29.2.1 解直角三角形（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册（原卷版）

第二十九章 三角初步 29.2.1 解直角三角形 课标要点 1. 理解解直角三角形的含义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程。 2. 掌握直角三角形中边角关系：两锐角互余、勾股定理、锐角的正弦、余弦、正切。 3. 能根据已知条件，选择合适的三角比，解直角三角形；会用计算器求锐角三角比、由三角比反求锐角。 学习重难点 重点： 合理选择三角比，根据已知边、未知边，选合适三角函数解直角三角形。 难点： 作辅助线，将任意图形转化为解直角三角形。 知识点 解直角三角形 1. 定义 在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角 三角形. 2. 直角三角形中的边角关系 类型 关系式 三边关系 两锐角关系 边角关系 ，， 3. 常见题型及其解题步骤 对于直角三角形而言，除了已知其中一个直角以外，其三条边和两个锐角这五个元素中“知2求3”，其中至少已知一条边。 （1）已知一边、一角（SAS） （2）已知两条边（SS） 已知条件 解题步骤 已知一边一角 A，a B=90°-A，b=，c= A，c B=90°-A，， 已知两边 a，b c=，由tanA=求A，B=90°-A a，c b=，由sinA=求A，B=90°-A 随学随练 1. 在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握边角之间的转化． （1）先求正切值，即可求解度数，再由勾股定理求解斜边，以及直角三角形锐角互余求解即可； （2）先根据直角三角形锐角互余求解，然后正切求解，再由勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，∵，， ∴，， ∴， ∴． 知识点 解非直角三角形 1. 解等腰三角形 作高，将等腰三角形转化为直角三角形。 2. 解任意三角形 三角形中，边角共有6个元素，知道其中三个可求出其他未知元素。 3. 常见题型： （1）已知三条边（SSS） （2）已知边角边（SAS） （3）已知角角边（AAS）或角边角（ASA） 4. “3、4、5”的三角形 如图，∆ABC中，AC＝３，BC＝４，AB＝５，AD平分∠CAB 则sinB=，∠B37°；sin∠CAB=，∠CAB53°；tan∠CAD=，∠CAD26.6° 随学随练 2. 等腰三角形ABC的腰长AB＝AC＝5，底边BC＝6，求． 【答案】 【分析】作BC边的高AD，根据等腰三角形的性质求出DC，再由已知条件和三角函数的定义求出． 【详解】解：如图，作AD⊥BC于D， ∵AB=AC， ∴DC=BC=6=3， 在RtACD中，DC=3，AC=5， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解． 题型 已知一边一角解直角三角形 ▌例1如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】/60度 【分析】求出的正弦值，即可求解度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． ▌对点练1. 解直角三角形：已知：，，，求a 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形，根据在直角三角形中，，代入计算求出a即可． 【详解】解：在中，，如下图， ， ，， ， ． ▌对点练2 在中，，和的对边分别为a，c，已知和直角边a，求斜边c，则下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角的正弦定义，利用正弦定义变形即可求出斜边c的表达式． 【详解】解：根据正弦的定义可得，， ∴将上式变形得，， 故选：B． ▌对点练3. 在中，，则的长为（    ） A．7 B．7 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，根据余弦定义推导的表达式即可得出答案． 【详解】∵在中，， ∴根据余弦的定义，， 又∵， ∴． 故选：A． 题型 已知两边解直角三角形 ▌例1 在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义与勾股定理，先利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ． ▌对点练1. 如图，在中，，于点，，，则的值______． 【答案】 【分析】由角度等量代换可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌对点练2. 如图，在中，．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比即为锐角的正弦，由此即可计算． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． ▌对点练3. 在中，． (1)若，，求a，b的值； (2)若，，求，和c的值． 【答案】(1) ， (2) ，， 【分析】（1）先根据求出a，再根据勾股定理求出； （2）先根据勾股定理求出，再根据求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得， 即， 解得； （2）解：根据勾股定理，得， 即， 解得． 在中，， ∴， 则， ∴． 题型 解等腰三角形 ▌例1 如图,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值. 【答案】. 【详解】试题分析：求三角函数的值，一般需要在直角三角形里才能求，所以需要先做BC边的垂线，构造Rt△ADB，由勾股定理求出AD边，即可求sinB. 过A作AD⊥BC于D, ∵AB=AC, ∴BD=2.在Rt△ADB中，由勾股定理,知AD=， ∴sinB=. ▌对点练1. 已知等腰三角形中，，．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题关键． 过点作于点，通过等腰三角形的性质“三线合一”求出，根据勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴． ▌对点练2. 我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形． 如图，已知△ABC是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m．求BC边上的高AD的长．（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m） 【答案】高AD的长是140米． 【分析】根据最稳定三角形得出∠B=∠C=51°，且AB=AC，再利用三线合一得出BD，最后利用三角函数求出AD. 【详解】解：∵ △ABC是最稳定三角形，     ∴∠B=∠C=51°，且AB=AC， ∵ ADBC， ∴BD=BC=116.4m， ∴ AD= 116.4×tan51°=139.68 ≈140m， ∴BC边上的高AD的长是140米． ▌对点练3. 人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过人字梯顶端作底边的垂线构造直角三角形，结合已知斜边长和底角，利用正弦三角函数的定义计算得到顶端离地面的高度． 【详解】解：过人字梯顶端作于点， 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 题型 解任意三角形 ▌例1 如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】先利用已知条件求出的长度，再根据的值求出高的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：是的高， ． ， ． ， ． 在中， ，， ． ▌对点练1. 如图，在△ABC中，，，，求的长．    【答案】 【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ， 又∵在△ABC中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为．    ▌对点练2. 若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 【答案】 【分析】作的菱形，作于点，在中，使用三角函数计算出高的长即可． 【详解】解：如图，在菱形中，，作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴菱形的高为． ▌对点练3. 如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值． 【答案】 【详解】过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵△ABC中，AB＝12， ∴， ， ∵BC＝15， ∴， ∴＝． 题型 用方程思想解三角形 ▌例1 如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出，在中，得出，根据，列出方程求解得出，在中，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， 设，在中， ， 在中，， ， ， ， . 解得：，即， 在中，∵， ∴ ▌对点练1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． ▌对点练2. 如图，海岛A四周30海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60º，航行20海里后到C处，见岛A在北偏西45º，货轮继续向西航行，有无触礁危险？    解：如图，过点A作AD⊥CB于点D．    在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，则Rt△ACD是等腰直角三角形，则AD＝CD． 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°−60°＝30° ∴BD＝•AD ∵BC＝BD−CD ∴20＝AD−AD ∴AD＝＝＜30海里． 故该船继续航行（沿原方向）有触礁的危险． ▌对点练3. （1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 基础通关 1．在中，，，，则AC的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，，，， 于，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数等知识点，属于基础题型，在图形中找到的等角是解题的关键．先利用同角的余角相等，证出，再求出的正弦值，即可得出答案． 【详解】解：， ． ． ， ． ． ． ． 故选：． 3．如图，在中，，垂足为D，E为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出BC=2，由勾股定理逆定理确定∆ABC为直角三角形，∠ACB=90°，结合图形得出∠ACD=∠B，利用等面积法求出，再由正弦值即可确定角的度数． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵E为BC的中点， ∴DE=BE=EC=， ∴BC=2， ∵， ∴∆ABC为直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠B+∠DCB=90°， ∴∠ACD=∠B， ∵， ∴， ∴， ∴∠ACD=∠B=30°， 故选：B． 【点睛】题目主要考查直角三角形的性质，勾股定理逆定理，求出三角形正弦值确定角度等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 4．如图，在△中，，,.则边的长为___________. 【答案】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【详解】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝6，a＝6，则b＝___，∠B＝_____，∠A＝____. 【答案】 6 45° 45° 【详解】试题解析：在中，，若 故答案为 6．如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为，较小锐角为，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点、、、在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为______．（保留根号） 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B=∠DEF=60°，再根据旋转的性质可得BC=CE，然后判断出△BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BCE=60°，然后求出∠EFG=30°，再求出∠EGF=90°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF，EG，然后利用勾股定理列式计算即可得FG的长． 【详解】解：∵△ACB与△DFE全等，较小锐角为30°， ∴∠B=∠DEF=90°-30°=60°， 由旋转的性质得，BC=CE， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BCE=60°， ∴∠EFG=90°-60°=30°， ∴∠EGF=180°-30°-60°=90°， ∵斜边长为10cm， ∴EF=DE=×10=5cm， EG=EF=×5=cm， 在Rt△EFG中，FG===． 故答案为：． 7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长． 【答案】 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tanC＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8， ∴AD＝4，BD＝， ∵在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝4， ∴CD=， ∴CD＝3． ∴BC＝BD+CD＝． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、含30°角的直角三角形，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．计算： (1)求的值. (2)在中，，，，解这个直角三角形. 【答案】(1) (2) ， ， 【分析】（1）根据特殊的三角函数值即可求解； （2）根据直角三角形的勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案是：． （2）解：如图所示，中，，，， ∴ ， 根据直角三角形三边关系， ， ， ∴ ， ， 故答案是： ， ，． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，以及特殊角的三角函数值，理解和掌握解直角三角形和特殊角的三角函数值是解题的关键． 9．在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，． 【分析】本题考查解直角三角形，利用互余关系求，特殊角的三角函数值求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 10．如图，中，，． (1)求的长． (2)是边上的高，请你补全图形，并求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解； （2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的定义，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵ ∴， ∵ ∴, ∴ 在中，, ∴ （2）解：如图，过点，作交的延长线于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ 【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 素养提升 1．