第5章 第3节 菱形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第三节 菱形 阶了 教材知识全梳理 考点■菱形的性质与判定 1.性质 性质 几何语言 图示 四条边都① AB=BC=CD=AD 边 两组对边分别平行 AB∥CD,BC∥AD 角 对角2 ∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB 对角线互相③ AC⊥BD,OA=0C,OB=OD 对角线 AC平分∠DAB和∠DCB, 每一条对角线平分一组对角 BD平分∠ABC和∠ADC (1)是轴对称图形，有④ 条对称轴： 对称性 (2)是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心 S=边长×该边上的高（或两条 面积 对角线之⑤ 的一半) Saw -ah -AG BD 2.判定 判定 几何语言 图示 有一组⑥ 相，四边形ABCD是平行四边形，AB=BC, 等的平行四边形是菱形 :.四边形ABCD是菱形 边 四条边都⑦ AB=BC CD=AD, 的四边形是菱形 ∴.四边形ABCD是菱形 对角线互相⑧ :四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, 边 的平行四边形 ∴，四边形ABCD是菱形 B对角线 对角线 对角线互相⑨ AC⊥BD,OA=OC,OB=OD 的四边形是菱形 ∴，四边形ABCD是菱形 二阶了 追本潮源练考点 教材·真题·深标·指导丛书 图考点菱形的性质与判定(8年5考) (1)若∠ABC=60°，则∠CAD= 1.教材（人教八下P57T1改编）如图，菱形 (2)若AC=6,BD=8,则： ABCD的对角线AC,BD相交于点O. ①AB= 菱形ABCD的周长为 一题多点 ,面积为 ②点O到AB所在直线的距离为 ,点 A到BC所在直线的距离为 ③若E是AB的中点，则OE= 第1题图 第五章四边形 105 2.教材（人教八下P58T3改编）如图，两张等宽5.真题(2024云南24题8分)如图，在四边形 的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四 ABCD中，点E,F,G,H分别是各边的中点，且 边形ABCD,在其中一张纸条转动的过程中，下 AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形 列结论错误的是 ( (1)求证：四边形ABCD是菱形： A.AD=CD (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD B.S国边彩BD=AC·BD D 的面积为10，求AB的长 C.AC⊥BD D.四边形ABCD的周长 =4AB 第2题图 3.真题(2023云南22题节选)）如图，平行四边 形ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的 第5题图 平分线，且E,F分别在边BC,AD上，AE=AF 求证：四边形AECF是菱形 第3题图 4.真题(2020云南22题节选)如图，四边形AB CD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在 AB的延长线上，CE⊥AB,垂足为E,点F在AD 的延长线上，CF⊥AD,垂足为F.若∠BAD= 60°，求证：四边形CEHF是菱形 第4题图 106众相原创赋能中考云南数学 三阶了分层设问攻重难 基础·能力·培倪 ©重难点菱形的相关证明与计算 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与BC相交于点E,与AD相交于点F, 连接AE,CF, 基础显)》(1)求证：四边形AECF是菱形： 公 第6题图 能力层》(2)若E是BC的中点，当AB=AC时，四边形AECF是什么特殊的四边形？并说明 理由； 培优层》(3)若四边形AECF的周长为20，两条对角线的长的和等于14，求四边形AECF的 面积 温馨提示请完成分层进阶练习册P48~P50习题 第五章四边形107CE=CC,FH-HG,CH是△GEF的中位线， 由(1)得DF∥AC, ∴CH=EF,CH/ER ∠DFG=∠CEG,∠GDF=∠GCE. G是CD的中点，.DG=CG EB-BF-EF BE=CH, r∠DFG=∠CEG, .四边形EBC是平行四边形，.OB=OC,OE=OH. 在△DFG和△CEG中， ∠GDF=∠GCE. DG =CG. ~0B=0E,0E=0M=0B=0C=BC .△DFG≌△CEG(AAS),.∴.FG=EG 又：BC=fG=3x8=40m=2 四边形CFDE是平行四边形. ,四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD 第二节矩形 .2AB BF,..2CD BF. 一阶教材知识全梳理 又：EF=BE,.CD=EF,∴四边形CFDE是矩形 ①平行且相等②直角（或90°）③平分且相等 (3)解：设AB=2a,则BF=4a,BE=EF=CD=2a. ④两⑤直角（或90°）⑥直角（或90°）⑦相等 ,四边形ABCD是平行四边形， 二阶追本溯源练考点 ∴.AD=BC=10,AB∥CD 1.(1)505080(2)①2848②12324 ,四边形CFDE是正方形 22或 3 【解析】如解图，四边形ABCD是矩形. LDEC-9.CDLEF.DG-EG-cD-a. ∴，∠AED=90°，△DEG是等腰直角三角形， ∴.CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°，∴.BC= .DE=2DG=√2a /AC-AB=√40-36=2，.AD=2.当点E在CD 上时，AE2=DE+AD=EC,∴.