第6章 第1节 圆的相关概念及性质-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第六章圆 第一节 圆的相关概念及性质 一阶了教材知识全梳理 考点1圆的相关概念及性质 1.圆的相关概念 概念 举例 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋 圆 转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固 定的端点O是① ,线段0A是② 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图，点A,B,C,D均在⊙0上 弦 经过圆心的弦叫做③ 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A,B 为端点的弧记作B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 则图中的弦有CD,BD: 一条弧都叫做半圆 半径有@ 弧 直径有3 大于半圆的弧叫做④ (用三个点表示)： 优弧有通 小于半圆的弧叫做⑤ 劣弧有西 在⑥ 圆或⑦ 圆中，能够相互 圆心角有0 ⑧ 的弧叫做等弧 圆周角有 圆心角 顶点为⑨ 的角叫做圆心角 顶点在0 ,并且两边都与圆① 圆周角 的角叫做圆周角 2.基本性质 既是轴对称图形，又是中心对称图形.对称轴是任意一条⑧ 所在的直线，对称 对称性 中心是四 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 3.圆的确定 (1)经过平面内一点可以作无数个圆，圆心是这一点之外任何点： 过已知 (2)经过平面内两点可以作无数个圆，圆心在连接这两点的线段的垂直平分线上： 点作圆 (3)经过平面内不在同一条直线上的三个点确定一个圆，圆心为三条连接其中任意两点 的线段的垂直平分线的交点 确定一个 (1)已知圆心和纱 可以确定一个圆： 圆的条件 (2)⑩ 的三个点确定一个圆 116 众相原创赋能中考云南数学 考点2弧、弦、圆心角之间的关系 内容 数学表达 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 如图，在同圆或等圆中，有以 定理 四 ,所对的弦也② 下三个结论： (1)圆心角相等：∠AOB= 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 推论1 ∠A'OB': 所对的圆心角②刚 ,所对的弦 (2)弧相等：AB=A'B: 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们 (3)弦相等：AB=A'B' 推论2 所对的圆心角团 所对的优弧和劣 只要满足其中一个，另外两个一定成立，即 弧分别四 “知一求二” 【特别提醒】(1)在应用以上定理和推论时一定注意“同圆或等圆”这个前提条件；(2)若已知等孤，则满 足“同圆或等圆”，但等弦和长度相等的孤，则不一定满足“同圆或等圆” 考点③垂径定理及其推论 内容 数学表达 垂直于弦的直径网 弦，并且②四 弦所 如图，有以下五个结论： 定理 对的两条弧 (1)AD BD:(2)AC=BC: (3)AMM=BM:(4)AB⊥CD: (5)CD是⊙0的直径 平分弦（不是直径）的直径@ 于弦， 推论 若其中任意两条结论成立，那么其他三个 并且① 弦所对的两条弧 结论也成立，即“知二推三”（若由(3），(5) 推其他3个结论应满足AB不是直径) 【特别提醒】(1)半径、弦心距和孩的一半构成直角三角形，满足勾股定理O4=A+O川（如上图），常 用于在圆中求线段长： (2)求國内两条平行弦间的距离()时，需要分情况讨论： 情况一：当两条弦位于圆心同侧 情况二：当两条弦位于圆心异侧 (d=OF-0E) (d=OF+OE】 考点4圆周角定理及其推论（重点） 内容 示例 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 定理 见 如图，AB是⊙O的直径， 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 C,D在⊙0上，则∠ABC= 西 =闭 半圆（或直径）所对的圆周角是 推论2 ∠AOC,∠ACB=8 90的圆周角所对的弦是5 第六章圆117 续表 【特别提醒】(1)一条孤只对应一个圆心角，却对应无数个相等的圈周角；(2)一条弦对应两条孤，这两条 孤所对的圆周角互补.