第6章 小专题培优9～10 圆中常见辅助线的作法 四点共圆问题-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

BF切⊙O于B,∠FBC-∠CAB. 2.A【解析】如解图，连接AB.AC⊥BC,∴.∠ACB= .OC =0A.CF BF. 90°.∠ADC=30°，：∠ABC=30°.在Rt△ABC中， ∴.∠ACO=∠OAC,∠FCB=∠FBC.∴.∠FCB=∠ACO tan∠ABC= AC .∠ACB=90°，.∴.∠AC0+∠BC0=90°. AC.:BC ianZ ABC AC=4...BC BC' ∴∠FCB+∠BC0=90°，即∠0CF=90°，.0C⊥CG 4 0C是⊙0的半径，.CG是⊙0的切线， tan30 =4及.故选A (3)解：如解图，过点F作FJ⊥CE于点J FC=FB=FE,FJLCE,..CJ=JE. ·CE=EH.,EH=2JE. 易知FJ∥AH,∴△FJE∽△AHE, 是品分=2p4 第2题解图 ..AF=AE+EF=6. 3.B【解析】如解图，连接BC.AB是⊙0的直径， 在R△ABF中，BF=2,∠ABF=90° AB=√AF-BF=6-2=42. .LACB0C.....CU .⊙0的半径为22 ∠CAB=60°，D是BC的中点，DC=DB, 六∠CD=∠DAB=子∠CB=30,故选B B 第9题解图 第3题解图 第三节与圆有关的计算 4.D【解析】如解图，连接OA,OB,在AB所在的优弧上 一阶教材知识全梳理 找一点E,连接EA,EB.:PA,PB分别与⊙O相切于点 02mr②③m产④"5 ⑤11 ⑥2+h2=2 A,B,.OA⊥PA,OB⊥PB,.∠PA0=∠PB0=90. 360 180 ∠P=80°，.∠A0B=180°-∠P=100°，.∠AEB= 二阶追本溯源练考点 50.四边形ACBE是⊙0的内接四边形，∴.∠E+ 1.D2.B ∠ACB=180°，∴∠ACB=130°.故选D. 3.(1)π3m(2)7.5° 4π (3)12(4)120% 4.C5.A6.(1)82120(2)27m 1600（2号(363 4)a3+59年6) 第4题解图 小专题培优9圆中常见辅助线的作法 5.(1)证明：如解图，过点0作OE⊥AC,垂足为E. 1.D【解析】如解图，连接0A,设⊙0的半径为r,P为 :以点0为圆心，B0长为半径的⊙0与AB相切于点 B..OB⊥AB. OC的中点.0P=CP=20P⊥ABAP=BP= A0平分∠BAC..0E=0B..OE是⊙0的半径 4B=6在△0P中，（宁P+6=,解得r=45 又·OE⊥AC,.AC是⊙O的切线. (2)解：由(1)知OB⊥AB,.∠ABC=90 (负值已舍去)，·PC=23.在Rt△APC中，AC= 在R△ABC中，AB=5,AC=13. √(23)2+6=45.故选D. BC=√AC-AB=√13-5=12 AB,AC均为⊙O的切线，切点分别为B和E, .AE=AB=5,.'.CE=AC-AE=8. 设⊙0的半径为r,则0E=0B=r,0C=BC-0B=12-r 在R1△COE中，根据勾股定理，得OC=CE+OE2,即 第1题解图 （2-八2=8+，解得r=号即0= 3 云南数学21 10 4.解：.AC=CD,∠CMD=22°， S,B03 5 ,m= .∠CDA=∠CAD=22°， ∴∠ACD=180°-∠CAD-∠CDA=136°. ∠ACB=∠ADB=90°， 如解图，A,B,C,D四点共圆，且AB为直径， ∴.∠ABD=180°-∠ACD=44°， .∠DAB=90P-∠ABD=46 D 乃 第5题解图 小专题培优10四点共圆问题 第4题解图 1.C【解析】如解图，取BE的中点K,连接AK,OK四5.证明：如解图，连接OQ,QE,QA. 边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90.E0⊥BD, ,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， .∠BOE=90°，∴.四边形ABOE对角互补，∴.A,B,O,E ∠CAB=∠CBA=45. 四点共圆，.∠ABE=∠AOE=20°.故选C. PF平分LQPO,LQPE=LEPA=?∠QPO. PQ是⊙0的切线，∴∠PQ0=90°， ∴∠Q0P=90°-∠QP0. 0=0A∠400=∠00=2(180e-∠00P)= 第1题解图 2(180°-90°+L0P0)=45+3∠0P0. 2.5【解析】如解图，以A为圆心，AB长为半径作圆， 延长BA交⊙A于点F,连接DFAB=AC=AD=2, LP01=90°-∠A00=90°-(45°+7∠QP0)= D,C在OA上.DC∥AB,.DF=BC,DF=CB= 45-7∠QP0=∠CB-LEPA=LPEA, 1,BF=AB+AF=2AB=4.FB是⊙A的直径， P,A,E,Q四点共圆。 .∠FDB=90°，.BD=/4-1=15 第5题解图 6.