第6章 第2节 与圆有关的位置关系-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

.DF EF BF CF, :OC是⊙0的半径，DC是⊙0的切线。 B,C,D,E四点在以点F为圆心C长为半径的 圆上 第4题解图 5.解：EA与⊙0相切，证明如下： 如解图，连接OA. DA AB 第3题解图 DA·AC=DC·AB,DCC 4.(1)①A②证明略 :BC是⊙0的直径，∴.∠BAC=90°=∠ADC, (2)C ,△ABC∽△DAC.∴，∠ACB=∠ACD 5.B6.B7.B8.A9.90°64°64°64°32 OA=OC.∴.∠OAC=∠ACB=∠ACD 10.C ∴OA∥CD,∴.∠OAE=∠CDE=90°，.OA⊥DE. 第二节与圆有关的位置关系 又，0A是⊙0的半径，∴EA与⊙0相切 一阶教材知识全梳理 ①<②=③<④相切⑤=⑥>⑦垂直 ⑧垂直⑨半径0垂直①半径2垂直⑧半径 一个5切点6两相等⑧平分 四垂直平分线②四2角平分线 第5题解图 二阶追本溯源练考点 6.(1)12(2)60 1.(1)圆上圆外圆内相交(2)相切相离 2.(1)4(2)2(3)2或4 7.(1)25 2g2 (3)4 3.证明：(1)如解图1，连接0C 8.A【解析】如解图，连接B队.△ABC是等边三角形， OA=OB,CA=CB,.OC⊥AB. ∠ABC=∠BAC=∠C=60°，.∠D=∠C=60°.点 又：0C是⊙0的半径. 直线AB是⊙O的切线， I为等边△ABC的内心，LAB=号∠BMC=30. ∠B4=3∠ABc=30∠ABD=180-∠D-∠AB =90°，∠DIB=∠IAB+∠IBA=60P,..AD是△ABC外 接圆的直径.∠DB1=1809-∠D-∠D1B=60°， △DBI是等边三角形，，DI=BL.∠IAB=∠BA, 第3题解图1 1=BD1=AM=2AD=2BD=1=2线段 (2)如解图2，过点0作0D⊥AB于点D. DB的长为2.故选A 第3题解图2 .0A=0B=13,AB=24. .AD-A12..OD=/OA=5. 第8题解图 三阶分层设问攻重难 ⊙0的直径为10，⊙0的半径r为5， 9.(1)证明：如解图，连接BC .OD=r,,AB是⊙0的切线 易得CH∥BD.∴.△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF, 4.证明：如解图，连接OC CE AE AE EH CE EH OC=OB,.∠OCB=∠OBC F-AFAF=FB心DFFB ∠ABC=∠DCA.∴.∠OCB=∠DCA. ,E为CH的中点，∴.CE=EH,BF=DF 又：AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°， AB为⊙0的直径，.∠ACB=∠DCB=90 ∴.∠AC0+∠0CB=90°， .·BF=DF,.CF=DF=BF,即FC=FB. .∠DCA+∠AC0=90°，即∠DC0=90°，.DC⊥0C. (2)证明：如解图，连接OC 20 众相原创赋能中考 BF切⊙O于B,∠FBC-∠CAB. 2.A【解析】如解图，连接AB.AC⊥BC,∴.∠ACB= .OC =0A.CF BF. 90°.∠ADC=30°，：∠ABC=30°.在Rt△ABC中， ∴.∠ACO=∠OAC,∠FCB=∠FBC.∴.∠FCB=∠ACO tan∠ABC= AC .∠ACB=90°，.∴.∠AC0+∠BC0=90°. AC.:BC ianZ ABC AC=4...BC BC' ∴∠FCB+∠BC0=90°，即∠0CF=90°，.0C⊥CG 4 0C是⊙0的半径，.CG是⊙0的切线， tan30 =4及.故选A (3)解：如解图，过点F作FJ⊥CE于点J FC=FB=FE,FJLCE,..CJ=JE. ·CE=EH.,EH=2JE. 