当已知一条弦求其对应的圆周角度效时，需分类讨论：圆周角的顶点在弦所对的 优孤上，则∠B=La(如图1)：五国周角的顶点在孩所对的劣孤上，则∠B=180°-La(如因2) 图1 图2 考点5圆内接四边形 概念 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形 (1)圆内接四边形的对角趔 ,即∠ABC+∠ADC= 40 性质 (2)圆内接四边形的任意一个① 等于它的内对角 (和它相邻的内角的对角)，即∠DCE=② 【知识拓展】连接圆内接四边形的对角线，则必然存在两组相似三角形，如上图，△ABF∽B △ADF∽4④ 二阶」了追本溯源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 函考点1圆的相关概念及性质 证：B,C,D,E四点在同一个圆上 L.教材（北师九下P67读一读改编）“车轮为什 么都做成圆形？”下面解释最合理的是( A.圆形是轴对称图形 B.圆形特别美观大方 C.圆形是曲线图形 第3题图 D.从圆心到圆上任意一点的距离都相等 2.指导丛书(2024云南指导丛书P102T38)如 图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,若以点 C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中 点D,则AC的长等于 D 第2题图 A.5、3 B.5 C.52 D.6 3.教材（人教九上P81T3改编）如图所示，在 △ABC中，CE,BD分别是AB,AC边上的高，求 118众相原创赋能中考云南数学 召考点2孤、弦、圆心角之间的关系 ⊙0的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为 4.教材（人教九上P84思考改编）如图，AB,CD E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 是⊙0的两条弦 一题多点 () B.12 13 D.l3 12 留考点4圆周角定理及其推论(8年9考) 7.真题(2024云南13题2分)如图，CD是⊙0 第4题图 (1)若AB=CD 的直径，点A,B在⊙0上.若AC=BC,∠AOC= ①连接OA,OB,OC,OD,下列结论不一定成立 36°，则∠D= () 的是 A.9° B.18° C.36° D.45° A.OA=OB=AB B.∠AOB=∠COD C.AB=DC D.O到AB,CD的距离相等 第7题图 第8题图 ②连接BC,AD,求证：BC=AD. 8.真题(2017云南14题4分)如图，B,C是⊙A 上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E,F 两点，与线段AC交于D点.若∠BFC=20°，则 ∠DBC= () A.30 B.29° C.28° D.20° (2)若AB=2CD,则弦AB与弦CD的大小关系9.教材（北师九下P73T3改编）如图，AB为⊙0 是 ( 的直径，C,D是⊙O上两点，且OD∥BC,若 A.AB>2CD B.AB=2CD ∠BAC=26°，则∠BCA= ,∠B= C.AB<2CD D.AB=CD ,∠ADC= ∠DOB= 函考点3垂径定理及其推论(8年2考) ,∠DAB= 5.教材（人教九上P122T1改编）如图，AB为 ⊙0的直径，半径OA的垂直平分线交⊙0于 点C,D,交AB于点E,若CD=43,则BE的长 为 ( 第9题图 第10题图 A.43 B.6 C.63 D.8 留考点5圆内接四边形 10.教材（北师九下P83习题T1改编）如图，四 边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD= 140°，则∠A的度数为 () D A.40° B.70° C.110 D.140° 第5题图 第6题图 6.真题(2022云南9题4分)如图，已知AB是 温馨提示 请完成分层进阶练习册P53~P54习题 第六章圆119单元整体构建 乙ABC=90*.四边形ABCD是矩形 易错题专练 ②证明:由①知,四边形ABCD是矩形, 1.B 2.(4.2)或(-4.2)或(2.-2) . BCD= ECF=90$ 3.解:如解图,正方形ABCD即为所求 又CE=BC.CF=CD. . △FCE△DCB(SAS).. 乙CFE=LCDB 又 CEF= DEG. . DGE= DCF=90*..BBD 1AF ③解:由①知,四边形ABCD是矩形, D $AB=CD.AD=BC=1. ,1 设AB=CD=m.则CF=m.DE=CD-CE=CD-BC=m-. 乙 /7 .AD//BC.. △ADE△FCE. 第3题解图 4.D 5.2或8 n 过.-m-1=0.解得m.-1+5 一题一单元 特殊四边形的判定与计算 5.m1- 2 (舍去). (1)①证明:·E是CD的中点.:.DE=CE. 2 :AD/BC: ADE= FCE 5. tanABD-4015-1 .AB-145 AB1+5 2 [乙ADE=/FCE. 2 在△ADE和△FCE中. DE=CE, 2 ZAFD=/FEC. 4证明:如解图2.在GF上载取PF=DC.连接CP .