(6-DE)2=DE+ AB∥CD,CD⊥EF,.AB⊥BF, 4DE=号：当点E在AB上时，CE4=BE2+BC- ∴，△ABE是等腰直角三角形，，AE=2AB=22a 在Rt△ADE中，由勾股定理得AD=DE+AE, AE2AE2=(6-AE)2+4,AE=0 即10=(2a)2+(22a)2,解得a=√10（负值已舍 Va0+AB=V4+g.2gg 去)，AB=2a=2/10. 综上所述，DE= 3 第三节菱 形 2或 一阶教材知识全梳理 3 ①相等②相等③垂直且平分④两⑤积⑥邻边 ⑦相等⑧垂直⑨垂直且平分 二阶追本溯源练考点 11)60(2052024②号4③号 55 第2题解图 2.B 3.(1)证明略 3.证明略 (2)S6c=12 4.证明略 4.(1)证明略 5.(1)证明：如解图，连接AC,BD交于点O,交FG于点 (2)∠AD0=36 N,交HG于点M. 三阶分层设问攻重难 :AB∥CD,AD∥BC 5.(1)证明：如解图1，连接BD,交AC于点O. 二四边形ABCD是平行四边形. ,四边形EFGH是矩形，∠HGF=90, :H,G分别是AD,DC的中点， 六HG是△ADC的中位线， 第5题解图1 六c/4C,G=4c. .四边形ABCD是平行四边形，..BO=DO. ∴.∠HGF=∠GVC=90 :BE=EF,.OE是△BDF的中位线， G,F分别是DC,BC的中点， ,.OE∥DF,即DF∥AC ∴.GF是△BCD的中位线， (2)证明：如解图2，连接DE,CF ..cF//BD.GF-RD, ∴.∠GNC=∠MOC=90°. BD⊥AC.:四边形ABCD是菱形 (2)解：矩形EFGH的周长为22 第5题解图2 .HG+FG=11...AC BD=22. 云南数学17 24C·BD=10,AC·BD=20, 4(1)A(2)正方形2万 ·(AC+BD)2=AC+2AC·BD+BD, 三阶分层设问攻重难 4C+BD=4444C+BD=1, 5.(1)证明：如解图，过点E分别作EM⊥AD于点M,E ⊥AB于点N .A0+B0=111,.AB=A0+B0=111, ,四边形ABCD是正方形 AB=1I(负值已舍去). ∴∠DAC=∠B4C,∠BAD=90P H ENM⊥AD,EN⊥AB ,.EM=EN,∠EMA=∠ENA= ∠DAB=90°， ,∴，四边形ANEM是正方形 又，四边形DEFG是矩形， 第5題解图 ∠DEF=∠MEN=9O°， 第5题解图 ∠DEM+∠MEF=∠MEF+∠FEN=9O°， 三阶分层设问攻重难 ∠DEM=∠FEY 6.(1)证明：如解图，设AC,EF交于点O r∠EMD=∠ENF=90°， 在△EMD和△ENF中， EM =EN, L∠DEM=∠FEN, .△EIMD≌△ENF(ASA),∴ED=EF, ∴四边形DEFG是正方形. (2)证明：，四边形ABCD是正方形. 第6题解图 ∴.CB=CD,∠BCE=∠DCE=45 :EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF,AE=CE,OA=OC CE=CE,.△BCE≌△DCE(SAS),∴，EB=ED, ,四边形ABCD是平行四边形」 由(I)知四边形DEFG是正方形， .AD∥BC,.∠ACE=∠CAF,∠AFE=∠CEF, ∴.ED=EF,∴.EB=EF .△AOF≌△COE(AAS),·.AF=CE. (3)解：四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正 .AF=CF=CE=AE,四边形AECF是菱形. 方形， (2)解：四边形AECF是正方形.理由如下： ,DG=DE,AD=CD=4,∠GDE=∠ADC=90°， 当AB=AC时，△ABC为等腰三角形 ∴∠ADG+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90°， :E是BC的中点，六AE⊥BC. ,.∠ADG=∠CDE ,四边形AECF是正方形. rAD=CD. (3)解：四边形AECF是菱形. 在△ADG和△CDE中 ∠ADG=∠CDE. ∴.AC1EF.AO=CO.EO=FO DG =DE. ,菱形AECF的周长为20，两条对角线的长的和等于14， △ADG≌△CDE(SAS),∴.AG=CE, 六AF=20=5,A0+F0=2(AC+E)=7 ∴，AG+AE=CE+AE=AC. 4 在R1△AOF中，根据勾股定理得AO+FO=AF, 在△MCD中，由勾股定理得AC=√AD+CD=4泛， 即A0+(7-A0)2=25,解得A0=3或A0=4. .AG+AE=42. 当A0=3时，F0=7-3=4,则AC=2A0=6,EF=20F=8. (4)解：如解图，连接DF 菱形ABCF的面积为 -×6×8=24: 点F为AB的中点，AB=4.AF=B=2。 当A0=4时，F0=7-4=3,则AC=2A0=8,EF=20F=6, 在R△ADF中，由勾股定理得DF=AD+AF2=20. 菱形ABCF的面积为】×6×8=24 由(1I)可知四边形DEFG是正方形，则DE=EF, 在R△EFD中，由勾股定理得DF=DE+EF=2EF, 综上所述，四边形AECF的面积为24， 2EF=20,.EF=10(负值已舍去) 第四节 正方形 设EN=x, 一阶教材知识全梳理 由(1)可知四边形AWEM是正方形. ①相等②直角（或90） ③互相垂直平分④4 .AN=EN =x,..FN =AN AF =x-2, ⑤相等⑥相等⑦直角 ⑧直角⑨垂直 0相等 在Rt△EFN中，由勾股定理得EN2+F2=EF 二阶追本溯源练考点 即x2+(x-2)2=(10)2, 1.(1)9045(2)67.522.5(3)①8242 整理得x2-2x-3=0, ②3216③42 解得x1=3,x2=-1(不合题意，舍去)， 2.D ∴，AN=EN=3, 3.证明略 在△AEN中，由勾股定理得AE=√AN+EN=32 18众相原创赋能中考