易知FJ∥AH,∴△FJE∽△AHE, 是品分=2p4 第2题解图 ..AF=AE+EF=6. 3.B【解析】如解图，连接BC.AB是⊙0的直径， 在R△ABF中，BF=2,∠ABF=90° AB=√AF-BF=6-2=42. .LACB0C.....CU .⊙0的半径为22 ∠CAB=60°，D是BC的中点，DC=DB, 六∠CD=∠DAB=子∠CB=30,故选B B 第9题解图 第3题解图 第三节与圆有关的计算 4.D【解析】如解图，连接OA,OB,在AB所在的优弧上 一阶教材知识全梳理 找一点E,连接EA,EB.:PA,PB分别与⊙O相切于点 02mr②③m产④"5 ⑤11 ⑥2+h2=2 A,B,.OA⊥PA,OB⊥PB,.∠PA0=∠PB0=90. 360 180 ∠P=80°，.∠A0B=180°-∠P=100°，.∠AEB= 二阶追本溯源练考点 50.四边形ACBE是⊙0的内接四边形，∴.∠E+ 1.D2.B ∠ACB=180°，∴∠ACB=130°.故选D. 3.(1)π3m(2)7.5° 4π (3)12(4)120% 4.C5.A6.(1)82120(2)27m 1600（2号(363 4)a3+59年6) 第4题解图 小专题培优9圆中常见辅助线的作法 5.(1)证明：如解图，过点0作OE⊥AC,垂足为E. 1.D【解析】如解图，连接0A,设⊙0的半径为r,P为 :以点0为圆心，B0长为半径的⊙0与AB相切于点 B..OB⊥AB. OC的中点.0P=CP=20P⊥ABAP=BP= A0平分∠BAC..0E=0B..OE是⊙0的半径 4B=6在△0P中，（宁P+6=,解得r=45 又·OE⊥AC,.AC是⊙O的切线. (2)解：由(1)知OB⊥AB,.∠ABC=90 (负值已舍去)，·PC=23.在Rt△APC中，AC= 在R△ABC中，AB=5,AC=13. √(23)2+6=45.故选D. BC=√AC-AB=√13-5=12 AB,AC均为⊙O的切线，切点分别为B和E, .AE=AB=5,.'.CE=AC-AE=8. 设⊙0的半径为r,则0E=0B=r,0C=BC-0B=12-r 在R1△COE中，根据勾股定理，得OC=CE+OE2,即 第1题解图 （2-八2=8+，解得r=号即0= 3 云南数学21第二节 与圆有关的位置关系 阶教材知识全梳理 考点1点、直线与圆的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 (设⊙0的半径为r.点到圆心0的距离为d) (设0的半径为r,圆心0到直线/的距离为d) 位置关系 点A在圆内点B在圆上 点C在圆外 位置关系 相交 ④ 相离 d与r的 d与r的 rd② d① d>r d③ rd d 关系 关系 图示 图示 ■( 公共点 2 个数 0 考点 切线的性质与判定(重点) 概念 直线与圆有唯一的公共点,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点 性质 圆的切线 于过切点的半径 (1)经过半径的外端并且⑧ 干这条半径的直线是圆的切线:(判定思路:已知公共 点,连 ,证 判定 (2)圆心到直线的距离等于 的直线是圆的切线;(判定思路:未知公共点,作 ,证 (3)和圆只有④ 公共点的直线是圆的切线(概念) 【特别提醒】判断直线和圆位置关系的思路:(1)看直线和圆的公共点的个数;(2)判断圆心到直线的距 离和圆的半径的大小关系 (考点3 切线长和切线长定理* 内容 举例 经过圆外一点作圆的切线,这点和 如图,PA.PB是⊙0的两条切线 切线长 之间线段的长,叫做这点到 圆的切线长 从圆外一点可以引圆的 条切 切线长 可得:(1)AP=BP;(2)AB10P;(3)乙AP0= 线,它们的切线长 ,这一点和 定理{ 圆心的连线 乙BP0:(4)BE=AE;(5)AP 1A0.BP 