△ADE△FCE(ASA)...AD=CF 1 C是BF的中点...BC=CF.AD=BC 又:AD/BC.:四边形ABCD是平行四边形 ②解:由①知,四边形ABCD是平行四边形, .AB=CD.AB//CD.ABPFDP ) BP AB CD 解图2 *DP EDED -2.S.=2$r 由(2)②可得,乙CFP=乙CDG. 设$=a.则T=Sn=2a. CF=CD. .$no=S+Sa=3a. 在△CFP和△CDG中, 2CFP= CDG '.S=2$m=2$=6. PF-GD. s.99 .$=S$mo+$0=9a.1=2=2 . △CFP△CDG(SAS)...CP=CG. FCP= DCG. $ GCP= DCG+ DCP= FCP+ DCP= DCF=$$$$ ③解::AD/BC . DAF= AFB. &. △GCP是等腰直角三角形..GP=/②CG :AF平分乙DAB..乙DAF=乙BAF. · GP=GF-PF=GF-DG$$$GF-DG= $ $CG$$ . AFB= BAFBF=AB-5. 第六章 同 如解图1.过点A作AM1BF于点M. 第一节 圆的相关概念及性质 一阶 教材知识全梳理 ①圆心 ②半径 ③直径 ④优辄 劣张 同 等 ⑧重合 圆心 圆上 相交 0A.OB.OD BD ADB.BAC.CAD.ABD.ADC AB.BC.C.AD.AC B M C , 乙AOB.乙AOD 乙BDC 解图1 直径 圆心 2半径 ②不在同一条直线上 ②相等 ②相等 ②相等 ②相等 ②相等 相等 平分 ②平分 垂直 ③平分 ③一半 ③相等 .设AM=4,则MF=3k. 90。③互补 $AF=$AM$+MF$=5$$$M=BF-MF-5-3$$$$$ 在Rt△AMB中,由勾股定理,得AM}+BM=AB.$ 0180*外角 乙BAD △DCF △BCF 即(4)}+(5-3)-5^}。 二阶 追本潮源练考点 解得h=0(舍去),k:. 6 1.D2.A 3.证明:如解图,取BC的中点F,连接DF,EF :.AF=5k=6 .BD,CE是△ABC的高, (2)①证明::AD/BC.AB//CD .△BCD和△BCE都是直角三角形, 2.四边形ABCD是平行四边形. 2. DF,EF分别为Rt△BCD和Bt△BCE斜边上的中线. 云南数学 19 . DF=EF=BF=CF :OC是②0的半径。.DC是②0的切线 圈上. 1 0 第4题解图 5.解:EA与⊙0相切,证明如下: 如解图,连接0A. 72 .DA·AC=DC·ABDA-CA DA AB 第3题解图 4.(1)①A ②证明略 .BC是0的直径。: BAC=90*= ADC (2)C .△ABC△DAC.LACB= ACD. 5. B 6. B 7. B 8. A 9. 90* 64{ 64* 64^* 32 ·A=OC. 0AC= ACB= ACD 10.C OA/CD.. OAE= CDE=90 . 0A1DE 第二节 与圆有关的位置关系 又0A是0的半径.:EA与⊙0相切. -阶 教材知识全梳理 ①< ②= ③< ④相切 =$ >垂直 ⑧垂直 半径 垂直 半径 垂直 半径 一个 切点 两 相等 平分 垂直平分线 22 角平分线 第5题解图 二阶 追本溯源练考点 6.(1)12(2)60。 1.(1)圆上 圆外 圆内 相交(2)相切 相离 2.(1)4(2)2(3)2或4 (3)4 3.证明:(1)如解图1.连接0C. 8.A 【解析】如解图,连接B1.△ABC是等边三角形, ·0A=0B.CA=CB.0C1AB ' ABC= $AC= C=6 0*$$ D= C=6 0}$ '点$ 又:0C是⊙0的半径. :.直线AB是0的切线. I为等边△ABC的内心,乙IAB= .IBA乙ABC=30” . ABD=180*-乙D- 1AB =90}. DIB= lAB+ IBA=60*$AD是△ABC外$$ 接圆的直径 DBl=18 0*- D- DIB=60$$$$ .DB是等边三角形。D=B乙LAB=乙/BA 第3题解图1 (2)如解图2.过点0作0D1AB于点D DB的长为2.故选A 1 第3题解图2 *0A=0B=13.AB=24 :$AD=AB=12..0D=0A-AD=5. 第8题解图 三阶 分层设问攻重难 :0的直径为10.:.0的半径r为5. 9.(1)证明:如解图.连接BC 0D=r.AB是⊙0的切线. 易得CH//BD.△AFCC△AFD.△AHE△ABF 4.证明:如解图,连接OC CE AE AE EH CE EH ,. 0C=0B..0CB= 0BC DFAF'AFFB”DFFB :乙ABC= DCA.乙OCB= DCA. E为CH的中点.:.CE=EH.:.BF=DF. 又AB是。0的直径,.乙ACB=90*, .AB为0的直径.:.乙ACB=乙DCB=90。 .ACO+0CB=90. · BF=DF.$CF=DF=BF,即FC=FB . 乙DCA+ ACO=90.即 DC0=90*..DC10C (2)证明:如解图.连接0C 20 众相原创 赋能中考