解：如解图，连接GF,设AA'与DE相交于点O 第2题解图 ,点A关于DE的对称点为A'.∴.AM'⊥DE. 3.3-1【解析】：∠BAD=∠BCD=90°，.A,B,C,D ∴，∠AOE=90°=∠DAE=∠ABG ÷∠ADE+∠DEA=90°=∠DEA+∠EAO. 四点共圆，且BD为直径，取BD的中点O,则圆心为点 .∴.∠ADE=∠EAO O.连接AO.CO.取AO的中点F,连接EF,DF,,∠ACD ,∠ADE=∠BAG, =30°，∴，∠A0D=60°.0A=0D,△0AD为等边三 在△ADE和△BAG中，AD=AB, 角形..OA=OD=OC=AD=2.,∠AFD=90°.则DF L∠DAE=∠ABG, =5.易知EF是△40C的中位线EF=0C=1. ∴△ADE≌△BAG(ASA),∴.AE=BG. E,F为AB的三等分点，∴，BF=BG, :DF-EF≤DE,.当D,E,F三点共线时，DE取到最小 ,∴∠GFB=∠FGB=45 值，最小值为3-L,DE的最小值为3-1. AO=OA',AE=EF,.EO是△AA'F的中位线， EO∥A'F,.∠FA'G=∠FBG=90°， ∴点F,B,G,A'四点共圆.∴∠GM'B=∠GFB=45 第3题解图 第6题解图 22 众相原创赋能中考小专题培优9 圆中常见辅助线的作法 垂径定理中，连半径构 类型 见直径，作直径所对的圆周角 见切线，作半径 造直角三角形 图示 6 (1)已知圆的切线，往往是连接过切 利用垂径定理解题最常见 已知圆的直径，利用“直径 点的半径，利用“切线与半径垂直”这 解题 的作法就是构造直角三角 所对的圆周角是直角”构造 一性质求解： 思路 形，并结合已知条件找出半 直角三角形 (2)证切线：①有交点：连半径，证垂 径，弦长与弦心距间的关系 直：②无交点：作垂直，证半径 1.如图，在⊙0中，弦AB=12,半径OC⊥AB于点 (1)求证：AC是⊙0的切线： P,且P为OC的中点，则AC的长是( (2)若AB=5,AC=13,设△AB0的面积为S1, A.4√2 B.6 C.8 D.43 △ABC的面积为S2,m= 求常数m的值， .0 第1题图 第2题图 2.如图，点A.B,C,D在⊙0上，AC⊥BC,AC=4, ∠ADC=30°，则BC的长为 () 第5题图 A.43 B.8 C.42 D.4 3.如图，AB是⊙0的直径，若AB=2AC,D是BC 的中点，则∠CAD的度数为 () A.15 B.30° C.45° D.60° 第3题图 第4题图 4.如图，PA,PB分别与⊙0相切于点A,B,∠P= 80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是 A.110 B.120°C.125°D.130° 5.如图，在△ABC中，A0平分∠BAC交BC于点 0,以点O为圆心，B0长为半径的⊙0与AB 相切于点B,与BC相交于点D, 126众相原创赋能中考云南数学 小专题培优10 四点共圆问题 方法 图示 圆心 方法一：到定点的距离等于定长的 该定点 点都在同一圆上（概念） 分析：OA=OB=OC=OD 方法二：同侧共边三角形且公共边 两条弦垂直 所对角相等的四个顶点共圆（同弧 平分线交点 所对圆周角相等) 四 分析：∠ACB=∠ADB 的 0 方法三：共斜边的两个直角三角形 斜边中点 的四个顶点共圆 分析：RL△ABC和RI△ABD共斜边，取AB的 中点O,根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半，可得0A=OC=OD=OB 方法四：对角互补的四边形四个顶 四边形相邻两边 点共圆（圆内接四边形性质） 垂直平分线交点 分析：∠A+∠C=180(或∠B+∠D=180) 1.如图，矩形ABCD的对角线相交于O,过点O3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°， 作OE⊥BD,交AD点E,连接BE,若∠ABE= ∠ACD=30°，AD=2,E是AC的中点，连接DE,则 20°，则∠A0E的大小是 ( 线段DE长度的最小值为 A.10° B.15 C.20° D.30° B 第1题图 第2题图 2.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB,BC=1, 第3题图 AB=AC=AD=2,则BD的长为 第六章圆127 4.如图，在四边形ABDC中，∠ACB=∠ADB=6.如图，在正方形ABCD中，E,F为边AB上的两 90°，AC=CD,若∠CAD=22°，求∠DAB的 个三等分点，点A关于DE的对称点为A',A4' 度数 的延长线交BC于点G.求∠GA'B的大小 第4题图 第6题图 5.如图，⊙O是以等腰R1△ABC的斜边AB为直径 的圆，P是BA延长线上的一点，过点P作⊙O 的一条切线，切点为Q,∠QPB的平分线交AC, BC于点E,F.求证：P,A.E,Q四点共圆 第5题图 128众相原创赋能中考云南数学