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（　　） A．msin40° B．mcos40° C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵sinA＝， ∴AB＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键． 2．如图，在中，CD为斜边AB上的高，已知AD＝8，BD＝4，那么 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意易证∠A=∠BCD，则tanA=，求出CD的长，然后求出tanA即可. 【详解】由题意可知，∠A+∠B=90°， ∠BCD+∠B=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴tanA=， ∴CD2=AD·BD=8×4=32，即CD=4， 则tanA===. 故选A. 【点睛】本题主要考查解直角三角形，解此题的关键在于利用公共角∠B得到∠A与∠BCD的关系，再通过正切函数求解即可. 3．已知正六边形ABCDEF的边心距为 cm，则正六边形的半径为（ ）cm． A．2 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图所示， 连接OA、OB，过O作OD⊥AB， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=60°， ∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAD=60°， ∴OD=OA•sin∠OAB=AO=， 解得：AO=2． 故选B． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导ECAD，继而得出△EFC∽△DFA，，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解出即可． 【详解】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB＝30°， ∵AD⊥CD，CD＝1， ∴AD＝，AC＝2， 延长AD、BC交于点G，如图， ∵∠DAB＝∠B＝60°， ∴∠G＝60°， ∴△ABG为等边三角形， ∵AC平分∠DAB， ∴C为GB的中点，且AC⊥GB， ∴AB＝， 连接EC， ∵E为AB边的中点，AC⊥GB ∴EC＝AB＝， ∵C为GB的中点， ∴ECAD， ∴△EFC∽△DFA， ∴，即 ∴ ∴AF＝． 故选：D． 二、填空题 5．Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，若∠A的平分线长为4，则a=_____，∠A= ______ 【答案】 60° 【详解】解：根据题意作出图形， 可知 在Rt△ACD中， ∴∠CAD=30°， ∵AD为∠A的角平分线， ∴∠A=2∠CAD=2×30°=60°， 则 即a=. 故答案为： 6．如图，在中，，，，则的长为______．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过A作于H，利用正弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：过A作于H，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则a：b：c=_______． 【答案】1：：2 【分析】首先根据∠A、∠B、∠C的度数之比确定△ABC是一个内角为30°的直角三角形，然后根据该特殊直角三角形的三边关系求出其三边之比． 【详解】设∠A、∠B、∠C的度数分别为x、2x、3x,则x+2x+3x=180°,解得x=30° ∴2x=60°,3x=90° ∴∠A、∠B、∠C的度数分别为30°、60°、90°. ∴△ABC是直角三角形 又∵∠A=30° ∴c=2a b= ∴a:b:c=1：：2. 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内角和定理，解题的关键是由度数比确定一个内角为30°的直角三角形辅助解题. 8．如图，在菱形中， ，M，N分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点D，当时，的值为 _____． 【答案】 【分析】延长交于点H，利用折叠性质得出，从而判断，再设出，分别表示出各个线段的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形沿翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，得出． 9．课本再现 （1）在中，，求的长； 拓展延伸 （2）在中，为锐角，，求的面积． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义． （1）先解直角三角形求出，然后再根据勾股定理求出即可； （2）过点B作于点D，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，最后求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 即， 解得：， ∴． （2）过点B作于点D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，D是边上一点，，设． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)，， (2)的长为3 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题关键， （1）利用勾股定理求出的长，然后由三角函数的定义进行解题； （2）由（1）中正弦三角函数值可以求得斜边的长度，然后根据勾股定理求出的长度，则． 【详解】（1）解：在中， ， ， ，，； （2），， 在中，， ， ， ， ． 迁移创新 1. （2026·上海·中考真题）如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质得出，，结合求出，利用旋转的性质得到，，判定为等边三角形，从而得出，最后在中求出与的数量关系即可求解． 【详解】解：是等边三角形，是的中点， ，，， ， 在（设交于点）中， 由旋转的性质可知， ，， 在中，，， 是等边三角形 ， 在中，， ， ． 2．（河北·中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)若点在上，求证：； (2)如图2．连接． ①求的度数，并直接写出当时，的值； ②若点到的距离为，求的值； 【答案】(1) 证明：∵将线段绕点顺时针旋转到， ∴ ∵的平分线所在直线交折线于点， ∴ 又∵ ∴ ∴； (2)①，；②或 【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到，，然后证明出，即可得到； （2）①首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先画出图形，然后证明出，利用相似三角形的性质求出，，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可； ②当点在上时，，，分别求得，根据正切的定义即可求解；②当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，证明，得出，，进而求得，证明，即可求解； 【详解】（1）略 （2）①∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∴解得 ∴． ②如图所示，当点在上时，，    ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，    ∵， ∴， ∴ ∴ 即 ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 解得： ∴， 综上所述，的值为或； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 三角初步 29.2.1 解直角三角形 课标要点 1. 