10B; 两条切线的夹角 (6)点A.0.B.P四点共圆 120 众相原创 赋能中考 ,云南数学 考点 三角形的外接圆和内切圆 三角形的外接圆 三角形的内切圆 图示 概念 经过三角形三个顶点的圆 与三角形三边都相切的圆 圆心 的交点 外心:三角形三条边的 内心:三角形三条② 的交点 性质 外心到三个顶点距离相等,即0A=0B=0C 内心到三边的距离相等,即OD=0E=0F 角度关系 2BOC=2 乙BAC 作三角形任意两边的垂直平分线,其交点即为圆 作三角形任意两个内角的平分线,其交点即 画法 心0,以点0到任一顶点的距离为半径作⊙0 为圆心0,以点0到任一边的距离为半径作 即可 0即可 二阶追本潮源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 考点1 点、直线与圆的位置关系 (3)若A的位置不确定,则r= 1. 教材(人教九上P101T2改编)如图,在 考点2 切线的性质与判定(8年7考,近5 年连续考查) R ABC , BAC=90*$,AB=6.BC=10.D是 BC的中点,以A为圆心,r为半径作A 3. 教材(人教九上P123T4改编)如图,△0AB 为等腰三角形,0A=0B 第1题图 第3题图 (1)若r=6,则点B在 ,点C在 (1)若⊙0经过AB的中点C.求证:直线AB是 ,点D在 (填“圆内” 0的切线; “圆外”或“圆上”):直线BC与⊙A的位置关 系是 (2)若,24. 24,则直线BC与OA的位置关系是 ;若r=3,则直线BC与⊙A的位置 关系是 一题多点 2. 教材(北师九下P122T17改编)已知点A与 半径为,的⊙0上的点的最小距离为2,最大 距离为6. (1)若A在⊙0内,则/= (2)若A在⊙0外,则,= 第六章 圆 121 ($)若0A=0B=13,AB=24.0的直径 0的位置关系,并证明你的结论 10.求证:AB是⊙0的切线 第5题图 时考点3 切线长和切线长定理 6. 教材(人教九上P101T6改编)如图,P为⊙0 外一点,PA.PB分别切⊙O于点A.B.CD切 0于点E,分别交PA.PB于点C.D 4. 真题(2021云南22题节选)如图,AB是⊙0 (1)若PA=6,则△PCD的周长为 (2)若 P=60*},连接0A.0P,则 A0P= 的直径,点C是⊙0上异于A.B的点,连接 AC.BC,点D在BA的延长线上,目乙DCA= 乙ABC.求证:DC是⊙O的切线 第6题图 考点4 三角形的外接圆和内切圆 第4题图 7. 教材(人教九上P103T14改编)已知△ABC. 设7为内切圆半径,R为外接圆半径 (1)若AB=10,AC=6,BC=8,则= R= (2)若△ABC是等边三角形,且AB=2.则r= R= (3)若AC=5.AB=7.BC=10.△ABC的面 $ 为44,则r= 8. 教材(人教九上P124T13改编)如图,点1为 等边△ABC的内心,连接A/并延长交△ABC 的外接圆于点D.已知外接圆的半径为2,则线 段DB的长为 ( ) 5. 真题(2023云南23题节选)如图.BC是⊙0 的直径,A是⊙0上异于B.C的点,0外的 第8题图 点E在射线CB上,直线EA与CD垂直,垂足 A.2 B.3 C.4 D.23 为D.且 DA·AC=DC·AB.判断直线EA与 122 众相原创 赋能中考 云南数学 三m 分层设问攻重难 基础:能力·培优 D重难点 与圆切线相关的证明与计算 9.如图,已知点C是以AB为直径的⊙0上一点,CH1AB于点HI.过点B作⊙0的切线交直线AC于 点D.点E为CH的中点,连接AE并延长交BD干点F.直线CF交AB的延长线于点C 0 第9题图 基础层一 (1)求证:FC-FB; 能力层》》(2)求证:CG是o0的切线; 培优层》(3)若FB=FE=2,求0的半径. 温馨提示 请完成分层进阶练习册P55~P56习题 第六章 圆 123