连 2 接C0',PQ',则QP=Q'P,∴.CP+QP=CP+Q'P, ∴.CP+OP的最小值即为CP+O'P的最小值 CP+QP≥CQ', B .当C,P,Q三点共线时，CP+Q'P取得最小值，最小值 为CQ的长 ∠A0C=60°，Q为BC的中点， D ÷AC=0=OB=B0 解图1 ∴.∠C0Q'=3∠A0C=180°，即CQ'为⊙0的直径，CQ'=4, (4)解：∠A0C=60°，∠A0D=2∠ABD=90°， CP+QP的最小值为4. ∴.∠COD=∠A0C+∠A0D=150°， .Sm形0w=150m×2_5π. 360 由（3)知5am=1n=Sw-5am-7-1 (5)解：如解图1.∠OEN=∠AEM,∠ONE=∠AME=90° 6-2 A△0BaE-得- D 2-B- 2 解图3 (6)①解：：DH.BH均为⊙0的切线， 第七章图形的变换 ∴.∠0DH=∠OBH=90. 第一节 尺规作图 由(3)知，△ADB是等腰直角三角形 一阶教材知识全梳理 .∠D0B=2∠DAB=90, ①M②线段a的长 ③0④0'⑤0C的长⑥C 又OD=OB,∴四边形ODHB是正方形， DH-OB-7AB-2. ⑦CD的长⑧0⑨大于MN的长0∠A0B的内部 2证明：由①知，四边形ODHB是正方形， ABBB大于2B的长BP雪大于CD的长 云南数学23