第5章 第4节 正方形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第四节 正方形 阶 己教材知识全梳理 考点1 正方形的性质与判定 1.性质 性质 几何语言 图示 四条边都① $B=BC=CD=AD 边 两组对边分别平行 AB/CD.BC//AD 角 $ABC= BCD = ADC = BA 四个角都是② -90。 AC=BD.AC 1 BD 对角线相等且③ $$A=0$C=0B=$$ 对角线 AC平分乙BAD和乙BCD 每条对角线平分一组对角 BD平分/ABC和乙ADC (1)是轴对称图形,有④ 条对称轴; 对称性 (2)是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心 S三边长的平方(或对角线之积 面积 1AC·BD 的一半) S正形.4ncn=AB= 2.判定 判定 几何语言 图示 有一组邻边 :四边形ABCD是矩形,AB=BC 的矩形是正方形 .四边形ABCD是正方形 7### 边 有一组邻边 ·四边形ABCD是平行四边形,AB 且有一个角是7 =BC. ABC=90*. 的平行四边形是正方形 :四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是菱形,乙ABC 角 有一个角是⑧ =90 的菱形是正方形 .四边形ABCD是正方形 对角线互相 ·四边形ABCD是矩形,AC1BD 的矩形是正方形 .四边形ABCD是正方形 对角 对角线 ·四边形ABCD是菱形,AC=BD 将 的萎形是正方形 对角线 :.四边形ABCD是正方形 对角线相等且互相垂 :AC=BD.AC1BD.OA=OC.0B 直平分的四边形是正 =0D. 方形 ·.四边形ABCD是正方形 108 众相原创 赋能中考 ,云南数学 考点 中点四边形 对角线相等 对角线垂直 对角线垂直且相 任意四边形 矩形 原图形 菱形 正方形 的四边形 的四边形 等的四边形 中点四边 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 形的形状 二阶 #P追本溯源练考点 教材·真题·课标·指导从书 ④考点1 正方形的性质与判定(8年5考) 求证:四边形AECF是正方形 1. 教材(人教八下P58例5改编)如图,正方形 ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E为AC 上一点,CE=CB,连接BE 一题多点 第3题图 C 第1题图 (1)/B0C= __。,_ABD= (2)/CEB= *,_ABE= (3)若AB=8,则: ①AC= ; 2考点2 中点四边形(2024.24) ②正方形ABCD的周长为 ,△COD的 4. 教材(人教八下P67T6改编)如图,在□ABCD 面积为 _; 中,乙ABC=q.点E.F.G.HI分别是AB.BC.CD. ③点E到BC的距离为 DA的中点,顺次连接E.F.G.H 2. 教材(人教八下P60练习3改编)满足下列条 ,D -_ 件的四边形是正方形的有 __ ①对角线互相垂直月相等的平行四边形 第4题图 ②对角线互相垂直的矩形 (1)若BC>AB.在a从0*逐渐增大到180*的过 程中,四边形EFGH形状的变化依次是( ③对角线相等的菱形 ) 4对角线互相垂直平分目相等的四边形 A.平行四边形→菱形→平行四边形 A.①③④ B.①②④ B.平行四边形→矩形→平行四边形 C.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 C.②③④ D.①②③④ D.平行四边形→矩形→正方形→平行四边形 3. 教材(北师九上P25T2改编)如图.已知菱形 (2)若AB=BC=1.q=90^{*,则四边形EFGH的$$$ 形状是 ABCD.E.F是对角线BD所在直线上的两点 __,周长为 __,面积 且 AED=45*$DF=BE.连接CE$AE.AF$CF. 为 第五章 四边形 109 P分层设问攻重难 三T 基础·能力·培优 2重难点 正方形的相关证明与计算 5.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是对角线AC上的一点,连接DE.过点E作EF1ED,交AB 于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AC 基础层》 (1)求证:矩形DEFG是正方形 第5题图 (2)连接EB,求证:EB=EF 110 众相原创 赋能中考 一,云南数学 能力层》》(3)求AG+AE的值; 培优层》》(4)若F恰为AB的中点,请求出AE的长. 温馨提示 请完成分层进阶练习册P51~P52习题 第五章 四边形 11124C·BD=10,AC·BD=20, 4(1)A(2)正方形2万 ·(AC+BD)2=AC+2AC·BD+BD, 三阶分层设问攻重难 4C+BD=4444C+BD=1, 5.(1)证明：如解图，过点E分别作EM⊥AD于点M,E ⊥AB于点N .A0+B0=111,.AB=A0+B0=111, ,四边形ABCD是正方形 AB=1I(负值已舍去). ∴∠DAC=∠B4C,∠BAD=90P H ENM⊥AD,EN⊥AB ,.EM=EN,∠EMA=∠ENA= ∠DAB=90°， ,∴，四边形ANEM是正方形 又，四边形DEFG是矩形， 第5題解图 ∠DEF=∠MEN=9O°， 第5题解图 ∠DEM+∠MEF=∠MEF+∠FEN=9O°， 三阶分层设问攻重难 ∠DEM=∠FEY 6.(1)证明：如解图，设AC,EF交于点O r∠EMD=∠ENF=90°， 在△EMD和△ENF中， EM =EN, L∠DEM=∠FEN, .△EIMD≌△ENF(ASA),∴ED=EF, ∴四边形DEFG是正方形. (2)证明：，四边形ABCD是正方形. 第6题解图 ∴.CB=CD,∠BCE=∠DCE=45 :EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF,AE=CE,OA=OC CE=CE,.△BCE≌△DCE(SAS),∴，EB=ED, ,四边形ABCD是平行四边形」 由(I)知四边形DEFG是正方形， .AD∥BC,.∠ACE=∠CAF,∠AFE=∠CEF, ∴.ED=EF,∴.EB=EF .△AOF≌△COE(AAS),·.AF=CE. (3)解：四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正 .AF=CF=CE=AE,四边形AECF是菱形. 方形， (2)解：四边形AECF是正方形.理由如下： ,DG=DE,AD=CD=4,∠GDE=∠ADC=90°， 当AB=AC时，△ABC为等腰三角形 ∴∠ADG+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90°， :E是BC的中点，六AE⊥BC. ,.∠ADG=∠CDE ,四边形AECF是正方形. rAD=CD. (3)解：四边形AECF是菱形. 在△ADG和△CDE中 ∠ADG=∠CDE. ∴.AC1EF.AO=CO.EO=FO DG =DE. ,菱形AECF的周长为20，两条对角线的长的和等于14， △ADG≌△CDE(SAS),∴.AG=CE, 六AF=20=5,A0+F0=2(AC+E)=7 ∴，AG+AE=CE+AE=AC. 4 在R1△AOF中，根据勾股定理得AO+FO=AF, 在△MCD中，由勾股定理得AC=√AD+CD=4泛， 即A0+(7-A0)2=25,解得A0=3或A0=4. .AG+AE=42. 当A0=3时，F0=7-3=4,则AC=2A0=6,EF=20F=8. (4)解：如解图，连接DF 菱形ABCF的面积为 -×6×8=24: 点F为AB的中点，AB=4.AF=B=2。 当A0=4时，F0=7-4=3,则AC=2A0=8,EF=20F=6, 在R△ADF中，由勾股定理得DF=AD+AF2=20. 菱形ABCF的面积为】×6×8=24 由(1I)可知四边形DEFG是正方形，则DE=EF, 在R△EFD中，由勾股定理得DF=DE+EF=2EF, 综上所述，四边形AECF的面积为24， 2EF=20,.EF=10(负值已舍去) 第四节 正方形 设EN=x, 一阶教材知识全梳理 由(1)可知四边形AWEM是正方形. ①相等②直角（或90） ③互相垂直平分④4 .AN=EN =x,..FN =AN AF =x-2, ⑤相等⑥相等⑦直角 ⑧直角⑨垂直 0相等 在Rt△EFN中，由勾股定理得EN2+F2=EF 二阶追本溯源练考点 即x2+(x-2)2=(10)2, 1.(1)9045(2)67.522.5(3)①8242 整理得x2-2x-3=0, ②3216③42 解得x1=3,x2=-1(不合题意，舍去)， 2.D ∴，AN=EN=3, 3.证明略 在△AEN中，由勾股定理得AE=√AN+EN=32 18众相原创赋能中考