理解解直角三角形的含义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程。 2. 掌握直角三角形中边角关系：两锐角互余、勾股定理、锐角的正弦、余弦、正切。 3. 能根据已知条件，选择合适的三角比，解直角三角形；会用计算器求锐角三角比、由三角比反求锐角。 学习重难点 重点： 合理选择三角比，根据已知边、未知边，选合适三角函数解直角三角形。 难点： 作辅助线，将任意图形转化为解直角三角形。 知识点 解直角三角形 1. 定义 在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角 三角形. 2. 直角三角形中的边角关系 类型 关系式 三边关系 两锐角关系 边角关系 ，， 3. 常见题型及其解题步骤 对于直角三角形而言，除了已知其中一个直角以外，其三条边和两个锐角这五个元素中“知2求3”，其中至少已知一条边。 （1）已知一边、一角（SAS） （2）已知两条边（SS） 已知条件 解题步骤 已知一边一角 A，a B=90°-A，b=，c= A，c B=90°-A，， 已知两边 a，b c=，由tanA=求A，B=90°-A a，c b=，由sinA=求A，B=90°-A 随学随练 1. 在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： (1)； (2)． 知识点 解非直角三角形 1. 解等腰三角形 作高，将等腰三角形转化为直角三角形。 2. 解任意三角形 三角形中，边角共有6个元素，知道其中三个可求出其他未知元素。 3. 常见题型： （1）已知三条边（SSS） （2）已知边角边（SAS） （3）已知角角边（AAS）或角边角（ASA） 4. “3、4、5”的三角形 如图，∆ABC中，AC＝３，BC＝４，AB＝５，AD平分∠CAB 则sinB=，∠B37°；sin∠CAB=，∠CAB53°；tan∠CAD=，∠CAD26.6° 随学随练 2. 等腰三角形ABC的腰长AB＝AC＝5，底边BC＝6，求． 题型 已知一边一角解直角三角形 ▌例1如图，在中，，，，则的度数为______． ▌对点练1. 解直角三角形：已知：，，，求a ▌对点练2 在中，，和的对边分别为a，c，已知和直角边a，求斜边c，则下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练3. 在中，，则的长为（    ） A．7 B．7 C． D．7 题型 已知两边解直角三角形 ▌例1 在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1. 如图，在中，，于点，，，则的值______． ▌对点练2. 如图，在中，．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练3. 在中，． (1)若，，求a，b的值； (2)若，，求，和c的值． 题型 解等腰三角形 ▌例1 如图,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值. ▌对点练1. 已知等腰三角形中，，．求的值． ▌对点练2. 我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形． 如图，已知△ABC是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m．求BC边上的高AD的长．（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m） ▌对点练3. 人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 题型 解任意三角形 ▌例1 如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 ▌对点练1. 如图，在△ABC中，，，，求的长．    ▌对点练2. 若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． ▌对点练3. 如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值． 题型 用方程思想解三角形 ▌例1 如图，在中，已知，，，求的长． ▌对点练1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． ▌对点练2. 如图，海岛A四周30海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60º，航行20海里后到C处，见岛A在北偏西45º，货轮继续向西航行，有无触礁危险？    ▌对点练3. （1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 基础通关 1．在中，，，，则AC的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，， 于，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，垂足为D，E为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△中，，,.则边的长为___________. 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝6，a＝6，则b＝___，∠B＝_____，∠A＝____. 6．如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为，较小锐角为，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点、、、在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为______．（保留根号） 7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长． 8．计算： (1)求的值. (2)在中，，，，解这个直角三角形. 9．在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 10．如图，中，，． (1)求的长． (2)是边上的高，请你补全图形，并求的长． 素养提升 1．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（　　） A．msin40° B．mcos40° C． D． 2．如图，在中，CD为斜边AB上的高，已知AD＝8，BD＝4，那么 A． B． C． D． 3．已知正六边形ABCDEF的边心距为 cm，则正六边形的半径为（ ）cm． A．2 B．2 C． D．4 4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（　　） A． B． C．1 D． 二、填空题 5．Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，若∠A的平分线长为4，则a=_____，∠A= ______ 6．如图，在中，，，，则的长为______．    7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则a：b：c=_______． 8．如图，在菱形中， ，M，N分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点D，当时，的值为 _____． 9．课本再现 （1）在中，，求的长； 拓展延伸 （2）在中，为锐角，，求的面积． 10．如图，在中，，D是边上一点，，设． (1)求的值； (2)若，求的长． 迁移创新 1. （2026·上海·中考真题）如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________． 2．（河北·中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)若点在上，求证：； (2)如图2．连接． ①求的度数，并直接写出当时，的值； ②若点到的距离为，求的值； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $